Inecuaciones lineales con dos incógnitas: sistemas
Una pastelería de Canelones tiene pocas horas de horno y de preparación cada día. ¿Cuántas tortas de cada tipo puede hacer sin pasarse de esas horas? Con una incógnita la solución era un intervalo de la recta. Con dos incógnitas ($x$ e $y$) es una región del plano. Un sistema de varias inecuaciones recorta esa región hasta dejar, muchas veces, un polígono: la región factible. Al final de la página volvemos a la pastelería.
Una inecuación con dos incógnitas es una región
Dado el sistema de inecuaciones lineales $x + y < 5$ y $2x - y \ge 0$, determina cuáles de los siguientes puntos son solución del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$,…
Dado el sistema de inecuaciones lineales $x + y < 5$ y $2x - y \ge 0$, determina cuáles de los siguientes puntos son solución del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$, $C(3, 3)$ y $D(4, 0)$.
Representa gráficamente la inecuación $2x - 3y \le 6$. A continuación, indica dos puntos cuyas coordenadas pertenezcan a la región solución y dos puntos que no…
Representa gráficamente la inecuación $2x - 3y \le 6$. A continuación, indica dos puntos cuyas coordenadas pertenezcan a la región solución y dos puntos que no pertenezcan.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Representar la región: la recta frontera y el semiplano
Primero se traza la recta frontera (como si fuera una igualdad) y después se decide, con un punto de prueba, qué lado sombrear. La recta va discontinua si la desigualdad es estricta y continua si incluye el igual.
A partir de la región sombreada en la figura, determina la inecuación lineal con dos incógnitas que la define. Ten en cuenta que la recta límite pasa por los puntos…
A partir de la región sombreada en la figura, determina la inecuación lineal con dos incógnitas que la define. Ten en cuenta que la recta límite pasa por los puntos $(0, 2)$ y $(3, 0)$ y que la región incluye el origen de coordenadas.
Representa la región del plano que cumple simultáneamente las siguientes restricciones: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ e $y \le 3$.
Representa la región del plano que cumple simultáneamente las siguientes restricciones: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ e $y \le 3$.
Sistemas: la región factible y sus vértices
Representa gráficamente el sistema formado por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$ y $x - y \le 1$, sombreando de forma clara la región factible resultante. Puedes hacerlo…
Representa gráficamente el sistema formado por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$ y $x - y \le 1$, sombreando de forma clara la región factible resultante.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Halla algebraicamente las coordenadas de los vértices de la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x + y \le 4$.
Halla algebraicamente las coordenadas de los vértices de la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x + y \le 4$.
Comprueba de forma analítica si el punto $P(1, 2)$ pertenece a la región definida por el sistema de inecuaciones: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ y $3x + 2y \ge 1$.
Comprueba de forma analítica si el punto $P(1, 2)$ pertenece a la región definida por el sistema de inecuaciones: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ y $3x + 2y \ge 1$.
Dada la región, hallar el sistema
A veces la región está dibujada y hay que escribir las inecuaciones. Para cada lado del polígono: hallá la ecuación de la recta que pasa por dos vértices, y con un punto interior decidí el sentido de la desigualdad.
La figura muestra una región poligonal en el plano cartesiano que representa las combinaciones viables de producción de dos componentes electrónicos. Determina el…
La figura muestra una región poligonal en el plano cartesiano que representa las combinaciones viables de producción de dos componentes electrónicos. Determina el sistema de inecuaciones que define dicha región, sabiendo que sus vértices son $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(4, 4)$ y $D(2, 3)$.
La imagen muestra una región factible en forma de cuadrilátero, que modeliza las limitaciones de un proyecto de ingeniería de software (horas de programación en el eje…
La imagen muestra una región factible en forma de cuadrilátero, que modeliza las limitaciones de un proyecto de ingeniería de software (horas de programación en el eje $X$ vs horas de testeo en el eje $Y$). Los vértices son $P(0, 4)$, $Q(2, 5)$, $R(5, 2)$ y $S(3, 0)$. Determina el sistema de inecuaciones que define exactamente esta región.
Calcular con la región: vértices y área
Con los vértices se puede, por ejemplo, calcular el área de la región (descomponiéndola en triángulos o rectángulos) o decidir si un punto cumple el sistema. Si hay fracciones, multiplicá cada inecuación por el mcm de los denominadores (número positivo, así que no cambia el sentido).
Representa gráficamente el sistema de inecuaciones $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcula las coordenadas exactas de los…
Representa gráficamente el sistema de inecuaciones $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcula las coordenadas exactas de los vértices de la región resultante.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Calcula el área de la región del plano definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $y \ge x + 2$, $y \ge -x + 2$ e $y \le 4$.
Calcula el área de la región del plano definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $y \ge x + 2$, $y \ge -x + 2$ e $y \le 4$.
