Coeficiente de correlación lineal
Un docente de Educación Física registra las horas de entrenamiento semanal de sus estudiantes y su tiempo en los 100 metros llanos. La covarianza le dice que a más entrenamiento el tiempo baja, pero no le dice si esa relación es fuerte o floja, porque depende de las unidades (horas, minutos, segundos). ¿Cómo medir la fuerza de la relación con un número que no dependa de las unidades? Eso hace el coeficiente de correlación.
El coeficiente de correlación de Pearson
Dividir por $\sigma_x\sigma_y$ elimina las unidades: la covarianza tiene unidades de $X$ por unidades de $Y$, y las desviaciones estándar también.
El signo de $r$ es el de la covarianza: positivo si la relación es directa, negativo si es inversa. El valor absoluto indica la fuerza: cuanto más cerca de $1$, más alineados están los puntos sobre una recta; cerca de $0$, hay poca asociación lineal.
Si te dan $r$ y las desviaciones, despejás la covarianza: $\sigma_{xy}=r\,\sigma_x\sigma_y$. Y si te dan $r$, $\sigma_{xy}$ y $\sigma_x$, despejás $\sigma_y=\dfrac{\sigma_{xy}}{r\,\sigma_x}$.
En un estudio sobre el rendimiento de paneles solares, se ha calculado que la covarianza entre la radiación solar recibida ($X$) y la energía generada ($Y$) es…
En un estudio sobre el rendimiento de paneles solares, se ha calculado que la covarianza entre la radiación solar recibida ($X$) y la energía generada ($Y$) es $\sigma_{xy} = 15,2$. Sabiendo que las desviaciones típicas son $\sigma_x = 4,0$ y $\sigma_y = 3,9$, calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson e interpreta el resultado.
El coeficiente de correlación lineal entre el gasto en publicidad ($X$, en miles de pesos) y los ingresos por ventas ($Y$, en miles de pesos) de una empresa es…
El coeficiente de correlación lineal entre el gasto en publicidad ($X$, en miles de pesos) y los ingresos por ventas ($Y$, en miles de pesos) de una empresa es $r = 0,88$. Si las desviaciones estándar marginales son $\sigma_x = 100$ y $\sigma_y = 496$, determiná el valor de la covarianza $\sigma_{xy}$.
En una distribución estadística bidimensional, se conoce que la varianza de la primera variable es $\sigma_x^2 = 25$, la covarianza conjunta es $\sigma_{xy} = 18$ y el…
En una distribución estadística bidimensional, se conoce que la varianza de la primera variable es $\sigma_x^2 = 25$, la covarianza conjunta es $\sigma_{xy} = 18$ y el coeficiente de correlación lineal es $r = 0,6$. A partir de estos datos, determina el valor exacto de la varianza de la segunda variable, $\sigma_y^2$.
Interpretar el valor de r
Una guía habitual (no es una regla exacta):
| Valor de $\lvert r\rvert$ | Correlación lineal |
|---|---|
| cerca de $1$ (por ejemplo, más de $0{,}8$) | fuerte |
| entre $0{,}5$ y $0{,}8$ aprox. | moderada |
| menos de $0{,}3$ aprox. | débil o nula |
Para anticipar el signo, pensá si al crecer una variable la otra tiende a crecer (positivo) o a decrecer (negativo). Por ejemplo, más horas de entrenamiento suelen dar menos segundos en los 100 metros: $r<0$. Y si no hay motivo para que se relacionen (el último dígito de la cédula y la altura), $r\approx 0$.
Considerá las siguientes parejas de variables estadísticas. Indicá, razonadamente, si el coeficiente de correlación lineal entre ellas será positivo, negativo o cercano…
Considerá las siguientes parejas de variables estadísticas. Indicá, razonadamente, si el coeficiente de correlación lineal entre ellas será positivo, negativo o cercano a cero:
- a) El número de horas de entrenamiento semanal de un atleta y su tiempo en recorrer 100 metros llanos.
- b) La cantidad de lluvia caída en un mes y las ventas de paraguas en ese mismo mes.
- c) El último dígito de la cédula de identidad de una persona y su altura en centímetros.
