Progresiones aritméticas
Una ciclista se entrena para una vuelta ciclista y cada día suma siempre los mismos kilómetros al recorrido del día anterior. Un comercio cobra cuotas que suben lo mismo cada mes. Cuando se suma siempre una cantidad fija hay un patrón: una progresión aritmética. Vas a ver cómo describirlo con una fórmula, cómo sumar muchos términos sin escribirlos todos y cómo plantear ecuaciones y sistemas a partir de él.
Término general y diferencia
Esta sucesión es una función de dominio $\mathbb{N}$: a cada posición $n$ le corresponde el término $a_n$. Si $d>0$ crece, si $d<0$ decrece. La fórmula tiene sentido: para llegar al término $n$ desde el primero das $n-1$ saltos de tamaño $d$.
Probá con el deslizador cómo cambian los términos:
Para reconocer una progresión aritmética a partir de su término general, restá $a_{n+1}-a_n$: si el resultado no depende de $n$, es aritmética y ese resultado es $d$. Por ejemplo, si $b_n = 5-3n$, entonces $b_{n+1}-b_n = 5-3(n+1)-(5-3n) = -3$: es aritmética con $d=-3$.
Para saber si un número pertenece a la progresión, igualalo al término general y resolvé: si $n$ da natural, está y $n$ es su posición. Por ejemplo, $c_n = 4n-6$: $4n-6=102 \Rightarrow n=27$, pertenece y ocupa el lugar 27.
Escribe el término general y calcula el término vigésimo de la siguiente progresión aritmética: $7, 11, 15, 19, \dots$
Escribe el término general y calcula el término vigésimo de la siguiente progresión aritmética: $7, 11, 15, 19, \dots$
Dada la sucesión definida por el término general $b_n = 5 - 3n$, demuestra que se trata de una progresión aritmética y determina el valor de su diferencia.
Dada la sucesión definida por el término general $b_n = 5 - 3n$, demuestra que se trata de una progresión aritmética y determina el valor de su diferencia.
Averigua si el número $102$ pertenece a la progresión aritmética cuyo término general es $c_n = 4n - 6$. En caso afirmativo, indica qué posición ocupa en la sucesión.
Averigua si el número $102$ pertenece a la progresión aritmética cuyo término general es $c_n = 4n - 6$. En caso afirmativo, indica qué posición ocupa en la sucesión.
En una progresión aritmética, el primer término es $a_1 = -5$ y la diferencia es $d = \frac{3}{2}$. Calcula el valor del término que ocupa la posición $40$.
En una progresión aritmética, el primer término es $a_1 = -5$ y la diferencia es $d = \frac{3}{2}$. Calcula el valor del término que ocupa la posición $40$.
Plantear ecuaciones y sistemas
Cuando conocés dos términos no consecutivos, podés armar un sistema con $a_1$ y $d$ como incógnitas, o despejar $d$ contando los «saltos» que hay entre ellos.
El mismo problema como sistema (por sustitución, igualación o reducción): $a_1+3d=15$ y $a_1+9d=39$. Restando, $6d=24$.
El octavo término de una progresión aritmética es $32$ y su diferencia es $d = 4$. Halla el primer término $a_1$ y la expresión de su término general $a_n$.
El octavo término de una progresión aritmética es $32$ y su diferencia es $d = 4$. Halla el primer término $a_1$ y la expresión de su término general $a_n$.
Los tres primeros términos de una progresión aritmética son $x$, $x+4$ y $2x-1$. Calcula el valor numérico de $x$ y escribe cuáles son esos tres primeros términos.
Los tres primeros términos de una progresión aritmética son $x$, $x+4$ y $2x-1$. Calcula el valor numérico de $x$ y escribe cuáles son esos tres primeros términos.
En una progresión aritmética se sabe que el cuarto término es $15$ y el décimo término es $39$. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular la diferencia $d$ y el…
En una progresión aritmética se sabe que el cuarto término es $15$ y el décimo término es $39$. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular la diferencia $d$ y el primer término $a_1$. Posteriormente, halla la suma de los $20$ primeros términos de dicha progresión.
Interpola cinco medios aritméticos entre los números $-8$ y $22$. Escribe la progresión aritmética completa resultante indicando su diferencia.
Interpola cinco medios aritméticos entre los números $-8$ y $22$. Escribe la progresión aritmética completa resultante indicando su diferencia.
La suma de los primeros términos
Se cuenta que Gauss, de niño, sumó $1+2+\dots+100$ emparejando extremos: $1+100=101$, $2+99=101$, … hay $50$ parejas. En toda progresión aritmética los términos equidistantes de los extremos suman lo mismo ($a_1+a_n$), y eso da la fórmula.
Para sumar los términos entre dos posiciones (por ejemplo de la 20 a la 40, inclusive), calculá $S_{40}-S_{19}$, o bien tratá ese tramo como una progresión con $21$ términos cuyo primero es $a_{20}$ y último $a_{40}$.
Calcula la suma de los primeros $30$ términos de una progresión aritmética sabiendo que el primer término es $a_1 = 4$ y el trigésimo término es $a_{30} = 91$.
Calcula la suma de los primeros $30$ términos de una progresión aritmética sabiendo que el primer término es $a_1 = 4$ y el trigésimo término es $a_{30} = 91$.
Calcula la suma de los primeros $50$ múltiplos positivos de $6$ (es decir, la suma de la sucesión $6, 12, 18, \dots$).
Calcula la suma de los primeros $50$ múltiplos positivos de $6$ (es decir, la suma de la sucesión $6, 12, 18, \dots$).
