Razones trigonométricas del ángulo doble
Un cañón de pruebas dispara un proyectil: el alcance depende de $\sen(2\theta)$, no de $\theta$ solamente. Un techo de galpón en Canelones tiene una pendiente que es el doble de la de otro. Cuando aparece el ángulo doble, conviene tener sus razones ya «empaquetadas» en una fórmula, sin sumar el ángulo consigo mismo cada vez. ¿Cómo se calculan y para qué sirven? Lo vamos a ver y vamos a volver sobre esta pregunta al final.
De dónde salen las fórmulas
Ya conocés las fórmulas del seno y el coseno de una suma. El ángulo doble es el caso particular $2\alpha = \alpha+\alpha$: alcanza con sustituir $\beta$ por $\alpha$.
El coseno del ángulo doble tiene tres formas equivalentes: usá la que mejor combine con tus datos (solo $\cos\alpha$, solo $\sen\alpha$, o ambos).
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un único valor numérico exacto: $4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un único valor numérico exacto:
$4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$
Sabiendo que $\cos(x) = 0,6$, determina el valor de $\cos(2x)$ utilizando exclusivamente la identidad que relaciona el coseno del ángulo doble con el coseno del ángulo…
Sabiendo que $\cos(x) = 0,6$, determina el valor de $\cos(2x)$ utilizando exclusivamente la identidad que relaciona el coseno del ángulo doble con el coseno del ángulo simple.
Con una sola razón conocida
Si solo conocés $\sen\alpha$ o $\cos\alpha$ (y el cuadrante), hallás la otra razón con $\sen^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ y después aplicás la fórmula del ángulo doble. Para la tangente, alcanza con $\tan\alpha$.
Sabiendo que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin(2\alpha)$.
Sabiendo que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin(2\alpha)$.
Dado que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, determina el valor exacto de $\cos(2\alpha)$.
Dado que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, determina el valor exacto de $\cos(2\alpha)$.
Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcula el valor de $\tan(2\alpha)$ expresando el resultado como una fracción irreducible.
Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcula el valor de $\tan(2\alpha)$ expresando el resultado como una fracción irreducible.
Simplificar expresiones
Muchas expresiones con productos de seno y coseno, o con diferencias de cuadrados, son una fórmula del ángulo doble disfrazada. Reconocer el patrón ahorra la calculadora.
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora: $\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora:
$\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$
Escribe la siguiente expresión en función de una única razón trigonométrica del ángulo $x$, simplificando al máximo: $\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$
Escribe la siguiente expresión en función de una única razón trigonométrica del ángulo $x$, simplificando al máximo:
$\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$
Halla el valor exacto de la siguiente operación utilizando las identidades del ángulo doble: $\frac{2\tan(22,5^\circ)}{1 - \tan^2(22,5^\circ)}$
Halla el valor exacto de la siguiente operación utilizando las identidades del ángulo doble:
$\frac{2\tan(22,5^\circ)}{1 - \tan^2(22,5^\circ)}$
Demostrar identidades
Demostrar una identidad es transformar un miembro, con pasos justificados, hasta obtener el otro. Con el ángulo doble, la estrategia habitual es reescribir $\sen(2x)$ y $\cos(2x)$ y simplificar.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, transformando el primer miembro hasta obtener el segundo: $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, transformando el primer miembro hasta obtener el segundo:
$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$
Un mecanismo de tijera para un elevador hidráulico tiene un pivote central que forma un ángulo de apertura $2\alpha$. La fuerza de cizalladura en el pasador central…
Un mecanismo de tijera para un elevador hidráulico tiene un pivote central que forma un ángulo de apertura $2\alpha$. La fuerza de cizalladura en el pasador central viene dada por una expresión proporcional a $F(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$. Demuestra que esta expresión se puede simplificar a una única razón trigonométrica del ángulo $\alpha$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, válida para cualquier ángulo $x$ donde las expresiones estén definidas:…
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, válida para cualquier ángulo $x$ donde las expresiones estén definidas:
$\frac{1 + \sin(2x) - \cos(2x)}{1 + \sin(2x) + \cos(2x)} = \tan(x)$
Demuestra primero la identidad $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2x)$. A continuación, utiliza este resultado para resolver la ecuación $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \frac{1}{2}$…
Demuestra primero la identidad $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2x)$. A continuación, utiliza este resultado para resolver la ecuación $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \frac{1}{2}$ en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
Ecuaciones con el ángulo doble
Cuando una ecuación mezcla $\sen(2x)$ o $\cos(2x)$ con razones de $x$, el primer paso es sustituir la fórmula del ángulo doble para dejar todo en función del mismo ángulo. Después se factoriza o se resuelve una ecuación de segundo grado en $\sen x$ o $\cos x$.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$: $\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:
$\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica y da las soluciones en grados para el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$: $\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica y da las soluciones en grados para el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$:
$\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$: $\tan(2x) \cdot \tan(x) = 1$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:
$\tan(2x) \cdot \tan(x) = 1$
Encuentra los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la ecuación $\cos(2x) - 4\sin(x) + k = 0$ tiene exactamente una solución en el intervalo…
Encuentra los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la ecuación $\cos(2x) - 4\sin(x) + k = 0$ tiene exactamente una solución en el intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.
Sistemas y máximos con seno y coseno
Dos situaciones aparecen seguido y piden una herramienta más: reconocer un seno de una suma escondido en una ecuación, y hallar el máximo de una expresión de la forma $a\sen t+b\cos t$.
