Ecuaciones con radicales
Mateo deja caer una piedra desde un puente sobre el río Negro y cuenta 2 segundos hasta que oye el chapuzón. La fórmula del tiempo de caída tiene la altura $h$ bajo una raíz cuadrada: $t=\sqrt{\frac{2h}{9{,}8}}$. ¿Cómo se despeja una incógnita que está bajo una raíz? Eso es lo que resolvés en esta página, y al final volvés a la piedra de Mateo.
Aislar y elevar al cuadrado
¿Por qué hay que comprobar? Elevar al cuadrado no distingue signos: $3$ y $-3$ tienen el mismo cuadrado. Por eso pueden aparecer soluciones que no lo son de la ecuación original.
Mirá la gráfica: $\sqrt{2x+7}$ y $x+2$ se cortan en un solo punto, en $x=1$. El otro valor, $x=-3$, solo existe en la ecuación al cuadrado.
Resuelve la siguiente ecuación radical y comprueba la validez de la solución obtenida: $\sqrt{3x - 2} = 4$
Resuelve la siguiente ecuación radical y comprueba la validez de la solución obtenida:
$\sqrt{3x - 2} = 4$
Determina el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación irracional: $\sqrt{2x + 7} - x = 2$
Determina el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación irracional:
$\sqrt{2x + 7} - x = 2$
Resuelve la siguiente ecuación radical y explica por qué una de las posibles soluciones algebraicas obtenidas tras elevar al cuadrado no es válida: $x - \sqrt{x + 1} = 5$
Resuelve la siguiente ecuación radical y explica por qué una de las posibles soluciones algebraicas obtenidas tras elevar al cuadrado no es válida:
$x - \sqrt{x + 1} = 5$
Otros índices y radicandos con fracciones
¿Por qué? Elevar a una potencia impar conserva el signo: $(-3)^3=-27$ y solo $-3$ tiene cubo $-27$. No se pierde información.
Resuelve la siguiente ecuación que contiene una raíz de índice superior: $\sqrt[3]{5x - 4} = -1$
Resuelve la siguiente ecuación que contiene una raíz de índice superior:
$\sqrt[3]{5x - 4} = -1$
Encuentra los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad con fracciones en el radicando: $\sqrt{\frac{4x - 1}{3}} = 5$
Encuentra los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad con fracciones en el radicando:
$\sqrt{\frac{4x - 1}{3}} = 5$
Dos radicales en la ecuación
¿Por qué dos veces? $(\sqrt{A}+\sqrt{B})^2=A+2\sqrt{AB}+B$: el doble producto deja una raíz nueva, que hay que aislar y volver a elevar.
Halla la solución de la ecuación igualando ambos radicales y verifica el resultado: $\sqrt{x + 5} = \sqrt{3x - 1}$
Halla la solución de la ecuación igualando ambos radicales y verifica el resultado:
$\sqrt{x + 5} = \sqrt{3x - 1}$
Resuelve la siguiente ecuación irracional que contiene dos radicales: $\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$
Resuelve la siguiente ecuación irracional que contiene dos radicales:
$\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$
Encuentra las soluciones reales de la siguiente ecuación irracional aislando adecuadamente uno de los radicales antes de elevar al cuadrado:…
Encuentra las soluciones reales de la siguiente ecuación irracional aislando adecuadamente uno de los radicales antes de elevar al cuadrado:
$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 4} = 6$
Radicales anidados y cambio de variable
Cuando aparece la misma expresión con radical en dos lugares, ayuda un cambio de variable. Por ejemplo, $x-5\sqrt{x}+6=0$: con $t=\sqrt{x}$ queda $t^2-5t+6=0$, de donde $t=2$ o $t=3$, y entonces $x=4$ o $x=9$. Recordá que $t\ge 0$ y que al final hay que volver a $x$.
Si los índices son distintos, se toma como $t$ la raíz de índice igual al mcm de los índices.
Comprobación de $x=64$: $8-5\cdot 4+6\cdot 2=0$ ✓. Con $x=729$: $27-45+18=0$ ✓.
