Exercices: Cercle

Écrire l'équation du cercle qui décrit la zone de couverture d'une antenne wifi, sachant que l'antenne est située au point $(2 ; -3)$ d'un repère (mesuré en kilomètres) et que sa portée maximale est de $5$ km.

Déterminer les coordonnées du centre et la longueur du rayon de la zone circulaire arrosée par un arroseur agricole dont la frontière est donnée par l'équation $(x-4)^2+(y+1)^2=36$.

Un sismographe détecte que l'épicentre d'un séisme se situe à l'origine du repère et que l'onde sismique a atteint un rayon exact de $10$ km. Vérifier analytiquement si une station météorologique située au point $(6 ; -8)$ a ressenti le séisme ou si elle se trouve exactement à la limite de l'onde.

Déterminer l'équation du cercle qui représente le balayage du radar d'un bateau. On sait que le radar est positionné aux coordonnées $(-1 ; 4)$ et qu'à l'extrémité exacte de son écran il détecte une bouée située au point $(2 ; 0)$.

Déterminer le centre et le rayon du cercle qui décrit le bord extérieur d'un engrenage sur un plan de conception assistée par ordinateur, dont l'équation générale est $x^2+y^2-6x+8y=0$.

Écrire l'équation du cercle qui délimite un rond-point, sachant que les extrémités de l'un de ses diamètres (où se situent deux passages piétons opposés) correspondent aux points $(1 ; 2)$ et $(7 ; -6)$.

Déterminer si l'équation $2x^2+2y^2+4x-8y+20=0$ représente mathématiquement un cercle valide dans le moteur physique d'un jeu vidéo. Justifier la réponse en calculant son centre et la valeur du carré de son rayon.

Écrire l'équation du cercle qui décrit le châssis d'un robot aspirateur de $15$ cm de rayon lorsqu'il est exactement coincé dans l'angle d'une pièce. On considère que les murs coïncident avec les demi-axes positifs du repère (premier quadrant) et que le robot est tangent aux deux murs.

Lucas doit calculer le centre et le rayon du cercle donné par l'équation générale $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$. Dans son devoir, il écrit :

« Le centre est $C(-6 ; 4)$ car ce sont directement les coefficients qui accompagnent $x$ et $y$. Pour le rayon, je remplace dans la formule et j'obtiens $r = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 - 12} = \sqrt{36 + 16 - 12} = \sqrt{40} \approx 6,32$ ».

Identifier et expliquer en détail les deux erreurs conceptuelles commises par Lucas pour déduire le centre et le rayon à partir de l'équation générale. Puis présenter le raisonnement correct et calculer les coordonnées exactes du centre $C$ et la valeur exacte du rayon $r$.

On considère la famille de courbes d'équation $x^2 + y^2 - 4x + 6y + k = 0$, où $k$ est un nombre réel.

1. a) Déterminer, en justifiant, la valeur que doit prendre le paramètre $k$ pour que l'équation représente un cercle de rayon exactement égal à $5$ unités, et écrire son équation réduite.
2. b) Justifier quelle figure ou quel objet géométrique représente cette équation si l'on prend $k = 13$, et ce qui se passe si l'on choisit une valeur quelconque $k > 13$.

Déterminer l'équation du cercle qui reconstitue le bord d'un ancien vase en céramique trouvé lors d'une fouille archéologique. Les restaurateurs ont mesuré trois points intacts du bord, qui dans un repère correspondent à $(0 ; 0)$, $(4 ; 0)$ et $(0 ; 3)$.

Étudier analytiquement la position relative entre l'orbite d'un satellite artificiel, modélisée par le cercle $x^2+y^2=4$, et la trajectoire rectiligne d'un astéroïde donnée par l'équation $y=x+2$. Déterminer les points d'intersection s'ils existent.

Calculer l'équation de la tangente à la trajectoire circulaire décrite par un lanceur de marteau au moment exact où il lâche le câble. La trajectoire du marteau est donnée par le cercle $x^2+y^2=25$ et l'athlète lâche le câble lorsque la boule passe par le point $(3\ ;\ 4)$.

