Movimientos en el plano
Un dron de reparto sale de la Rambla y se corre 3 km al este. La imagen de una antena se refleja en el agua del Río de la Plata. Una pieza de un videojuego aparece del otro lado de un espejo. Todos son movimientos del plano: cambian la posición de la figura, pero no la deforman. La pregunta es cómo calcular, con coordenadas, dónde queda cada punto. Al final del apartado vas a poder usar esto para decidir dónde conviene ubicar una estación de bombeo.
Traslación de puntos
Si conocés el punto inicial $A$ y el final $B$, el vector que describe el movimiento es $\vec{AB} = B - A$ (final menos inicial).
Dos traslaciones seguidas equivalen a una sola, cuyo vector es la suma: primero $\vec u$ y después $\vec w$ es lo mismo que trasladar con $\vec u + \vec w$.
Un dron de reparto se encuentra en la posición $P(3, -2)$, expresada en kilómetros respecto a su base. El controlador le envía una instrucción para realizar un…
Un dron de reparto se encuentra en la posición $P(3, -2)$, expresada en kilómetros respecto a su base. El controlador le envía una instrucción para realizar un desplazamiento rectilíneo definido por el vector de traslación $\vec{v} = (-5, 4)$. Determina las coordenadas de la nueva posición del dron.
Una máquina de corte láser se desplaza en línea recta sobre una plancha de metal desde el punto inicial $A(-1, 5)$ hasta el punto final $B(4, 2)$. Calcula el vector de…
Una máquina de corte láser se desplaza en línea recta sobre una plancha de metal desde el punto inicial $A(-1, 5)$ hasta el punto final $B(4, 2)$. Calcula el vector de traslación que describe exactamente este movimiento.
Una grúa desplaza horizontal y verticalmente una viga rectilínea cuyos extremos iniciales son $A(1, 1)$ y $B(5, 3)$. El movimiento se realiza mediante una traslación…
Una grúa desplaza horizontal y verticalmente una viga rectilínea cuyos extremos iniciales son $A(1, 1)$ y $B(5, 3)$. El movimiento se realiza mediante una traslación definida por el vector $\vec{t} = (0, -4)$. Calcula las coordenadas de los nuevos extremos $A'$ y $B'$ de la viga.
Simetría central
¿Por qué $2M - A$? Porque el punto medio es $M = \dfrac{A + A'}{2}$; despejá $A'$ y sale la fórmula.
En el diseño de un jardín simétrico, se quiere colocar una fuente en el punto $F'$ que sea el simétrico de una estatua situada en $E(4, 7)$ con respecto a un poste…
En el diseño de un jardín simétrico, se quiere colocar una fuente en el punto $F'$ que sea el simétrico de una estatua situada en $E(4, 7)$ con respecto a un poste central ubicado en el origen de coordenadas $O(0, 0)$. Halla las coordenadas donde debe instalarse la fuente.
Dos satélites de comunicaciones, $S_1$ y $S_2$, orbitan de manera simétrica con respecto a una estación espacial central. Si $S_1$ está en la posición $(8, -3)$ y la…
Dos satélites de comunicaciones, $S_1$ y $S_2$, orbitan de manera simétrica con respecto a una estación espacial central. Si $S_1$ está en la posición $(8, -3)$ y la estación espacial se encuentra en $(2, 1)$, calcula las coordenadas de la posición del satélite $S_2$.
Simetría axial
Casos directos, sin cálculos:
| Eje | Simétrico de $(x, y)$ |
|---|---|
| eje de abscisas ($y=0$) | $(x, -y)$ |
| eje de ordenadas ($x=0$) | $(-x, y)$ |
| recta $y = x$ | $(y, x)$ |
| recta vertical $x = k$ | $(2k - x,\ y)$ |
| recta horizontal $y = k$ | $(x,\ 2k - y)$ |
Para una recta cualquiera hay un procedimiento de tres pasos.
Un arquitecto diseña un puente cuyo arco tiene un punto de anclaje crítico en $A(-3, 5)$. Para mantener la simetría visual en un renderizado 3D respecto a la superficie…
Un arquitecto diseña un puente cuyo arco tiene un punto de anclaje crítico en $A(-3, 5)$. Para mantener la simetría visual en un renderizado 3D respecto a la superficie del agua, que coincide con el eje de abscisas ($y=0$), necesita ubicar el reflejo virtual de este punto bajo el agua. Determina las coordenadas de este punto simétrico.
