Función con raíces
Un parque eólico de Rocha calcula la frecuencia de vibración de una pala con una fórmula que lleva una raíz cuadrada. Si la expresión bajo la raíz da negativa para ciertos valores, la fórmula no tiene sentido: esa combinación no existe. Para saber cuándo pasa eso no alcanza con «el radicando no puede ser negativo»: hay que resolver la inecuación y dar el dominio exacto como intervalo. De eso trata esta página.
Dominio con índice par: resolver la inecuación del radicando
Si $g(x)$ es de segundo grado, la inecuación no siempre da una semirrecta.
Determina el dominio de definición de la siguiente función con raíz de índice par: $f(x) = \sqrt{3x - 12}$
Determina el dominio de definición de la siguiente función con raíz de índice par:
$f(x) = \sqrt{3x - 12}$
Halla el dominio de la función cuadrática bajo una raíz cuadrada: $h(x) = \sqrt{16 - x^2}$
Halla el dominio de la función cuadrática bajo una raíz cuadrada:
$h(x) = \sqrt{16 - x^2}$
Calcula el dominio de la función que contiene una raíz de índice par en el denominador: $f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}}$
Calcula el dominio de la función que contiene una raíz de índice par en el denominador:
$f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}}$
Dominio con índice impar: no hay restricción
Calcula el dominio de definición de la función con raíz de índice impar: $g(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 8x + 1}$
Calcula el dominio de definición de la función con raíz de índice impar:
$g(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 8x + 1}$
Dominio con fracciones bajo la raíz
Halla el dominio de la función irracional que contiene una expresión racional: $f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 5}}$
Halla el dominio de la función irracional que contiene una expresión racional:
$f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 5}}$
Determina el dominio de la función irracional cuyo radicando es una fracción algebraica con un numerador cuadrático: $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 1}}$
Determina el dominio de la función irracional cuyo radicando es una fracción algebraica con un numerador cuadrático:
$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 1}}$
Determina el dominio de la función irracional que contiene una expresión racional donde el numerador y el denominador comparten raíces:…
Determina el dominio de la función irracional que contiene una expresión racional donde el numerador y el denominador comparten raíces:
$f(x) = \sqrt{\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^2 + x - 2}}$
Dominio de sumas de raíces y de raíces anidadas
Cuando en la segunda condición el otro miembro puede ser negativo, hay que separar casos.
Halla el dominio de definición de la función formada por la suma de dos raíces: $f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{6 - 2x}$
Halla el dominio de definición de la función formada por la suma de dos raíces:
$f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{6 - 2x}$
Halla el dominio de definición de la función anidada: $f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{x - 3}}$
Halla el dominio de definición de la función anidada:
$f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{x - 3}}$
Resuelve la inecuación asociada al dominio de la función $f(x) = \sqrt{\sqrt{x + 7} - x - 1}$ y exprésalo en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación asociada al dominio de la función $f(x) = \sqrt{\sqrt{x + 7} - x - 1}$ y exprésalo en forma de intervalo.
Dominio con un parámetro
A veces te piden para qué valores de un parámetro el dominio es todo $\mathbb{R}$. Eso significa que el radicando debe ser $\geq0$ para todo $x$.
Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el dominio de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + kx + 9}$ es todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$.
Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el dominio de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + kx + 9}$ es todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$.
Forma de la gráfica, recorrido y traslaciones
Movés los deslizadores y mirá qué hace cada parámetro:
A partir de la función $f(x) = \sqrt{x}$, escribe la expresión analítica de la función $g(x)$ cuya gráfica se obtiene al desplazar $f(x)$ tres unidades hacia la…
A partir de la función $f(x) = \sqrt{x}$, escribe la expresión analítica de la función $g(x)$ cuya gráfica se obtiene al desplazar $f(x)$ tres unidades hacia la izquierda y dos unidades hacia arriba. ¿Cuál es el dominio de $g(x)$?
Determina el dominio y el recorrido de la función con coeficiente principal negativo: $f(x) = -\sqrt{x - 1}$
Determina el dominio y el recorrido de la función con coeficiente principal negativo:
$f(x) = -\sqrt{x - 1}$
Observa la gráfica adjunta que representa una función de la forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ sabiendo que el…
Observa la gráfica adjunta que representa una función de la forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ sabiendo que el vértice de la semiparábola se encuentra en el punto $(2, 1)$ y pasa por el punto $(6, -3)$.
Cortes con los ejes e intersecciones
Encuentra los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función: $f(x) = \sqrt{x + 9} - 3$
Encuentra los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función:
$f(x) = \sqrt{x + 9} - 3$
Calculá los puntos de intersección entre la función irracional $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ y la función afín $g(x) = x + 1$.