Écrire l'équation du cercle qui représente une poulie dont l'axe de rotation est fixé au point $(3\,;\,-2)$ et qui est en contact tangentiel avec une courroie de transmission dont la ligne d'action est la droite $4x-3y+2=0$.

Déterminer l'équation de l'axe radical des deux cercles qui modélisent la zone d'influence de deux antennes relais : $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ et $x^2+y^2+6x-2y+6=0$.

Calculer la longueur de la surface libre de l'eau à l'intérieur d'une canalisation circulaire d'équation $x^2+y^2=100$. On sait que le niveau de l'eau s'est stabilisé en formant une corde horizontale sur la droite $y=6$.

Étudier la position relative des fronts d'onde générés par deux gouttes tombant dans un étang, modélisés par les cercles $C_1: x^2+y^2=9$ et $C_2: (x-4)^2+y^2=4$.

Déterminer l'équation du cercle qui définit le couloir extérieur d'une piste d'athlétisme, sachant qu'il est concentrique au cercle du couloir intérieur $x^2+y^2-10x+4y+13=0$ et qu'il passe par la position de départ située en $(1 ; 1)$.

Un bateau de pêche navigue en ligne droite en suivant la trajectoire donnée par l'équation $3x + 4y - 24 = 0$ (coordonnées exprimées en milles marins). Une balise maritime des services de sauvetage en mer émet un avis de tempête avec une zone de couverture circulaire de rayon $r = 3,5$ milles marins et de centre le point $C(1 ; 1)$.

1. a) Avant tout calcul, faire mentalement ou à l'aide d'un schéma une estimation argumentée : compte tenu de la position du centre et des points d'intersection de la droite avec les axes, pensez-vous que le bateau de pêche traversera la zone d'avis, la frôlera tangentiellement ou passera sans y entrer ? Justifier la conjecture.

1. b) Vérifier analytiquement l'estimation en calculant la distance du centre $C$ à la droite de la trajectoire et la comparer au rayon pour déterminer de façon concluante la position relative. Expliquer pourquoi, lorsque la distance et le rayon sont très proches, une simple représentation graphique ne suffit pas et le calcul algébrique est indispensable.

Le service d'urgence 112 d'une région évalue la couverture des communications lors d'incendies de forêt à l'aide de deux antennes relais. Sur la carte de commandement (quadrillage gradué en dizaines de kilomètres, où $1$ unité $= 10$ km), l'antenne Nord est située en $A(-3 ; 2)$ avec un rayon de couverture de $50$ km ($5$ unités), et l'antenne Sud en $B(5 ; -4)$ avec la même portée de $50$ km.

1. a) Modéliser algébriquement la limite de couverture des deux antennes en écrivant leurs équations générales respectives.
2. b) Étudier la position relative des deux zones circulaires de couverture à partir de la distance entre leurs centres et en déduire s'il y a chevauchement territorial ou si elles sont tangentes.
3. c) Le poste de commandement avancé se trouve dans le village de coordonnées $P(1 ; -1)$. Déterminer si ce village est couvert par l'une des antennes, par les deux, ou s'il est isolé dans une zone d'ombre, en interprétant le résultat géométrique dans le contexte des urgences.

Déterminer les équations des deux tangentes menées depuis un phare situé au point $(0 ; 4)$ vers un réservoir cylindrique de carburant dont la base occupe la région délimitée par le cercle $x^2+y^2=4$. Ces droites représentent les limites des ombres projetées sur le sol.

Calculer l'équation du cercle qui dessine la structure principale d'une grande roue de fête foraine. On sait que l'axe central de rotation repose sur un pilier incliné représenté par la droite $x+y-4=0$ et que les nacelles passent par les plateformes d'embarquement situées aux points $(2 ; 0)$ et $(0 ; 2)$.

Dans une expérience d'acoustique, on cherche le lieu géométrique de tous les points du plan où le son émis par un haut-parleur situé en $A(6 ; 0)$ est perçu avec le quart de l'intensité du son émis par un autre haut-parleur identique placé à l'origine $O(0 ; 0)$. Cela revient à déterminer les points $P(x ; y)$ dont la distance au point $A$ est le double de leur distance au point $O$. Démontrer que ce lieu géométrique est un cercle et déterminer son centre et son rayon.