En una progresión aritmética, el primer término es $a_1 = 3$ y la diferencia es $d = 2$. Si la suma de los $n$ primeros términos es $S_n = 360$, plantea la ecuación de…
En una progresión aritmética, el primer término es $a_1 = 3$ y la diferencia es $d = 2$. Si la suma de los $n$ primeros términos es $S_n = 360$, plantea la ecuación de segundo grado correspondiente y determina el número de términos $n$ que se han sumado.
En una progresión aritmética de diferencia $d = 3$, el primer término es $a_1 = -10$. Calcula la suma de los términos comprendidos entre la posición $20$ y la posición…
En una progresión aritmética de diferencia $d = 3$, el primer término es $a_1 = -10$. Calcula la suma de los términos comprendidos entre la posición $20$ y la posición $40$, ambas inclusive.
Problemas con progresiones aritméticas
Butacas en abanico, entrenamientos, cuotas, apilamientos de tubos, ángulos de un polígono… Preguntate siempre: ¿se suma lo mismo cada vez? ¿Me piden un término o una suma? ¿Cuántos términos hay realmente?
Una ciclista comienza su plan de entrenamiento recorriendo $12$ km el primer día. Para mejorar su resistencia, cada día aumenta la distancia de su recorrido en $1,5$ km…
Una ciclista comienza su plan de entrenamiento recorriendo $12$ km el primer día. Para mejorar su resistencia, cada día aumenta la distancia de su recorrido en $1,5$ km respecto al día anterior. ¿En qué día de su entrenamiento recorrerá exactamente $42$ km? ¿Cuántos kilómetros totales habrá recorrido sumando todos los días hasta ese día inclusive?
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Un teatro tiene sus butacas distribuidas en forma de abanico. La primera fila tiene $20$ butacas, la segunda $24$, la tercera $28$, y así sucesivamente en progresión aritmética. Si el teatro tiene un total de $15$ filas, ¿cuántas butacas hay en la última fila? ¿Cuál es el aforo total (número total de butacas) del teatro?
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Un objeto en caída libre en un planeta ficticio recorre $4,9$ m en el primer segundo. En cada segundo posterior, la distancia recorrida durante ese segundo aumenta en $9,8$ m respecto a la distancia recorrida en el segundo anterior. ¿Qué distancia recorre el objeto exclusivamente durante el décimo segundo de su caída?
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Para repoblar un bosque tras un incendio, una brigada forestal planta árboles de manera progresiva. La primera semana logran plantar $120$ árboles, pero debido a la fatiga acumulada y a la menor disponibilidad de terreno accesible, cada semana plantan $5$ árboles menos que la semana anterior. ¿Cuántas semanas transcurrirán hasta que la brigada haya plantado un total exacto de $1470$ árboles? (Nota: Analiza matemáticamente las posibles soluciones y justifica cuál tiene sentido en el contexto del problema).
Problemas más exigentes
Aquí hay que combinar lo anterior: parámetros, demostraciones y sumas que dan el término general.
Los ángulos interiores de un hexágono convexo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $140^\circ$, calcula la medida de los otros cinco…
Los ángulos interiores de un hexágono convexo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $140^\circ$, calcula la medida de los otros cinco ángulos interiores del hexágono. (Recuerda que la suma de los ángulos interiores de un polígono de $n$ lados es $180^\circ \cdot (n-2)$).
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La suma de los $n$ primeros términos de una sucesión viene dada por la expresión $S_n = 2n^2 + 5n$. Encuentra la expresión matemática del término general $a_n$ y demuestra rigurosamente que dicha sucesión es una progresión aritmética.
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En un almacén industrial se apilan tubos de acero cilíndricos de forma que cada fila tiene exactamente un tubo menos que la fila inmediatamente inferior sobre la que se apoya. Si la fila más alta (la cúspide) tiene $1$ solo tubo y en total hay $210$ tubos apilados, ¿cuántas filas de tubos componen el apilamiento? ¿Cuántos tubos hay en la fila base apoyada en el suelo?
Encuentra tres números que estén en progresión aritmética sabiendo que su suma es $24$ y que la suma de sus cuadrados es $242$.
Encuentra tres números que estén en progresión aritmética sabiendo que su suma es $24$ y que la suma de sus cuadrados es $242$.
Determina los valores del parámetro $k$ para que las expresiones algebraicas $k^2 - 2$, $3k + 1$ y $k^2 + 4k$ sean tres términos consecutivos de una progresión…
Determina los valores del parámetro $k$ para que las expresiones algebraicas $k^2 - 2$, $3k + 1$ y $k^2 + 4k$ sean tres términos consecutivos de una progresión aritmética. Para cada valor de $k$ hallado, escribe los tres términos correspondientes.
Demuestra algebraicamente que si los números $a^2$, $b^2$ y $c^2$ están en progresión aritmética, entonces los números $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ y $\frac{1}{a+b}$…
Demuestra algebraicamente que si los números $a^2$, $b^2$ y $c^2$ están en progresión aritmética, entonces los números $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ y $\frac{1}{a+b}$ también forman una progresión aritmética.
Una empresa adquiere una máquina industrial por $1\,280\,000$ pesos y llega a un acuerdo para pagarla en cuotas mensuales que forman una progresión aritmética. Si se…
Una empresa adquiere una máquina industrial por $1\,280\,000$ pesos y llega a un acuerdo para pagarla en cuotas mensuales que forman una progresión aritmética. Si se sabe que la primera cuota a pagar es de $20\,000$ pesos y la última cuota será de $108\,000$ pesos, ¿en cuántos meses saldará la empresa su deuda? ¿Cuál es el incremento mensual exacto de la cuota respecto al mes anterior?
Resumen
Volvé al principio: la ciclista que suma los mismos kilómetros cada día recorre en $n$ días $S_n$ kilómetros, y esa cantidad se calcula con la fórmula de Gauss sin escribir los términos uno por uno.