Regla de Ruffini
Una cooperativa de Canelones modeliza sus ganancias con un polinomio de grado 3 y quiere saber en qué años el balance fue cero. Dividir con el algoritmo general es largo y fácil de equivocar. La regla de Ruffini hace lo mismo trabajando solo con números: una fila de coeficientes, un valor $a$ y una tabla de tres filas que da el cociente y el resto en segundos. Al final de la página volvemos a esa pregunta.
Mecánica de la regla de Ruffini
Se escriben los coeficientes de $P(x)$ en fila, con $0$ en los grados que falten, y el valor $a$ aparte. El primer coeficiente baja tal cual. Cada resultado siguiente se obtiene multiplicando el último número de la fila de abajo por $a$ y sumando el coeficiente de su columna.
Dividí el polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomio $x - 2$ utilizando la regla de Ruffini e indicá el cociente y el resto resultantes.
Dividí el polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomio $x - 2$ utilizando la regla de Ruffini e indicá el cociente y el resto resultantes.
Aplicá la regla de Ruffini para realizar la división de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escribí claramente el polinomio cociente y el valor del resto.
Aplicá la regla de Ruffini para realizar la división de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escribí claramente el polinomio cociente y el valor del resto.
Hallá el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicando la regla de Ruffini.
Hallá el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicando la regla de Ruffini.
Ruffini también evalúa y confirma raíces
El último número de la tabla es el resto, y por el teorema del resto el resto de dividir entre $x-a$ es $P(a)$. Entonces Ruffini sirve para calcular el valor numérico sin sustituir término a término, y para comprobar si un número es raíz: si el resto da $0$, lo es.
Comprobá, utilizando la regla de Ruffini, si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Comprobá, utilizando la regla de Ruffini, si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Calculá el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando el teorema del resto mediante la regla de Ruffini.
Calculá el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando el teorema del resto mediante la regla de Ruffini.
Determiná, sin realizar la división completa y utilizando el teorema del resto o la regla de Ruffini, si el binomio $x + 1$ es un factor del polinomio…
Determiná, sin realizar la división completa y utilizando el teorema del resto o la regla de Ruffini, si el binomio $x + 1$ es un factor del polinomio $P(x) = x^4 + x^3 - x^2 + x + 2$.
Calculá el valor numérico del polinomio $P(x) = x^4 - 2,5x^3 + 1,5x^2 - 3x + 2$ para $x = 2$ utilizando exclusivamente la disposición de la regla de Ruffini.
Calculá el valor numérico del polinomio $P(x) = x^4 - 2,5x^3 + 1,5x^2 - 3x + 2$ para $x = 2$ utilizando exclusivamente la disposición de la regla de Ruffini.
Factorizar con una raíz conocida
Cuando se conoce una raíz $a$, Ruffini da el cociente: un polinomio de un grado menos. Si ese cociente tiene otra raíz evidente, se repite el proceso. Si queda un polinomio de segundo grado, se resuelve con la fórmula resolvente (de Bhaskara) o buscando dos números por suma y producto.
Factoriza el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabiendo de antemano que $x = 1$ es una de sus raíces.
Factoriza el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabiendo de antemano que $x = 1$ es una de sus raíces.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ hallando todas sus raíces.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ hallando todas sus raíces.
Factoriza completamente el polinomio de quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomios irreducibles sobre los números reales.
Factoriza completamente el polinomio de quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomios irreducibles sobre los números reales.
Ruffini en problemas
Volúmenes, beneficios y movimientos se expresan con polinomios. Encontrar sus factores permite hallar una dimensión desconocida o los instantes en que algo vale cero.
El volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si se sabe que la altura de la caja es $x - 1$,…
El volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si se sabe que la altura de la caja es $x - 1$, determina el polinomio que representa el área de la base $A(x)$.
Los beneficios de una empresa, en miles de pesos, se modelizan durante sus primeros años de actividad mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, donde $x$…
Los beneficios de una empresa, en miles de pesos, se modelizan durante sus primeros años de actividad mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, donde $x$ representa el tiempo en años. Encontrá los años exactos en los que el beneficio de la empresa fue nulo (puntos de equilibrio).
La posición de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Determina en qué…
La posición de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Determina en qué instantes de tiempo la partícula pasa por el origen de coordenadas ($s(t) = 0$).
La temperatura de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos) se modeliza mediante el polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en qué…
La temperatura de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos) se modeliza mediante el polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en qué instantes de tiempo la temperatura de la reacción es exactamente de $0^\circ\text{C}$.