Observa los tres diagramas de dispersión etiquetados como A, B y C. Asocia cada uno de ellos con el valor del coeficiente de correlación lineal que mejor lo describa,…
Observa los tres diagramas de dispersión etiquetados como A, B y C. Asocia cada uno de ellos con el valor del coeficiente de correlación lineal que mejor lo describa, eligiendo entre los siguientes valores: $r = -0,92$, $r = 0,05$ y $r = 0,95$.
Clasifica la fuerza (fuerte, moderada o débil/nula) y el sentido (positiva o negativa) de la correlación lineal para cada uno de los siguientes coeficientes obtenidos en…
Clasifica la fuerza (fuerte, moderada o débil/nula) y el sentido (positiva o negativa) de la correlación lineal para cada uno de los siguientes coeficientes obtenidos en distintos estudios estadísticos:
- a) $r = 0,98$
- b) $r = -0,12$
- c) $r = -0,85$
- d) $r = 0,55$
Calcular r con datos
Con una tabla de datos, los pasos son los de la estadística bidimensional:
-
Calculá las medias $\bar x$ e $\bar y$.
-
Calculá las desviaciones estándar $\sigma_x$ y $\sigma_y$.
-
Calculá la covarianza $\sigma_{xy}=\dfrac{\sum x_iy_i}{N}-\bar x\,\bar y$.
-
Dividí: $r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}$.
Si te dan los sumatorios, todo sale de ellos: $\bar x=\dfrac{\sum x_i}{N}$, $\sigma_x^2=\dfrac{\sum x_i^2}{N}-\bar x^2$, y lo mismo para $y$.
Se ha medido el tiempo de reacción ($X$, en segundos) y el número de errores cometidos ($Y$) en una prueba de coordinación psicomotriz para 3 individuos, obteniendo los…
Se ha medido el tiempo de reacción ($X$, en segundos) y el número de errores cometidos ($Y$) en una prueba de coordinación psicomotriz para 3 individuos, obteniendo los siguientes pares de valores: $(1, 2)$, $(2, 4)$ y $(3, 5)$. Calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson para este pequeño conjunto de datos.
Una empresa de logística quiere estudiar la relación entre el peso de los envíos ($X$, en kg) y el costo del transporte ($Y$, en pesos). Para ello, selecciona una…
Una empresa de logística quiere estudiar la relación entre el peso de los envíos ($X$, en kg) y el costo del transporte ($Y$, en pesos). Para ello, selecciona una muestra de 5 envíos, obteniendo los siguientes datos:
-
Peso ($X$): 2, 4, 5, 8, 11
-
Costo ($Y$): 480, 600, 720, 1.000, 1.200
Calculá las medias, las desviaciones estándar marginales, la covarianza y el coeficiente de correlación lineal. Según el resultado, ¿es el peso un buen predictor lineal del costo del transporte?
Los datos de un ensayo clínico sobre la dosis de un medicamento ($X$, en mg) y el tiempo de recuperación ($Y$, en días) para $N=10$ pacientes se resumen en los…
Los datos de un ensayo clínico sobre la dosis de un medicamento ($X$, en mg) y el tiempo de recuperación ($Y$, en días) para $N=10$ pacientes se resumen en los siguientes sumatorios:
$\sum x_i = 120$, $\sum y_i = 80$, $\sum x_i^2 = 1540$, $\sum y_i^2 = 680$, $\sum x_i y_i = 910$.
Calcula el coeficiente de correlación lineal e interpreta el resultado en el contexto del problema médico.
Cambios de escala
Si pasás la temperatura de °C a °F, o la producción de toneladas a kilos, ¿cambia $r$? Intuitivamente no: la forma de la nube de puntos es la misma, solo cambian los ejes.
La idea: estirar, achicar o correr los ejes no altera qué tan alineados están los puntos. Solo si un eje se da vuelta (factor negativo) la relación pasa de directa a inversa y cambia el signo.
Un caso especial muy útil son las variables tipificadas $Z_x=\dfrac{X-\bar x}{\sigma_x}$ y $Z_y=\dfrac{Y-\bar y}{\sigma_y}$, con media $0$ y desviación estándar $1$. Tipificar solo corre y reescala los ejes, así que no cambia la forma de la nube de puntos. El resultado es que la covarianza de las variables tipificadas es exactamente el coeficiente de correlación: $\sigma_{z_xz_y}=r_{xy}$.