En un programa de diseño gráfico, se ha trazado un polígono con un vértice clave en el punto $V(5, -2)$. Se aplica una simetría axial respecto a la bisectriz del primer…
En un programa de diseño gráfico, se ha trazado un polígono con un vértice clave en el punto $V(5, -2)$. Se aplica una simetría axial respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante (recta $y=x$). Determina analíticamente las coordenadas del vértice simétrico $V'$.
Un rayo láser se emite desde un proyector situado en el punto $P(-2, 4)$. Frente a él hay un espejo plano colocado exactamente sobre la recta de ecuación…
Un rayo láser se emite desde un proyector situado en el punto $P(-2, 4)$. Frente a él hay un espejo plano colocado exactamente sobre la recta de ecuación $r \equiv x - 2y + 5 = 0$. Calcula las coordenadas del punto virtual $P'$ (simétrico de $P$ respecto al espejo) del cual parece provenir la luz reflejada.
Trasladar rectas y circunferencias
Para trasladar una figura con vector $\vec v=(h, k)$, trasladás sus puntos. Con ecuaciones, esto equivale a sustituir $x$ por $x-h$ e $y$ por $y-k$ en la ecuación.
¿Por qué se resta? Un punto $(x, y)$ está en la figura nueva si al deshacer el movimiento, o sea al restarle $\vec v$, cae en la figura original: $(x-h,\ y-k)$ tiene que cumplir la ecuación vieja.
La trayectoria de una cinta transportadora sigue la recta de ecuación $y = 2x - 1$. Por necesidades de espacio en la fábrica, se traslada toda la cinta $3$ unidades…
La trayectoria de una cinta transportadora sigue la recta de ecuación $y = 2x - 1$. Por necesidades de espacio en la fábrica, se traslada toda la cinta $3$ unidades hacia la izquierda y $2$ unidades hacia arriba. Escribe la ecuación general de la nueva recta que define la trayectoria trasladada.
Una antena de telefonía celular proporciona cobertura en una zona circular cuya ecuación cartesiana es $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$. Por problemas de interferencias…
Una antena de telefonía celular proporciona cobertura en una zona circular cuya ecuación cartesiana es $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$. Por problemas de interferencias con un edificio cercano, la compañía decide trasladar la antena (el centro de la circunferencia) según el vector $\vec{v} = (-3, 5)$. Determiná la ecuación general de la nueva zona de cobertura.
Trasladar parábolas y elipses al origen
A veces el objetivo es el contrario: buscar la traslación que deja la figura con su centro (o vértice) en el origen, para tener una ecuación más simple. Se completan cuadrados, se identifica el centro o vértice $(h, k)$ y se traslada con el vector $(-h, -k)$.
El reflector de un faro de automóvil sigue el perfil de la parábola $y = x^2 - 6x + 11$. Para facilitar la programación de la máquina de mecanizado CNC, el ingeniero…
El reflector de un faro de automóvil sigue el perfil de la parábola $y = x^2 - 6x + 11$. Para facilitar la programación de la máquina de mecanizado CNC, el ingeniero necesita aplicar una traslación a la parábola de modo que su vértice coincida exactamente con el origen de coordenadas. Determina el vector de traslación necesario y la nueva ecuación de la parábola.
La órbita de un cometa se proyecta en un plano astronómico según la ecuación de la elipse $4x^2 + 9y^2 - 24x + 36y + 36 = 0$. Mediante una traslación de ejes, es posible…
La órbita de un cometa se proyecta en un plano astronómico según la ecuación de la elipse $4x^2 + 9y^2 - 24x + 36y + 36 = 0$. Mediante una traslación de ejes, es posible expresar esta ecuación en su forma reducida centrada en el origen. Calcula el vector de traslación que mueve el origen geométrico de la cónica al origen de coordenadas y escribe la ecuación de la elipse tras dicha traslación.
Simetrías de rectas
Para hallar el simétrico de una recta alcanza con saber dónde van dos de sus puntos (o un punto y la dirección).
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Simetría central: la recta imagen es paralela a la original. Se simetriza un punto y se usa la misma dirección.
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Simetría axial: si la recta corta al eje, el punto de corte es fijo (está en el eje). Se simetriza otro punto de la recta y se traza la recta por ambos.
Una vía de tren discurre siguiendo la trayectoria de la recta $r \equiv 3x + 4y - 12 = 0$. Un urbanista quiere trazar una nueva avenida $s$ que sea perfectamente…
Una vía de tren discurre siguiendo la trayectoria de la recta $r \equiv 3x + 4y - 12 = 0$. Un urbanista quiere trazar una nueva avenida $s$ que sea perfectamente simétrica a la vía del tren con respecto a un monumento central situado en $C(1, -1)$. Encuentra la ecuación general de la avenida $s$.