Dado el sistema de inecuaciones $2x + 3y \le 12$, $x - y \ge -1$ e $y \ge 0$. Analiza cómo cambia el área de la región factible si la primera restricción se modifica a…
Dado el sistema de inecuaciones $2x + 3y \le 12$, $x - y \ge -1$ e $y \ge 0$. Analiza cómo cambia el área de la región factible si la primera restricción se modifica a $2x + 3y \le 12 + k$, con $k > 0$. Expresa el área de la nueva región en función de $k$, asumiendo que la forma geométrica del polígono resultante se mantiene como un triángulo.
Problemas: plantear el sistema desde un enunciado
Muchas situaciones con recursos limitados (horas, kilos, presupuesto, cupos) se modelan con un sistema de inecuaciones. Pasos: definí las incógnitas, traducí cada restricción, añadí las condiciones de no negatividad, representá y hallá los vértices.
Volviendo al principio: la pastelería puede producir cualquier combinación $(x, y)$ dentro de ese cuadrilátero; por ejemplo $(4,2)$ usa justo todas las horas.
Una pastelería elabora dos tipos de tartas, T1 y T2. La tarta T1 requiere $2$ horas de preparación y $1$ hora de horneado, mientras que la tarta T2 requiere $1$ hora de…
Una pastelería elabora dos tipos de tartas, T1 y T2. La tarta T1 requiere $2$ horas de preparación y $1$ hora de horneado, mientras que la tarta T2 requiere $1$ hora de preparación y $2$ horas de horneado. Se dispone de un máximo de $10$ horas de preparación y $8$ horas de horneado al día. Plantea el sistema de inecuaciones que modeliza esta situación (considerando que las cantidades no pueden ser negativas) y representa gráficamente la región de posibles producciones diarias.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un agricultor dispone de $50$ hectáreas para plantar trigo y cebada. La semilla de trigo cuesta $800$ pesos por hectárea y la de cebada $1\,200$ pesos por hectárea. El…
Un agricultor dispone de $50$ hectáreas para plantar trigo y cebada. La semilla de trigo cuesta $800$ pesos por hectárea y la de cebada $1\,200$ pesos por hectárea. El presupuesto máximo para semillas es de $48\,000$ pesos. Además, por normativas ambientales, la superficie de cebada no puede superar el doble de la superficie de trigo. Escribí el sistema de inecuaciones asociado y hallá los vértices de la región factible.
Para transportar $60$ toneladas de mercancía, una empresa de logística cuenta con camiones grandes con capacidad para $8$ toneladas y camiones pequeños con capacidad…
Para transportar $60$ toneladas de mercancía, una empresa de logística cuenta con camiones grandes con capacidad para $8$ toneladas y camiones pequeños con capacidad para $5$ toneladas. Por restricciones de personal, no se pueden enviar más de $10$ vehículos en total. Plantea el sistema de inecuaciones que determina el número de camiones de cada tipo que se pueden utilizar y halla analíticamente los vértices de la región solución.
Un entrenador personal planifica una rutina con ejercicios de fuerza ($x$) y ejercicios de cardio ($y$). El tiempo total de entrenamiento debe estar entre $40$ y $60$…
Un entrenador personal planifica una rutina con ejercicios de fuerza ($x$) y ejercicios de cardio ($y$). El tiempo total de entrenamiento debe estar entre $40$ y $60$ minutos. Cada ejercicio de fuerza dura $5$ minutos y cada uno de cardio $10$ minutos. Además, el número de ejercicios de fuerza debe ser al menos igual al número de ejercicios de cardio. Plantea el sistema de inecuaciones y represéntalo gráficamente.
Una refinería produce dos tipos de aleaciones, A y B. Para la aleación A se necesitan $3$ kg de cobre, $1$ kg de zinc y $2$ kg de estaño por unidad. Para la aleación B,…
Una refinería produce dos tipos de aleaciones, A y B. Para la aleación A se necesitan $3$ kg de cobre, $1$ kg de zinc y $2$ kg de estaño por unidad. Para la aleación B, $1$ kg de cobre, $2$ kg de zinc y $3$ kg de estaño. Se dispone en el almacén de un máximo de $300$ kg de cobre, $200$ kg de zinc y $240$ kg de estaño. Plantea el sistema de inecuaciones que describe las posibles producciones de ambas aleaciones, representa la región factible y calcula las coordenadas de todos sus vértices.
