Forma polar y trigonométrica de un número complejo

Módulo y argumento: las coordenadas polares de $z$

Hasta ahora escribías $z = a + bi$: es la forma binómica, también llamada cartesiana porque usa las coordenadas $(a, b)$ del afijo. Ahora vamos a describir el mismo punto con otras dos coordenadas.

Fijate que $a = r\cos\alpha$ y $b = r\sen\alpha$: el vector de $z$ y sus proyecciones forman un triángulo rectángulo. Por eso para hallar $\alpha$ se usa $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$.

De polar a binómica: forma trigonométrica

Si ya tenés $r$ y $\alpha$, recuperar $a$ y $b$ es trigonometría del triángulo rectángulo: el cateto contiguo es $a = r\cos\alpha$ y el opuesto es $b = r\sen\alpha$.

Probá mover el punto y fijate cómo cambian sus coordenadas en cada cuadrante:

Conjugado, opuesto e igualdad en polar

En binómica, conjugar cambia el signo de $b$ y el opuesto cambia los dos signos. En polar se ve en el ángulo: conjugar refleja el argumento respecto al eje real y el opuesto gira el vector media vuelta.

También hay que saber cuándo dos formas polares son el mismo número.

Dar una vuelta completa no mueve el punto. Por eso se suele tomar el argumento en $[0^\circ, 360^\circ)$: así cada complejo no nulo tiene una única escritura «estándar».

Producto y cociente en polar

Multiplicar en binómica obliga a distribuir y usar $i^2=-1$. En polar es casi gratis.

¿Por qué? Con la forma trigonométrica, $r(\cos\alpha+i\sen\alpha)\cdot s(\cos\beta+i\sen\beta)$ da $rs\big[(\cos\alpha\cos\beta-\sen\alpha\sen\beta)+i(\sen\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sen\beta)\big]$. Los paréntesis son, por las fórmulas de suma de ángulos, $\cos(\alpha+\beta)$ y $\sen(\alpha+\beta)$.

Inverso de un complejo y problemas con cocientes

El inverso de $z=r_\alpha$ es $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1_{0^\circ}}{r_\alpha}=\left(\dfrac{1}{r}\right)_{-\alpha}$. Es decir: se invierte el módulo y se cambia el signo del argumento. El producto de $z$ por su inverso es $1_{0^\circ}=1$.

Cuando un enunciado da un cociente y un producto de dos números incógnita, podés despejar con las mismas reglas. Si $z_1/z_2=A$ y $z_1z_2=B$, al multiplicar queda $z_1^2=A\cdot B$. Después buscás las raíces cuadradas (que se explican más abajo) y calculás $z_2$.

Si te piden el argumento de un cociente con un parámetro, como $\dfrac{a+2i}{1+i}$, usá que $\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\arg z_1-\arg z_2$. También podés dividir en binómica y exigir parte real igual a parte imaginaria (porque $\tan 45^\circ=1$).

Multiplicar es girar (y estirar)

Multiplicar $z$ por $w=s_\beta$ cambia el módulo de $z$ multiplicándolo por $s$ y gira el vector $\beta$ grados. Si $s=1$, solo gira: $z\cdot 1_\beta$ es $z$ rotado $\beta$ grados en sentido antihorario alrededor del origen. Así se resuelve el gancho de las aspas del molino.

Muchos problemas de brazos articulados o de giros en pantalla se resuelven así: pasás a polar, multiplicás, volvés a binómica. Si además hay que sumar vectores (el extremo de un brazo de dos segmentos es $z_1+z_2$), sumá siempre en binómica.

Potencias: fórmula de Moivre

Elevar a una potencia es multiplicar varias veces el mismo número: se multiplican módulos y se suman argumentos repetidamente.

Esto sirve también para calcular expresiones largas como $\dfrac{(1-\sqrt3 i)^5}{(-2+2i)^3}$: pasás numerador y denominador a polar, usás Moivre en cada uno y dividís.

Moivre y la trigonometría

Con módulo $1$, Moivre dice que $(\cos\alpha+i\sen\alpha)^n=\cos n\alpha+i\sen n\alpha$. Si desarrollás el primer miembro con el binomio de Newton y comparás partes real e imaginaria, obtenés fórmulas para $\cos n\alpha$ y $\sen n\alpha$. Por ejemplo, para $n=2$: $\cos^2\alpha-\sen^2\alpha + 2i\sen\alpha\cos\alpha = \cos2\alpha+i\sen2\alpha$, de donde $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sen^2\alpha$ y $\sen2\alpha=2\sen\alpha\cos\alpha$.

Cuando un complejo tiene módulo $1$ y su potencia vale $1$, sus potencias se repiten en ciclo. Eso permite calcular exponentes enormes: se reduce el exponente al resto de dividir entre el ciclo.

Raíces n-ésimas

Buscar las raíces cuartas de $w$ es buscar los $z$ tales que $z^4=w$. Con Moivre, si $z=\rho_\theta$ entonces $z^n=(\rho^n)_{n\theta}$, y esto debe ser igual a $w=r_\alpha$. Por la igualdad en polar: $\rho^n=r$ y $n\theta=\alpha+360^\circ k$.

Todas tienen el mismo módulo, así que están sobre una misma circunferencia. Sus argumentos se separan $\dfrac{360^\circ}{n}$, así que forman un polígono regular de $n$ lados. Para $k\ge n$ las raíces se repiten.

Ecuaciones $z^n = w$ y bicuadradas

Resolver $z^n=w$ es hallar las raíces n-ésimas de $w$, así que ahora ya podés hacerlo.

Si la ecuación tiene la forma $z^{2n}+bz^n+c=0$ (como $z^6-7z^3-8=0$ o $z^4+2z^2+4=0$), hacé un cambio de variable: $u=z^n$. Resolvés la ecuación de segundo grado en $u$ con la fórmula resolvente (puede dar raíces complejas) y después hallás las raíces n-ésimas de cada valor de $u$.

Raíces y polígonos regulares

Como los afijos de las $n$ raíces n-ésimas son los vértices de un polígono regular, podés calcular áreas, perímetros y sumas.

• Si dos vértices consecutivos están a $\dfrac{360^\circ}{n}$ de distancia angular sobre una circunferencia de radio $R$, el lado mide $2R\sen\dfrac{180^\circ}{n}$.

• Un polígono regular de $n$ lados se descompone en $n$ triángulos isósceles con vértice en el origen, de lados $R$ y $R$ y ángulo $\dfrac{360^\circ}{n}$ entre ellos. Cada uno tiene área $\dfrac12R^2\sen\dfrac{360^\circ}{n}$.

• Si conocés un vértice, el resto se obtiene girándolo, es decir, multiplicando por $1_{360^\circ/n}$. Y la potencia $n$-ésima de cualquier vértice da el número $W$ de partida.

• La suma de las $n$ raíces n-ésimas de un número es $0$ (para $n\ge2$): el polígono está «balanceado» alrededor del origen. Una forma de probarlo: si $S$ es la suma, al multiplicar cada raíz por $1_{360^\circ/n}$ se obtiene la misma lista reordenada, así que $S\cdot 1_{360^\circ/n}=S$, lo que obliga a $S=0$.

Resumen

Volvé al principio: para girar $z=4-4i$ sesenta grados lo escribís como $4\sqrt2_{315^\circ}$, lo multiplicás por $1_{60^\circ}$ y obtenés $4\sqrt2_{375^\circ}=4\sqrt2_{15^\circ}$. Ya no hace falta resolver ningún sistema.