Un rayo de luz viaja a lo largo de la recta $r \equiv 2x - y + 4 = 0$ y choca contra un espejo plano situado sobre la recta $s \equiv x + y - 1 = 0$. Determina la…
Un rayo de luz viaja a lo largo de la recta $r \equiv 2x - y + 4 = 0$ y choca contra un espejo plano situado sobre la recta $s \equiv x + y - 1 = 0$. Determina la ecuación general de la recta $r'$ que contiene al rayo reflejado, sabiendo que dicha recta es la simétrica de $r$ con respecto a $s$.
Simetría de circunferencias y polígonos
Consecuencias prácticas:
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Un polígono se simetriza vértice por vértice y se unen los resultados.
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Una circunferencia se simetriza reflejando su centro; el radio no cambia.
Una parcela agrícola tiene forma de triángulo con vértices en $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 5)$. La intendencia expropia la parcela y, a cambio, le entrega al propietario…
Una parcela agrícola tiene forma de triángulo con vértices en $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 5)$. La intendencia expropia la parcela y, a cambio, le entrega al propietario otra parcela obtenida al aplicarle al triángulo original una simetría axial respecto a la recta vertical $x = 6$. Calculá los vértices de la nueva parcela y demostrá analíticamente que el área de la parcela no varió.
El contorno de un engranaje circular tiene la ecuación $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$. Este engranaje se refleja en un espejo inclinado representado por la recta…
El contorno de un engranaje circular tiene la ecuación $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$. Este engranaje se refleja en un espejo inclinado representado por la recta $r \equiv 3x - 4y + 10 = 0$. Determina la ecuación general de la circunferencia que representa la imagen reflejada del engranaje.
Mediatriz y camino mínimo
Mediatriz como eje de simetría. Si $A$ y $B$ son simétricos respecto a una recta $e$, entonces $e$ es la mediatriz de $AB$: pasa por el punto medio y es perpendicular a $AB$. Sus puntos equidistan de $A$ y $B$.
Camino mínimo (reflexión). Una pelota que rebota o un rayo de luz que se refleja cumplen ángulo de incidencia = ángulo de reflexión. Truco: reflejar uno de los puntos respecto a la banda o espejo. El camino mínimo (o el rebote real) es la recta que une el otro punto con ese simétrico, y el rebote se produce donde esa recta corta al eje. Funciona porque $PB = PB'$ para cualquier $P$ del eje, y la recta es el camino más corto.
Dos torres de vigilancia forestal se encuentran ubicadas en los puntos $T_1(-3, 1)$ y $T_2(5, 5)$. Se quiere trazar un cortafuegos rectilíneo que actúe como eje de…
Dos torres de vigilancia forestal se encuentran ubicadas en los puntos $T_1(-3, 1)$ y $T_2(5, 5)$. Se quiere trazar un cortafuegos rectilíneo que actúe como eje de simetría entre ambas torres, de forma que cualquier punto del cortafuegos equidiste de $T_1$ y $T_2$. Calcula la ecuación general de la recta que define dicho cortafuegos.
Dos pueblos, $A(1, 5)$ y $B(7, 2)$, necesitan conectarse a una tubería principal de agua que discurre en línea recta a lo largo del eje de abscisas ($y=0$). Se quiere…
Dos pueblos, $A(1, 5)$ y $B(7, 2)$, necesitan conectarse a una tubería principal de agua que discurre en línea recta a lo largo del eje de abscisas ($y=0$). Se quiere construir una estación de bombeo $P$ sobre la tubería principal de manera que la longitud total de los tubos secundarios ($AP + PB$) sea mínima. Utilizando el concepto de simetría axial, calcula las coordenadas exactas del punto $P$ y la longitud mínima total de la tubería.
En una mesa de billar, una bola blanca está situada en el punto $B(2, 3)$ y una bola roja en $R(8, 6)$. Un jugador desea golpear la bola roja haciendo que la blanca…
En una mesa de billar, una bola blanca está situada en el punto $B(2, 3)$ y una bola roja en $R(8, 6)$. Un jugador desea golpear la bola roja haciendo que la blanca rebote primero en la banda superior de la mesa, que se encuentra sobre la recta $y = 10$. Suponiendo que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión, calcula las coordenadas del punto exacto de la banda donde debe impactar la bola blanca para lograr su objetivo.