En un estudio de agronomía, se ha calculado que el coeficiente de correlación lineal entre la temperatura media mensual en grados Celsius ($C$) y la producción de un…
En un estudio de agronomía, se ha calculado que el coeficiente de correlación lineal entre la temperatura media mensual en grados Celsius ($C$) y la producción de un cultivo en toneladas ($P$) es $r = 0,82$. Si decidimos expresar la temperatura en grados Fahrenheit utilizando la fórmula $F = 1,8C + 32$ y la producción en kilogramos mediante $K = 1000P$, ¿cuál será el nuevo coeficiente de correlación entre $F$ y $K$? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades matemáticas de este coeficiente.
Dadas dos variables estadísticas $X$ e $Y$, se definen sus correspondientes variables tipificadas como $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ y…
Dadas dos variables estadísticas $X$ e $Y$, se definen sus correspondientes variables tipificadas como $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ y $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$. Demuestra paso a paso que la covarianza entre las variables tipificadas, $\sigma_{z_x z_y}$, es exactamente igual al coeficiente de correlación lineal $r_{xy}$ de las variables originales.
Los casos extremos: r = ±1 y r = 0
Por qué: todos los puntos están sobre una recta, sin dispersión; cada desviación de $X$ se traslada a $Y$ de forma proporcional.
Si te dicen que $r=1$ y tres puntos, esos puntos están alineados: podés hallar un valor desconocido usando que la pendiente entre cada par de puntos es la misma.
Puntos atípicos
Un solo punto alejado de la nube (un valor atípico u outlier) puede cambiar mucho el valor de $r$. Si el punto va en contra de la tendencia del resto, $|r|$ baja; si queda lejos pero alineado con la tendencia, $|r|$ puede subir y dar una falsa impresión de fuerza. Por eso conviene calcular $r$ con y sin ese punto y comparar. Por ejemplo, si casi todos los estudiantes que estudian más horas sacan mejor calificación, pero uno estudió mucho y sacó muy poco, ese único punto debilita bastante la correlación.
Se está estudiando la relación entre dos variables $X$ e $Y$ a partir de tres observaciones experimentales: $(0, 2)$, $(3, 8)$ y $(5, k)$. Sabemos de antemano que existe…
Se está estudiando la relación entre dos variables $X$ e $Y$ a partir de tres observaciones experimentales: $(0, 2)$, $(3, 8)$ y $(5, k)$. Sabemos de antemano que existe una dependencia funcional lineal perfecta y positiva entre ambas variables, es decir, el coeficiente de correlación es $r = 1$. Sin necesidad de calcular las desviaciones típicas, determina el valor del parámetro $k$.
El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre las horas de estudio semanales ($X$) y la calificación obtenida en un examen ($Y$) para un grupo de…
El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre las horas de estudio semanales ($X$) y la calificación obtenida en un examen ($Y$) para un grupo de estudiantes.
Analiza visualmente la nube de puntos y responde de forma justificada:
- a) Si no tuviéramos en cuenta el punto anómalo (outlier) situado en la parte inferior derecha, ¿cómo sería el coeficiente de correlación lineal?
- b) ¿Qué efecto produce la inclusión de este punto anómalo sobre el valor del coeficiente de correlación de Pearson respecto al caso anterior?
Sea una distribución bidimensional $(X, Y)$ donde la variable $Y$ se obtiene a partir de la variable $X$ mediante la transformación afín $Y = -4X + 7$, con $X$ no…
Sea una distribución bidimensional $(X, Y)$ donde la variable $Y$ se obtiene a partir de la variable $X$ mediante la transformación afín $Y = -4X + 7$, con $X$ no constante ($\sigma_x > 0$). Demostrá analíticamente, utilizando las definiciones algebraicas de la covarianza y la desviación estándar, que el coeficiente de correlación lineal entre $X$ e $Y$ es exactamente $-1$.
El siguiente diagrama de dispersión representa la relación entre la temperatura de un reactor químico ($X$, centrada en 0) y el rendimiento de la reacción ($Y$). Los…
El siguiente diagrama de dispersión representa la relación entre la temperatura de un reactor químico ($X$, centrada en 0) y el rendimiento de la reacción ($Y$). Los puntos registrados son $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ y $(2, 4)$.
- a) Calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson para estos datos.