Encuentra las soluciones reales de la siguiente ecuación que contiene un radical anidado (un radical dentro de otro): $\sqrt{x + \sqrt{x + 3}} = 3$
Encuentra las soluciones reales de la siguiente ecuación que contiene un radical anidado (un radical dentro de otro):
$\sqrt{x + \sqrt{x + 3}} = 3$
Resuelve la siguiente ecuación irracional. Te resultará más sencillo si aplicas un cambio de variable adecuado, por ejemplo $t = \sqrt{x^2 - 2}$:…
Resuelve la siguiente ecuación irracional. Te resultará más sencillo si aplicas un cambio de variable adecuado, por ejemplo $t = \sqrt{x^2 - 2}$:
$x^2 - 3\sqrt{x^2 - 2} = 6$
Resuelve la siguiente ecuación irracional con raíces de distintos índices. Te será de gran ayuda realizar el cambio de variable $t = \sqrt[6]{x}$:…
Resuelve la siguiente ecuación irracional con raíces de distintos índices. Te será de gran ayuda realizar el cambio de variable $t = \sqrt[6]{x}$:
$\sqrt{x} - 7\sqrt[3]{x} + 12\sqrt[6]{x} = 0$
Tres radicales y valor absoluto
Con tres radicales, por ejemplo uno de un lado y dos del otro, se elevan los dos miembros y se agrupa el doble producto en un solo lado. Luego se vuelve a elevar.
¿Por qué? Porque $|y|=c$ significa que $y$ está a distancia $c$ del cero: $y=c$ o $y=-c$. Si $c<0$ no hay solución, ya que un valor absoluto nunca es negativo.
Resuelve la siguiente ecuación irracional que contiene tres radicales. Ten especial cuidado al agrupar términos tras la primera elevación al cuadrado:…
Resuelve la siguiente ecuación irracional que contiene tres radicales. Ten especial cuidado al agrupar términos tras la primera elevación al cuadrado:
$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3x + 4}$
Resuelve la siguiente ecuación que combina las propiedades de los valores absolutos con expresiones irracionales. Considera cuidadosamente los casos del valor absoluto:…
Resuelve la siguiente ecuación que combina las propiedades de los valores absolutos con expresiones irracionales. Considera cuidadosamente los casos del valor absoluto:
$|\sqrt{3x + 1} - 4| = 2$
Dominio y parámetros
Antes de operar conviene mirar el dominio: el radicando de una raíz de índice par debe ser $\ge 0$. A veces eso alcanza para decidir que no hay solución.
Parámetros. Si la ecuación tiene una letra, se resuelve como siempre y se discute cuántas soluciones sirven. La cuadrática que sale puede tener raíces que no cumplen la condición «el otro miembro $\ge 0$». Se usan el discriminante $\Delta$ y esa condición.
Determina el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación irracional $\sqrt{x + k} = x - 1$ tenga una única solución real válida de multiplicidad uno. Razona tu…
Determina el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación irracional $\sqrt{x + k} = x - 1$ tenga una única solución real válida de multiplicidad uno. Razona tu respuesta analizando el discriminante de la ecuación cuadrática resultante y las condiciones de validez del radical.
Demuestra algebraicamente y de forma razonada por qué la ecuación irracional $\sqrt{x - 4} + \sqrt{2 - x} = 5$ carece de soluciones en el conjunto de los números reales.…
Demuestra algebraicamente y de forma razonada por qué la ecuación irracional $\sqrt{x - 4} + \sqrt{2 - x} = 5$ carece de soluciones en el conjunto de los números reales. Basa tu demostración en el análisis del dominio de definición de los radicales implicados, sin necesidad de elevar al cuadrado ambos miembros.
Aplicaciones con fórmulas
Muchas fórmulas de física y de geometría tienen la magnitud buscada bajo una raíz. Se plantea la ecuación, se aísla la raíz y se eleva. Después, se descartan los valores que no tengan sentido (una altura, un tiempo o un radio negativos).
Volvé al principio: el puente de Mateo estaba a unos $19{,}6$ m sobre el agua.
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer libremente desde una altura $h$ (en metros) viene dado por la fórmula física $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula…
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer libremente desde una altura $h$ (en metros) viene dado por la fórmula física $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula desde qué altura se dejó caer una piedra si tardó exactamente $3$ segundos en llegar al suelo.
El radio $r$ de la base de un cilindro de volumen $V$ y altura $h$ se calcula mediante la expresión $r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$. Si un envase cilíndrico de…
El radio $r$ de la base de un cilindro de volumen $V$ y altura $h$ se calcula mediante la expresión $r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$. Si un envase cilíndrico de $15\text{ cm}$ de altura tiene un volumen de $471\text{ cm}^3$, plantea la ecuación correspondiente y halla el radio de su base (utiliza la aproximación $\pi \approx 3,14$).