Dos simetrías de ejes paralelos
Si reflejás un punto en una recta $r$ y el resultado en otra recta $s$ paralela a $r$, el efecto total es una traslación perpendicular a las rectas, de módulo el doble de la distancia entre ellas.
Para rectas inclinadas se hace igual, con un punto genérico $P(x_0, y_0)$: se refleja dos veces con el procedimiento de siempre y se calcula $\vec{PP''}$.
Recíprocamente, para llevar una recta $r$ a otra paralela $s$ con la traslación de menor módulo, el vector es perpendicular a ambas y su módulo es la distancia entre ellas. Se obtiene así: se toma un punto $Q$ de $r$, se baja la perpendicular a $s$, y el vector va de $Q$ al pie en $s$.
Demuestra analíticamente que la composición de dos simetrías axiales respecto a rectas paralelas es equivalente a una traslación. Para ello, considera las rectas…
Demuestra analíticamente que la composición de dos simetrías axiales respecto a rectas paralelas es equivalente a una traslación. Para ello, considera las rectas $r \equiv x - 2y = 0$ y $s \equiv x - 2y + 10 = 0$. Toma un punto genérico $P(x_0, y_0)$, halla su simétrico $P'$ respecto a $r$, y luego el simétrico $P''$ de $P'$ respecto a $s$. Determina el vector de traslación $\vec{v} = \vec{PP''}$ y comprueba que es perpendicular a las rectas y que su módulo es el doble de la distancia entre ellas.
Dadas las rectas paralelas $r \equiv 2x + y - 3 = 0$ y $s \equiv 2x + y + 7 = 0$, halla el vector de traslación $\vec{v}$ de menor módulo que transforma la recta $r$ en…
Dadas las rectas paralelas $r \equiv 2x + y - 3 = 0$ y $s \equiv 2x + y + 7 = 0$, halla el vector de traslación $\vec{v}$ de menor módulo que transforma la recta $r$ en la recta $s$. Demuestra analíticamente que este vector es perpendicular a ambas rectas y que su módulo coincide con la distancia más corta entre ellas.
Composición de movimientos
Aplicar dos movimientos seguidos se llama componerlos.
Reconocer el movimiento
Si una isometría lleva $A \to A'$ y $B \to B'$:
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Traslación: $\vec{AA'} = \vec{BB'}$ (el mismo vector para todos).
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Simetría central: los puntos medios de $AA'$ y $BB'$ coinciden, y ese punto es el centro.
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En ambos casos $d(A, B) = d(A', B')$.
Volvé al principio: el dron, el reflejo y la pieza del videojuego son traslaciones y simetrías. Con las fórmulas de este apartado podés calcular dónde queda cada punto, y reflejar un punto sirve para hallar el mejor lugar para una estación de bombeo.
Un barco pesquero realiza dos movimientos consecutivos en alta mar. Primero se traslada según el vector $\vec{u} = (2, 6)$ y luego según el vector $\vec{v} = (3, -1)$.…
Un barco pesquero realiza dos movimientos consecutivos en alta mar. Primero se traslada según el vector $\vec{u} = (2, 6)$ y luego según el vector $\vec{v} = (3, -1)$. Si partió de un puerto situado en las coordenadas $P(-4, -5)$, determina su posición final tras ambos desplazamientos.
En la animación de un videojuego, el centro geométrico de un personaje situado en $A(1, 3)$ sufre una traslación de vector $\vec{t} = (4, -2)$ seguida inmediatamente de…
En la animación de un videojuego, el centro geométrico de un personaje situado en $A(1, 3)$ sufre una traslación de vector $\vec{t} = (4, -2)$ seguida inmediatamente de una simetría central respecto al punto $C(2, 0)$. Halla la posición final del personaje y comprueba analíticamente si el resultado sería el mismo aplicando primero la simetría y luego la traslación.
Una isometría en el plano transforma el punto $A(1, 2)$ en $A'(5, 4)$ y el punto $B(3, -1)$ en $B'(7, 1)$. a) Demuestra que la distancia entre $A$ y $B$ es la misma que…
Una isometría en el plano transforma el punto $A(1, 2)$ en $A'(5, 4)$ y el punto $B(3, -1)$ en $B'(7, 1)$.
- a) Demuestra que la distancia entre $A$ y $B$ es la misma que entre $A'$ y $B'$.
- b) Determina si el movimiento descrito corresponde a una traslación pura o a una simetría central, justificando analíticamente la respuesta y hallando el vector de traslación o el centro de simetría correspondiente.