Técnicas de conteo y recuento

Diagramas en árbol y el principio multiplicativo

El diagrama en árbol lo muestra: de cada rama de la primera etapa salen tantas ramas como opciones tiene la segunda, y así se multiplican los caminos.

Contar ordenaciones: cuando el orden importa

Cuando se eligen y ordenan varios elementos sin repetirlos (un podio, un orden de llegada, cargos distintos), el número de casos es un producto de factores decrecientes: para el primer lugar hay $n$ opciones, para el segundo $n-1$, y así sucesivamente.

Contar selecciones: cuando el orden no importa

Cuando se eligen elementos sin importar el orden (una comisión, una muestra, una mano de cartas), el número de casos es el número combinatorio $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$. Sale de dividir las ordenaciones entre las $k!$ formas de ordenar cada grupo, que ahora son todas la misma selección.

Cuando hay grupos distintos, se multiplican los combinatorios de cada grupo.

Extracciones con y sin reposición

Repeticiones independientes: éxito o fracaso

Muchas situaciones repiten el mismo experimento $n$ veces, cada vez con solo dos resultados posibles: éxito (con probabilidad $p$) o fracaso (con probabilidad $1-p$). Es el caso de lanzar monedas, de responder preguntas al azar o de lanzar un dado y mirar si sale un número dado. Las repeticiones son independientes: lo que pasa en una no cambia la siguiente.

Si se pide exactamente $k$ éxitos, primero pensá en una sucesión concreta, por ejemplo éxito en los primeros $k$ intentos y fracaso en el resto. Por independencia, su probabilidad se obtiene multiplicando: $p^k(1-p)^{n-k}$. Pero los éxitos pueden estar en cualquier lugar: hay $\binom{n}{k}$ maneras de elegir en cuáles intentos ocurren, y todas tienen la misma probabilidad.

Casos con restricciones: elementos juntos o repetidos

Algunos enunciados exigen que ciertos elementos queden juntos, o piden contar anagramas con letras repetidas. En esos casos se agrupa o se divide por las repeticiones antes de aplicar Laplace.

Con letras repetidas, las palabras distintas se cuentan dividiendo: por ejemplo, con las letras de «BANANA» hay $\dfrac{6!}{3!\,2!} = 60$ palabras, porque se divide entre las ordenaciones de las $A$ repetidas ($3!$) y de las $N$ repetidas ($2!$).

Ordenaciones circulares: la mesa redonda

Si varias personas se sientan alrededor de una mesa circular, girar a todos un lugar no cambia quién está al lado de quién. Por eso dos disposiciones que se obtienen girando son la misma. Para evitar contarlas varias veces se fija a una persona y se ordenan las demás respecto de ella.

Triángulos con vértices en una circunferencia

Algunos problemas piden elegir vértices de un polígono regular y preguntar por la forma del triángulo. Para saber cuáles son rectángulos se usa el teorema de Thales: un triángulo inscrito en una circunferencia es rectángulo si y solo si uno de sus lados es un diámetro. Ese lado es la hipotenusa.

En un polígono regular de $2m$ lados, cada vértice tiene su opuesto en el extremo del diámetro: hay $m$ diámetros. Cada diámetro, junto con cualquiera de los otros $2m-2$ vértices, forma un triángulo rectángulo, y no se repiten, porque un triángulo tiene a lo sumo un ángulo recto.

Distribuir objetos y aplicar todo junto

Cuando cada elemento elige libremente entre varias opciones (paradas, pisos, urnas), con el principio multiplicativo hay $m^n$ casos posibles si hay $n$ elementos y $m$ opciones cada uno. Si deben ser todos distintos, el primero tiene $m$ opciones, el segundo $m-1$, etcétera.

Otros problemas combinan técnicas: elegir primero qué paradas o pisos se usan con $\binom{n}{k}$ y después asignar quién va a cuál. Siempre es el mismo método: definí el espacio de casos posibles, contá los favorables con el mismo criterio y dividí.

Contar por el complemento: «al menos uno» y «ninguna vacía»

A veces es más fácil contar lo que no queremos y restarlo del total: $P(A) = 1 - P(\text{no } A)$. Es el método natural para «al menos uno».

El mismo espíritu sirve para repartos en los que ninguna urna puede quedar vacía. Se cuentan todos los repartos y se restan los que dejan alguna urna vacía, cuidando de no restar dos veces los repartos que dejan dos urnas vacías (inclusión-exclusión).

Probabilidad condicionada con recuento

A veces el enunciado dice «sabiendo que…»: ya ocurrió un suceso $B$ y se pide la probabilidad de $A$ dentro de ese contexto. Con casos igualmente probables, alcanza con achicar el espacio de casos a los de $B$ y contar allí los favorables.

Desarreglos: cuando nadie recibe lo suyo

Si se devuelven objetos al azar a sus dueños (abrigos, cartas, sombreros), una ordenación en la que alguien recibe lo suyo tiene un punto fijo. Para contar casos hay que saber cuántas ordenaciones tienen exactamente cierta cantidad de puntos fijos.

Un desarreglo es una ordenación de $n$ elementos en la que ninguno queda en su lugar. Los llamamos $D_n$. A mano: $D_1 = 0$ y $D_2 = 1$. Para $n = 3$ se listan: con los abrigos $1, 2, 3$ las ordenaciones sin punto fijo son $(2,3,1)$ y $(3,1,2)$, así que $D_3 = 2$. Para $n=4$ resulta $D_4 = 9$.

Resumen