La conception d'un échangeur routier exige de tracer deux routes rectilignes tangentes à une place circulaire centrale d'équation $x^2+y^2-6x+8y=0$. De plus, pour des raisons d'urbanisme, ces routes doivent être parallèles à une avenue principale d'équation $3x-4y=0$. Déterminer les équations des deux routes tangentes.

Un drone effectue une manœuvre d'évitement en suivant une trajectoire rectiligne donnée par la famille de droites $y=2x+k$. L'espace aérien restreint autour d'un radar est défini par le cercle $x^2+y^2=5$. Déterminer les valeurs du paramètre $k$ pour lesquelles le drone frôle l'espace restreint sans y pénétrer (c'est-à-dire que la droite est tangente au cercle).

Déterminer l'équation du cercle circonscrit au parc triangulaire délimité par les avenues d'équations $x=0$, $y=0$ et $3x+4y-12=0$.

Le GPS d'un téléphone portable reçoit les signaux de deux tours de télécommunication. La première tour est à l'origine du repère et estime que le portable est à $5$ km de distance. La seconde tour est au point $(5\,;\,0)$ et estime que le portable est à $4$ km de distance. Déterminer les coordonnées exactes des deux points où pourrait se trouver le téléphone en calculant l'intersection des deux cercles.

Dans un problème d'optimisation de réseaux, on cherche le lieu géométrique des points du plan tels que la somme des carrés de leurs distances à deux serveurs fixes situés en $(-2\,;\,0)$ et $(2\,;\,0)$ soit exactement égale à $20$. Démontrer analytiquement que la figure obtenue est un cercle et déterminer son équation.

Pour tracer les tangentes au cercle $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$ depuis le point extérieur $P(6\,;\,4)$, on peut envisager deux méthodes analytiques distinctes :

• Méthode 1 (purement algébrique) : Poser le faisceau de droites passant par $P$ à l'aide de son coefficient directeur $m$, remplacer $y$ dans l'équation du cercle et imposer que le discriminant de l'équation du second degré en $x$ soit nul ($\Delta = 0$).

• Méthode 2 (métrique et géométrique) : Exprimer le faisceau de droites sous forme cartésienne $mx - y + (4 - 6m) = 0$ et imposer que la distance euclidienne du centre du cercle à la droite soit exactement égale au rayon ($d(C, r) = R$).

1. a) Analyser les avantages et inconvénients des deux méthodes (charge de calcul, risque d'opérations complexes et traitement d'une éventuelle tangente verticale) et justifier laquelle est la plus efficace dans ce cas.
2. b) Résoudre le problème en appliquant la méthode choisie comme optimale, déterminer les équations des deux tangentes et justifier pourquoi aucune des tangentes issues de $P$ n'est une droite verticale.

Dans un projet d'urbanisme, on prévoit un rond-point circulaire dont le centre doit obligatoirement se situer sur l'axe d'une avenue rectiligne modélisée par l'équation $r: x - 2y = 0$. De plus, le bord extérieur du rond-point doit être tangent à une voie de tramway donnée par la droite $s: 4x + 3y - 1 = 0$ et son tracé doit passer par un monument historique situé au point $A(2\,;\,3)$.

1. a) Paramétrer les coordonnées du centre en fonction d'une seule variable, poser l'égalité entre la distance du centre au point $A$ et la distance du centre à la droite $s$, et démontrer en justifiant qu'il existe deux cercles théoriques satisfaisant toutes les conditions données, en déterminant leurs centres et leurs rayons respectifs.
2. b) Du point de vue de la faisabilité technique et des dimensions d'un rond-point dans un tissu urbain ordinaire, justifier de manière critique pourquoi l'une des deux solutions théoriques n'a aucun sens pratique et doit être écartée. Pour la solution viable, écrire son équation générale et calculer les coordonnées exactes du point de tangence avec la voie de tramway.