Ruffini y las inecuaciones polinómicas
Factorizar sirve para estudiar el signo de un polinomio. Las raíces dividen la recta real en intervalos, y en cada uno el signo de $P(x)$ no cambia (cambia al pasar por una raíz de multiplicidad impar).
Resolvé la inecuación polinómica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para eso, factorizá primero el polinomio utilizando la regla de Ruffini y luego estudiá el signo en…
Resolvé la inecuación polinómica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para eso, factorizá primero el polinomio utilizando la regla de Ruffini y luego estudiá el signo en los intervalos correspondientes de la recta real.
Ampliación: parámetros desconocidos
Si el polinomio tiene un coeficiente sin determinar, una condición como «es divisible por $x-a$» o «el resto al dividir entre $x-a$ es $c$» se vuelve una ecuación: se hace Ruffini con el parámetro y se iguala el último número a lo que pide la condición.
Determina el valor de la constante $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sea divisible exactamente por $x - 1$.
Determina el valor de la constante $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sea divisible exactamente por $x - 1$.
Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sea divisible exactamente por $x - 2$ y, al mismo tiempo, dé un…
Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sea divisible exactamente por $x - 2$ y, al mismo tiempo, dé un resto de $4$ al dividirlo entre $x + 1$.
Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sea divisible por $(x - 2)^2$.
Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sea divisible por $(x - 2)^2$.
Ampliación: cuando el divisor no es exactamente $x-a$
Ruffini está pensado para dividir entre $x-a$, con coeficiente $1$ en la $x$. Para $x-\frac12$ no hay problema: $a=\frac12$. Pero para un binomio como $2x-3$ hay que sacar primero el $2$: $2x-3=2\left(x-\frac32\right)$. Se aplica Ruffini con $a=\frac32$ y después se divide el cociente entre $2$.
Dividí el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomio $x - \frac{1}{2}$ empleando la regla de Ruffini. Expresá el resultado final indicando cociente y resto.
Dividí el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomio $x - \frac{1}{2}$ empleando la regla de Ruffini. Expresá el resultado final indicando cociente y resto.
Realizá la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomio $2x - 3$ utilizando la regla de Ruffini. Tené en cuenta que tenés que adaptar el divisor…
Realizá la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomio $2x - 3$ utilizando la regla de Ruffini. Tené en cuenta que tenés que adaptar el divisor para poder aplicar el algoritmo y, posteriormente, ajustar el cociente y el resto obtenidos.
Patrones y modelos más generales
Ruffini deja ver regularidades. Al dividir $x^n-a^n$ entre $x-a$ el resto es $0$ (porque $P(a)=a^n-a^n=0$) y los coeficientes del cociente son todos $1$ multiplicados por potencias crecientes de $a$.
Aplicá la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patrón observado en los coeficientes del cociente, deducí y escribí la…
Aplicá la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patrón observado en los coeficientes del cociente, deducí y escribí la expresión general del polinomio cociente al dividir $x^n - a^n$ entre $x - a$.
Encuentra la expresión de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$, sabiendo que se anula para $x = 1$ y $x = 2$, y que al dividirlo entre…
Encuentra la expresión de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$, sabiendo que se anula para $x = 1$ y $x = 2$, y que al dividirlo entre $x - 3$ se obtiene un resto de $10$.
El volumen de un casquete esférico está dado por la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, donde $R$ es el radio de la esfera y $h$ la altura del casquete. Si el radio…
El volumen de un casquete esférico está dado por la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, donde $R$ es el radio de la esfera y $h$ la altura del casquete. Si el radio de una esfera es $R = 5\text{ cm}$ y se quiere obtener un casquete con un volumen de $V = \frac{52\pi}{3}\text{ cm}^3$, planteá la ecuación correspondiente y utilizá la regla de Ruffini para encontrar la altura $h$.
Un algoritmo para evaluar: el esquema de Horner
La misma tabla de Ruffini es un algoritmo: para evaluar $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ en $t$, se encadenan multiplicaciones y sumas. Es el esquema de Horner, fácil de programar (por ejemplo en Python).
entrada: coeficientes [a_n, ..., a_0] y valor t
v ← a_n
para cada coeficiente c restante, de mayor a menor grado:
v ← v * t + c
devolver v
Para un polinomio de grado $n$, Horner hace $n$ multiplicaciones y $n$ sumas. Calcular cada potencia desde cero y multiplicarla por su coeficiente necesita en cambio $\frac{n(n+1)}{2}$ multiplicaciones: para grado $3$ son $3$ contra $6$.
Volvé al principio: los años en que el balance de la cooperativa fue cero son las raíces del polinomio. Encontrás una con prueba y error sobre los divisores del término independiente, la confirmás con Ruffini y el cociente te deja una ecuación de segundo grado.