Para la organización de un concierto se venden entradas VIP ($x$) y entradas estándar ($y$). El aforo máximo del recinto es de $5000$ personas. Por motivos de seguridad…
Para la organización de un concierto se venden entradas VIP ($x$) y entradas estándar ($y$). El aforo máximo del recinto es de $5000$ personas. Por motivos de seguridad y rentabilidad, el número de entradas estándar no puede superar el triple de las entradas VIP. Además, los organizadores exigen que se vendan al menos $1000$ entradas VIP. Escribe el sistema de inecuaciones, halla los vértices de la región factible y determina algebraicamente si es posible vender exactamente $1500$ entradas VIP y $4000$ estándar.
Un nutricionista diseña una dieta basada en dos alimentos, X e Y. Cada porción del alimento X aporta $20$ g de proteínas, $10$ g de grasas y $40$ g de carbohidratos.…
Un nutricionista diseña una dieta basada en dos alimentos, X e Y. Cada porción del alimento X aporta $20$ g de proteínas, $10$ g de grasas y $40$ g de carbohidratos. Cada porción de Y aporta $15$ g de proteínas, $20$ g de grasas y $30$ g de carbohidratos. La dieta debe aportar al menos $120$ g de proteínas, no más de $100$ g de grasas y exactamente $240$ g de carbohidratos. Plantea el sistema de inecuaciones y ecuaciones asociado. ¿Se trata de una región bidimensional o de un segmento? Justifica tu respuesta y halla los extremos del conjunto solución.
Una fábrica de muebles produce sillas y mesas. Cada silla requiere $2$ horas de corte y $1$ hora de ensamblaje. Cada mesa requiere $1$ hora de corte y $3$ horas de…
Una fábrica de muebles produce sillas y mesas. Cada silla requiere $2$ horas de corte y $1$ hora de ensamblaje. Cada mesa requiere $1$ hora de corte y $3$ horas de ensamblaje. Los trabajadores pueden dedicar un máximo de $40$ horas semanales al corte y $60$ horas al ensamblaje. Además, por un contrato previo, se deben fabricar al menos $5$ mesas semanales y el número de sillas no puede ser inferior al número de mesas. Plantea el sistema de inecuaciones, represéntalo y halla todos los vértices de la región factible.
Hallar el máximo o el mínimo
Con la región factible, muchas veces se pregunta cuál es la mejor opción: la ganancia más alta, el gasto más bajo, la mayor cantidad posible de un producto. Esa cantidad es una expresión lineal $f(x,y)=px+qy$, la función objetivo.
Cuando una de las variables está fija
A veces el enunciado fija una incógnita (por ejemplo, «si se tienen exactamente 5 de un tipo»). Entonces se sustituye ese valor en todas las inecuaciones: quedan inecuaciones con una sola incógnita. Si la incógnita cuenta objetos, la respuesta tiene que ser un número entero: se toma el mayor entero que cumpla todas las condiciones.
Una empresa de alquiler de vehículos dispone de autos y furgonetas. El mantenimiento diario de un auto cuesta $400$ pesos y el de una furgoneta $800$ pesos. El…
Una empresa de alquiler de vehículos dispone de autos y furgonetas. El mantenimiento diario de un auto cuesta $400$ pesos y el de una furgoneta $800$ pesos. El presupuesto diario para mantenimiento no supera los $12\,000$ pesos. El estacionamiento tiene capacidad máxima para $20$ vehículos. Determiná la región factible y hallá el número máximo de furgonetas que pueden mantenerse si se tienen exactamente $5$ autos.
Regiones no acotadas, vacías y casos especiales
No toda región factible es un polígono cerrado. Si las inecuaciones no «encierran» el plano por todos los lados, la región es no acotada; si las condiciones son incompatibles, es vacía. Si hay una ecuación (igualdad) en el sistema, la solución puede ser un segmento. Una franja como $2\le x+y\le 5$ tampoco es un polígono: es una región entre dos rectas paralelas, no acotada.
Representa el conjunto de soluciones del sistema formado por las inecuaciones $x + y \ge 2$ y $x + y \le 5$. Describe qué tipo de región geométrica se obtiene.
Representa el conjunto de soluciones del sistema formado por las inecuaciones $x + y \ge 2$ y $x + y \le 5$. Describe qué tipo de región geométrica se obtiene.
Considera la región del plano definida por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ y $x - y \ge -2$. Demuestra algebraicamente que se trata de una región acotada…
Considera la región del plano definida por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ y $x - y \ge -2$. Demuestra algebraicamente que se trata de una región acotada y determina las coordenadas de los vértices que posee esta región.
Se da el sistema de inecuaciones $x + y \le 6$, $2x + y \le 8$, $x \ge 0$ e $y \ge k$. Discute, en función del parámetro $k$, el número de vértices que tiene la región…
Se da el sistema de inecuaciones $x + y \le 6$, $2x + y \le 8$, $x \ge 0$ e $y \ge k$. Discute, en función del parámetro $k$, el número de vértices que tiene la región factible. ¿Para qué valores de $k$ la región factible se reduce al conjunto vacío?