- b) A la vista del resultado matemático y del gráfico adjunto, explica detenidamente por qué el coeficiente de correlación toma ese valor a pesar de que existe una dependencia funcional exacta ($y = x^2$) entre las variables.
r y las rectas de regresión
La recta de $Y$ sobre $X$ tiene pendiente $m_{yx}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}$ y la de $X$ sobre $Y$ tiene $m_{xy}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}$ (en el eje de $x$ en función de $y$). Multiplicándolas:
$$m_{yx}\cdot m_{xy}=\frac{\sigma_{xy}^2}{\sigma_x^2\sigma_y^2}=r^2.$$Cuando te dan las dos rectas como ecuaciones, tenés que identificar cuál es cuál: en la de $Y$ sobre $X$ está despejada $y$ y su pendiente es el coeficiente de $x$; en la de $X$ sobre $Y$ está despejada $x$ y el coeficiente de $y$ es $m_{xy}$ (la pendiente «en $x$ por unidad de $y$»). Si te dan ecuaciones implícitas, probá las dos asignaciones: la correcta debe dar $r^2\le 1$.
Además, las dos rectas pasan por el punto de medias $(\bar x,\bar y)$: si resolvés el sistema que forman, obtenés las medias.
En una distribución bidimensional, se sabe que la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $m_{yx} = 1,25$ y la pendiente de la recta de regresión de $X$…
En una distribución bidimensional, se sabe que la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $m_{yx} = 1,25$ y la pendiente de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ es $m_{xy} = 0,65$. Sabiendo que la dependencia entre las variables es directa, calcula el coeficiente de correlación lineal $r$.
En una investigación de mercado, se han obtenido las dos rectas de regresión lineal que relacionan el precio de un producto ($X$) y su demanda mensual ($Y$). Las…
En una investigación de mercado, se han obtenido las dos rectas de regresión lineal que relacionan el precio de un producto ($X$) y su demanda mensual ($Y$). Las ecuaciones de dichas rectas son:
Recta 1: $y = -1,5x + 120$
Recta 2: $x = -0,6y + 75$
Calcula el coeficiente de correlación lineal e indica el grado de relación entre el precio y la demanda.
Dadas las rectas de regresión $y = 0,8x + 2,5$ y $x = 1,1y - 1,2$, calcula el coeficiente de correlación lineal $r$. A continuación, determina la media de la variable…
Dadas las rectas de regresión $y = 0,8x + 2,5$ y $x = 1,1y - 1,2$, calcula el coeficiente de correlación lineal $r$. A continuación, determina la media de la variable $Y$.
En un estudio de ingeniería sobre la resistencia de ciertos materiales poliméricos, se han obtenido dos rectas de regresión cuyas ecuaciones implícitas son…
En un estudio de ingeniería sobre la resistencia de ciertos materiales poliméricos, se han obtenido dos rectas de regresión cuyas ecuaciones implícitas son $3x - 2y - 8 = 0$ y $x - 2y + 4 = 0$.
- a) Identifica razonadamente cuál es la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y cuál es la recta de regresión de $X$ sobre $Y$.
- b) Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$ entre ambas variables.
Coeficiente de determinación
La varianza residual de la regresión de $Y$ sobre $X$ es $\sigma_e^2=\sigma_y^2(1-r^2)$.
Dado $r^2$, el valor de $r$ es $\pm\sqrt{r^2}$ y el signo lo decide el sentido de la relación (por ejemplo, si a mayor edad baja el valor del vehículo, $r<0$).
El coeficiente de determinación de un modelo matemático que relaciona la edad de un vehículo comercial ($X$, en años) con su valor de mercado ($Y$, en pesos) es…
El coeficiente de determinación de un modelo matemático que relaciona la edad de un vehículo comercial ($X$, en años) con su valor de mercado ($Y$, en pesos) es $R^2 = 0,7225$. Sabiendo que a mayor edad el valor del vehículo disminuye, ¿cuál es el valor exacto del coeficiente de correlación lineal $r$?
