Inecuaciones lineales con una incógnita
Dos empresas alquilan autos para ir a Punta del Este: una cobra más fijo y menos por kilómetro, la otra al revés. ¿A partir de cuántos kilómetros conviene una u otra? Una inecuación lineal se resuelve casi igual que una ecuación de primer grado, pero con una regla extra que cambia todo: al multiplicar o dividir por un número negativo, la desigualdad invierte su sentido.
El método: transponer y despejar
La solución se escribe como intervalo: $x>-3$ es $(-3, +\infty)$, y $x\geq -3$ es $[-3, +\infty)$. El paréntesis deja afuera el extremo (círculo vacío); el corchete lo incluye.
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado: $3x - 5 < 2x + 4$
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado:
$3x - 5 < 2x + 4$
Dada la inecuación $4x - 7 \ge 2x + 1$, comprueba cuáles de los siguientes valores pertenecen a su conjunto solución: $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$, $x = 5$.
Dada la inecuación $4x - 7 \ge 2x + 1$, comprueba cuáles de los siguientes valores pertenecen a su conjunto solución: $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$, $x = 5$.
Con paréntesis y denominadores
Si hay paréntesis, se desarrollan primero. Si hay denominadores, se multiplican los dos miembros por el mcm de los denominadores, que es positivo, así que el sentido no cambia en ese paso.
Halla el conjunto de soluciones de la inecuación eliminando primero los paréntesis: $2(x - 3) + 4 \ge 5x - 1$
Halla el conjunto de soluciones de la inecuación eliminando primero los paréntesis:
$2(x - 3) + 4 \ge 5x - 1$
Resuelve la siguiente inecuación con denominadores: $\frac{x}{2} - 1 \le \frac{3x}{4} + 2$
Resuelve la siguiente inecuación con denominadores:
$\frac{x}{2} - 1 \le \frac{3x}{4} + 2$
Problemas: tarifas, notas y capacidades
Lo más útil de las inecuaciones es traducir un enunciado («como mínimo», «no debe superar», «a partir de cuántos») a una desigualdad y resolverla.
| Expresión | Símbolo |
|---|---|
| al menos, como mínimo, no menos de | $\geq$ |
| a lo sumo, como máximo, no más de | $\leq$ |
| más que, superior a | $>$ |
| menos que, inferior a | $<$ |
El doble de un número menos tres, estrictamente menor que el número más cinco, se traduce como $2x-3 Traduce al lenguaje algebraico y resuelve: "El doble de un número menos tres unidades es estrictamente menor que el propio número más cinco unidades." Una pequeña empresa fabrica fundas para celulares. Los costos fijos mensuales son de $20\,000$ pesos y producir cada funda cuesta $80$ pesos. Si cada funda se vende a $200$ pesos, planteá una inecuación y determiná cuántas fundas deben venderse como mínimo al mes para obtener un beneficio de al menos $40\,000$ pesos. La relación entre la temperatura en grados Fahrenheit ($F$) y grados Celsius ($C$) viene dada por la fórmula $F = \frac{9}{5}C + 32$. Plantea una inecuación y resuélvela para determinar a partir de qué temperatura en grados Celsius se superan los $86$ grados Fahrenheit. Un estudiante de 1° de bachillerato obtuvo las siguientes notas en sus tres primeros escritos de Matemática: $6,5$, $7,0$ y $8,2$. ¿Qué nota mínima debe sacar en el cuarto escrito para que su promedio sea igual o superior a $7,5$? Una empresa de alquiler de autos (Cía. A) cobra una tarifa fija de $1\,200$ pesos más $6$ pesos por kilómetro recorrido. Otra empresa competidora (Cía. B) cobra $600$ pesos fijos más $8$ pesos por kilómetro. Planteá una inecuación para averiguar a partir de cuántos kilómetros resulta más barato alquilar el auto en la Cía. A e interpretá el resultado apoyándote en el siguiente gráfico. Una compañía de telecomunicaciones ofrece dos tarifas de datos. La Tarifa Plana cuesta $400$ pesos al mes e incluye $2$ GB de datos, cobrando $80$ pesos por cada GB adicional. La Tarifa Plus cuesta $800$ pesos al mes e incluye $5$ GB de datos, cobrando $60$ pesos por cada GB adicional. Si un usuario sabe que siempre consume más de $5$ GB al mes, ¿cuántos gigabytes debe consumir como mínimo para que la Tarifa Plus le resulte estrictamente más económica que la Tarifa Plana? Un ascensor de carga tiene una capacidad máxima de $800$ kg. Un operario que pesa $75$ kg debe subir cajas de material de construcción que pesan $22$ kg cada una. Si el operario siempre debe acompañar a la carga en el ascensor, plantea y resuelve una inecuación para determinar el número máximo de cajas enteras que puede transportar en un solo viaje.Traduce al lenguaje algebraico y resuelve: "El doble de un número menos tres unidades es estrictamente menor que el propio número más cinco unidades."
Una pequeña empresa fabrica fundas para celulares. Los costos fijos mensuales son de $20\,000$ pesos y producir cada funda cuesta $80$ pesos. Si cada funda se vende a…
La relación entre la temperatura en grados Fahrenheit ($F$) y grados Celsius ($C$) viene dada por la fórmula $F = \frac{9}{5}C + 32$. Plantea una inecuación y resuélvela…
Un estudiante de 1° de bachillerato obtuvo las siguientes notas en sus tres primeros escritos de Matemática: $6,5$, $7,0$ y $8,2$. ¿Qué nota mínima debe sacar en el…
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Ampliación: inecuaciones con parámetros
Cuando aparece otra letra además de $x$ (un parámetro), hay que discutir el signo del coeficiente de $x$ antes de despejar: si puede ser positivo, negativo o cero, la solución depende del caso.
A veces el parámetro se determina a partir de la solución. Si $2x-a>x+3$ tiene solución $(5, +\infty)$: despejando, $x>3+a$; entonces $3+a=5$ y $a=2$.
Considera la inecuación $3x - a > 2x + 5$, donde $a$ es un parámetro real. Calcula el valor de $a$ sabiendo que el conjunto solución de la inecuación es el intervalo…
Considera la inecuación $3x - a > 2x + 5$, donde $a$ es un parámetro real. Calcula el valor de $a$ sabiendo que el conjunto solución de la inecuación es el intervalo $(8, \infty)$.
Discute y resuelve la inecuación $kx - 3 \le 2x + k$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$.
Discute y resuelve la inecuación $kx - 3 \le 2x + k$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$.
Resuelve la siguiente inecuación literal para la incógnita $x$, asumiendo que los parámetros cumplen la condición $a > b > 0$:…
Resuelve la siguiente inecuación literal para la incógnita $x$, asumiendo que los parámetros cumplen la condición $a > b > 0$:
$\frac{x}{a} - \frac{x}{b} \ge \frac{a^2 - b^2}{ab}$
Resumen
Volviendo al principio: para saber cuándo conviene cada empresa de alquiler, planteás una inecuación con las dos tarifas y la resolvés; el valor que la separa es el punto donde cuestan lo mismo (300 km en el ejemplo).