El costo de producción $C$ (en miles de pesos) de fabricar $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión sigue el modelo matemático…
El costo de producción $C$ (en miles de pesos) de fabricar $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión sigue el modelo matemático $C(x) = 12 + \sqrt{5x + 4}$. Si el presupuesto exacto destinado para la producción de este lote es de $25$ miles de pesos, ¿cuántas unidades se pueden fabricar?
Geometría con radicales
La distancia entre dos puntos y el teorema de Pitágoras producen raíces cuadradas: $d(A,P)=\sqrt{(x_P-x_A)^2+(y_P-y_A)^2}$. Si pedís una distancia dada, queda una ecuación con radicales.
Cuando el segundo miembro depende de $x$ (como una rampa que mide «$x$ más 4 metros»), hay que exigir que ese miembro sea $\ge 0$. Si el problema tiene dos tramos con raíz que suman una longitud total, se resuelve como en la sección de dos radicales: se aísla uno, se eleva, y se vuelve a aislar y elevar.
Calcula la coordenada $x$ a la que debe situarse un punto $P(x, 4)$ del punto $A(-2, 1)$ para que la distancia euclídea entre ambos sea exactamente de $5$ unidades.…
Calcula la coordenada $x$ a la que debe situarse un punto $P(x, 4)$ del punto $A(-2, 1)$ para que la distancia euclídea entre ambos sea exactamente de $5$ unidades. Plantea la ecuación irracional correspondiente usando la fórmula de la distancia y resuélvela.
En un proyecto de arquitectura, se diseña una rampa de acceso apoyada en un muro vertical de $12\text{ m}$ de altura. La longitud de la rampa es $\sqrt{x^2 + 144}$ y la…
En un proyecto de arquitectura, se diseña una rampa de acceso apoyada en un muro vertical de $12\text{ m}$ de altura. La longitud de la rampa es $\sqrt{x^2 + 144}$ y la distancia horizontal desde el inicio de la rampa hasta la base del muro es $x$. Si por normativa de seguridad y pendiente la rampa debe medir exactamente $4\text{ m}$ más que la distancia horizontal $x$, plantea y resuelve la ecuación irracional para hallar $x$.
Un cable de fibra óptica debe conectar dos torres de comunicaciones $A$ y $B$ de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura respectivamente, pasando por un punto de anclaje…
Un cable de fibra óptica debe conectar dos torres de comunicaciones $A$ y $B$ de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura respectivamente, pasando por un punto de anclaje $P$ situado en el suelo entre ambas torres. La distancia horizontal entre las torres es de $35\text{ m}$. Si el punto $P$ se sitúa a $x$ metros de la torre $A$, la longitud total del cable viene dada por $L = \sqrt{x^2 + 225} + \sqrt{(35 - x)^2 + 400}$. Si se dispone de exactamente $50\text{ m}$ de cable y se quiere usar en su totalidad sin cortes, determina a qué distancia $x$ se debe situar el anclaje $P$.
Despejes literales y sistemas con radicales
También se puede despejar una letra bajo una raíz, con el mismo método: aislar el radical y elevar.
Si te piden una fracción de una constante (por ejemplo $v$ como fracción de $c$), despejás y reemplazás los datos, y dividís por la constante.
Un sistema con radicales puede resolverse con la factorización $x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$ (diferencia de cuadrados). Eso permite hallar $\sqrt{x}-\sqrt{y}$ y armar un sistema lineal en $\sqrt{x}$ y $\sqrt{y}$.
El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple (en segundos) se relaciona con su longitud $L$ (en metros) mediante la expresión física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.…
El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple (en segundos) se relaciona con su longitud $L$ (en metros) mediante la expresión física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$. Considerando la aceleración de la gravedad como $g \approx \pi^2\text{ m/s}^2$, plantea la ecuación y halla la longitud de un péndulo cuyo periodo de oscilación es exactamente de $2,5$ segundos.
La teoría de la relatividad especial establece que la masa relativista $m$ de un objeto en movimiento viene dada por la ecuación…
La teoría de la relatividad especial establece que la masa relativista $m$ de un objeto en movimiento viene dada por la ecuación $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad del objeto y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío. Despeja algebraicamente la velocidad $v$ en función de $m$, $m_0$ y $c$. Posteriormente, calcula a qué fracción de la velocidad de la luz $c$ debe viajar una nave espacial para que su masa relativista sea exactamente el doble de su masa en reposo.
Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal que involucra radicales. Puedes aprovechar la estructura algebraica de la segunda ecuación (diferencia de…
Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal que involucra radicales. Puedes aprovechar la estructura algebraica de la segunda ecuación (diferencia de cuadrados) para simplificar el proceso:
$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x - y = 5 \end{cases}$