Un entrenador de básquetbol analiza los minutos jugados ($X$) y los puntos anotados ($Y$) por 6 de sus jugadores en un partido, obteniendo los siguientes pares de datos:…
Un entrenador de básquetbol analiza los minutos jugados ($X$) y los puntos anotados ($Y$) por 6 de sus jugadores en un partido, obteniendo los siguientes pares de datos: $(10, 4)$, $(15, 8)$, $(20, 12)$, $(25, 14)$, $(30, 20)$, $(35, 22)$. Calculá el coeficiente de determinación $R^2$ y explicá qué porcentaje de la variabilidad de los puntos anotados queda explicada linealmente por los minutos jugados.
La varianza residual (o error cuadrático medio) de la regresión de $Y$ sobre $X$ proporciona una medida de la dispersión de los puntos en torno a la recta de ajuste, y…
La varianza residual (o error cuadrático medio) de la regresión de $Y$ sobre $X$ proporciona una medida de la dispersión de los puntos en torno a la recta de ajuste, y se puede calcular mediante la expresión $\sigma_e^2 = \sigma_y^2 (1 - r^2)$. En un estudio socioeconómico, se sabe que la varianza de la variable dependiente $Y$ es $36$ y que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ deja una varianza residual de $6,25$. Si se conoce que la pendiente de dicha recta de regresión es negativa, halla el coeficiente de correlación lineal $r$ e interpreta estadísticamente su significado.
Covarianza con una suma de variables
A veces se construye una variable nueva $W=X+kY$ y se pregunta si queda incorrelacionada con $X$. Para eso hace falta la covarianza de $X$ con $W$.
Como $r_{xw}=\dfrac{\sigma_{xw}}{\sigma_x\sigma_w}$ y las desviaciones son positivas, $r_{xw}=0$ equivale a $\sigma_{xw}=0$. Entonces se plantea $\sigma_x^2+k\sigma_{xy}=0$ y se despeja $k$. Si te dan $r$, primero hallá $\sigma_{xy}=r\,\sigma_x\sigma_y$.
Las variables aleatorias $X$ e $Y$ tienen varianzas $\sigma_x^2 = 16$ y $\sigma_y^2 = 25$, y su coeficiente de correlación lineal es $r_{xy} = 0,4$. Se define una nueva…
Las variables aleatorias $X$ e $Y$ tienen varianzas $\sigma_x^2 = 16$ y $\sigma_y^2 = 25$, y su coeficiente de correlación lineal es $r_{xy} = 0,4$. Se define una nueva variable sintética $W = X + kY$, donde $k$ es una constante real. Determina el valor exacto de $k$ para que las variables $X$ y $W$ estén incorrelacionadas (es decir, $r_{xw} = 0$).
Nota: Puedes utilizar la propiedad de linealidad de la covarianza: $\sigma_{x, x+ky} = \sigma_x^2 + k\sigma_{xy}$.
Linealizar una relación
Como $r$ mide solo alineación con una recta, si la relación es del tipo $P=\dfrac{k}{V}$ la nube de puntos $(V,P)$ es una curva y $r$ no será $\pm1$. Pero si cambiás de variable, $X=\dfrac{1}{V}$, queda $P=kX$: una recta. Ese cambio se llama linealización.
Los pasos:
-
Definí la variable auxiliar que vuelve lineal el modelo (acá, $X=1/V$).
-
Transformá los datos de esa variable y dejá la otra igual.
-
Calculá $r$ entre la variable nueva y la otra.
-
Si $|r|$ es cercano a $1$, el modelo es razonable.
En un experimento de termodinámica, se mide la presión ($P$) de un gas a diferentes volúmenes ($V$) manteniendo la temperatura constante. La teoría física predice una…
En un experimento de termodinámica, se mide la presión ($P$) de un gas a diferentes volúmenes ($V$) manteniendo la temperatura constante. La teoría física predice una relación del tipo $P = \frac{k}{V}$. Para linealizar el modelo y aplicar regresión lineal, se define una nueva variable auxiliar $X = \frac{1}{V}$. Se han obtenido los siguientes pares experimentales $(V, P)$: $(2; 12,1)$, $(4; 5,9)$, $(5; 4,8)$, $(8; 3,0)$.
Calcula el coeficiente de correlación lineal entre $X$ y $P$. ¿Confirma el resultado obtenido la teoría física subyacente?
Volviendo al principio: para saber si la relación entre horas de entrenamiento y tiempo en los 100 metros es fuerte, calculás $r$; el signo te da el sentido y $|r|$, la fuerza, sin importar si medís en horas o en minutos.