Calculá los puntos de intersección entre la función irracional $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ y la función afín $g(x) = x + 1$.
Función inversa
Para hallar la función inversa se intercambian $x$ e $y$ y se despeja la nueva $y$. Una función con raíz de índice par es inyectiva en su dominio, pero la inversa que sale de despejar es un polinomio que, mirado solo, tendría más valores: hay que acotar su dominio.
Dada la función $f(x) = 3 + \sqrt{2x - 4}$, determina su función inversa $f^{-1}(x)$ e indica el dominio y el recorrido de dicha función inversa.
Dada la función $f(x) = 3 + \sqrt{2x - 4}$, determina su función inversa $f^{-1}(x)$ e indica el dominio y el recorrido de dicha función inversa.
Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcula su función inversa $f^{-1}(x)$ restringiendo el dominio original al intervalo $(-\infty, 0]$. Indica claramente el…
Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcula su función inversa $f^{-1}(x)$ restringiendo el dominio original al intervalo $(-\infty, 0]$. Indica claramente el dominio y recorrido de la función inversa obtenida.
Funciones con raíces en problemas
Siempre que una magnitud depende del cuadrado de otra y hay que despejar la segunda, aparece una raíz: radios a partir de áreas, periodos de oscilación, costos con rendimientos decrecientes.
En un problema, el dominio matemático se recorta con el sentido del contexto: una longitud o una cantidad de piezas no pueden ser negativas.
La relación entre el área $A$ de un círculo y su radio $r$ viene dada por la fórmula $A = \pi r^2$. Expresa el radio en función del área, $r(A)$, e indica el dominio de…
La relación entre el área $A$ de un círculo y su radio $r$ viene dada por la fórmula $A = \pi r^2$. Expresa el radio en función del área, $r(A)$, e indica el dominio de definición válido en este contexto geométrico.
El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple se puede aproximar mediante la función $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en…
El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple se puede aproximar mediante la función $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en metros. Calcula la longitud necesaria para que el periodo sea exactamente de $2$ segundos e indica el dominio teórico de la función $T(L)$ en este contexto físico.
El costo de producción $C(x)$, en pesos, de $x$ piezas de un componente electrónico para satélites sigue un modelo de rendimientos decrecientes dado por…
El costo de producción $C(x)$, en pesos, de $x$ piezas de un componente electrónico para satélites sigue un modelo de rendimientos decrecientes dado por $C(x) = 100\,000 + 4\,800\sqrt{x - 50}$. Determiná el dominio válido para la función de costos y calculá cuántas piezas se fabricaron si el costo total ascendió a $196\,000$ pesos.
Modelos con dominio restringido
En los problemas más completos el dominio sale de combinar condiciones de la raíz con condiciones geométricas o económicas.
En la teoría de la relatividad especial, el factor de Lorentz $\gamma$ depende de la velocidad $v$ de un objeto según la función…
En la teoría de la relatividad especial, el factor de Lorentz $\gamma$ depende de la velocidad $v$ de un objeto según la función $\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $c$ es la velocidad de la luz en el vacío (aproximadamente $3 \cdot 10^8$ m/s). Determina el dominio de la función $\gamma(v)$ e interpreta físicamente qué ocurre con la función cuando $v$ se acerca a los extremos de dicho dominio.
Se inscribe un rectángulo en la región delimitada por el eje de abscisas y la semicircunferencia superior de radio $R = 5$, cuya ecuación es $y = \sqrt{25 - x^2}$.…
Se inscribe un rectángulo en la región delimitada por el eje de abscisas y la semicircunferencia superior de radio $R = 5$, cuya ecuación es $y = \sqrt{25 - x^2}$. Expresa el perímetro del rectángulo $P(x)$ en función de la coordenada $x$ del vértice situado en el primer cuadrante. Determina el dominio válido de $P(x)$ en este contexto geométrico y calcula su valor para $x = 3$.
Una empresa de ingeniería estima que los ingresos $I(x)$ y los costos $C(x)$ diarios, en miles de pesos, al fabricar $x$ toneladas de un material compuesto vienen dados…
Una empresa de ingeniería estima que los ingresos $I(x)$ y los costos $C(x)$ diarios, en miles de pesos, al fabricar $x$ toneladas de un material compuesto vienen dados por $I(x) = x\sqrt{40 - x}$ y $C(x) = 2x + 5$. Determiná el dominio de la función beneficio $B(x) = I(x) - C(x)$ en el contexto del problema y calculá si la empresa obtiene ganancias o pérdidas al fabricar $15$ toneladas.