Reconocer el seno de una suma
Recordá que $\sen(x+y)=\sen x\cos y+\cos x\sen y$. Si ves esa combinación, reemplazala por $\sen(x+y)$. Para la otra ecuación del sistema, recordá que el coseno es inyectivo en $[0,\pi]$: si $2x$ y $2y$ están ahí y $\cos 2x=\cos 2y$, entonces $2x=2y$.
Máximo de $a\sen t+b\cos t$
Sea $R=\sqrt{a^2+b^2}$. Como $\left(\frac aR\right)^2+\left(\frac bR\right)^2=1$, existe un ángulo $\varphi$ con $\cos\varphi=\frac aR$ y $\sen\varphi=\frac bR$. Entonces, por la fórmula del seno de una suma:
$$a\sen t+b\cos t=R\left(\sen t\cos\varphi+\cos t\sen\varphi\right)=R\,\sen(t+\varphi).$$Como un seno varía entre $-1$ y $1$, la expresión varía entre $-R$ y $R$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \pi/2]$:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \pi/2]$:
$\begin{cases} \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) = 1 \\ \cos(2x) - \cos(2y) = 0 \end{cases}$
La función de ingresos de una empresa por la venta de un producto estacional viene dada por la expresión $I(x) = 5\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) + 1$, donde $x$ es el…
La función de ingresos de una empresa por la venta de un producto estacional viene dada por la expresión $I(x) = 5\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) + 1$, donde $x$ es el tiempo en meses transcurrido ($x \ge 0$). Expresa $I(x)$ en función de $\sin(2x)$ y $\cos(2x)$, y determina el ingreso máximo que puede alcanzar la empresa.
Aplicaciones
El ángulo doble aparece en el alcance de proyectiles, en pendientes de techos que duplican una inclinación y en mecanismos articulados.
En la construcción de una nave industrial, se han diseñado dos cubiertas contiguas. La primera cubierta tiene una inclinación $\alpha$ respecto a la horizontal tal que…
En la construcción de una nave industrial, se han diseñado dos cubiertas contiguas. La primera cubierta tiene una inclinación $\alpha$ respecto a la horizontal tal que $\tan(\alpha) = 0,4$. Por motivos de drenaje de agua, la segunda cubierta se ha diseñado con un ángulo de inclinación que es exactamente el doble que el de la primera, es decir, $2\alpha$. Calcula la pendiente exacta (tangente) de la segunda cubierta.
En física, el alcance máximo $R$ de un proyectil lanzado sobre un terreno horizontal se modela mediante la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, donde $v_0$ es la…
En física, el alcance máximo $R$ de un proyectil lanzado sobre un terreno horizontal se modela mediante la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, donde $v_0$ es la velocidad inicial, $\theta$ es el ángulo de lanzamiento y $g \approx 10 \text{ m/s}^2$ es la aceleración de la gravedad. Si un cañón de pruebas dispara un proyectil con una velocidad inicial de $30 \text{ m/s}$ y se desea alcanzar un objetivo situado a $45 \text{ m}$ de distancia, halla los posibles ángulos de lanzamiento $\theta$ en grados.
Un rayo de luz incide sobre un sistema de espejos de manera que su ángulo de desviación final es $2\theta$. Si las mediciones del laboratorio indican que…
Un rayo de luz incide sobre un sistema de espejos de manera que su ángulo de desviación final es $2\theta$. Si las mediciones del laboratorio indican que $\cos(2\theta) = 0,28$ y sabemos que el ángulo de incidencia $\theta$ es agudo, determina el valor exacto de $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$.
Figuras: ángulo central y ángulo entero
Cuando una figura te da la mitad de un ángulo (como en un rombo, donde la diagonal lo divide en dos partes iguales), calculá las razones de esa mitad $\alpha$ con un triángulo rectángulo y usá las fórmulas del ángulo doble para el ángulo entero $2\alpha$.
En el rombo $ABCD$ de la figura, las diagonales miden $AC = 16 \text{ cm}$ y $BD = 12 \text{ cm}$. Sea $\alpha$ la mitad del ángulo interior en el vértice $A$. Calcula…
En el rombo $ABCD$ de la figura, las diagonales miden $AC = 16 \text{ cm}$ y $BD = 12 \text{ cm}$. Sea $\alpha$ la mitad del ángulo interior en el vértice $A$. Calcula el valor exacto de $\sin(2\alpha)$ y $\cos(2\alpha)$ para determinar el seno y el coseno del ángulo completo $\widehat{A}$.
En la circunferencia: ángulo central e inscrito
Dos datos de geometría te hacen falta para los problemas con una circunferencia.
Si el central $\widehat{AOB}$ mide $2\alpha$, el triángulo $OAB$ es isósceles (dos lados iguales al radio $R$). La altura desde $O$ lo parte en dos triángulos rectángulos de ángulo $\alpha$: la distancia de $O$ a la cuerda es $R\cos\alpha$ y la cuerda mide $AB=2R\sen\alpha$.
Un brazo robótico plano consta de dos eslabones, ambos de longitud $L$. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con el eje horizontal positivo. El segundo eslabón…
Un brazo robótico plano consta de dos eslabones, ambos de longitud $L$. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con el eje horizontal positivo. El segundo eslabón forma un ángulo $2\alpha$ respecto a la horizontal. La coordenada $x$ del efector final $P$ viene dada por la expresión $x_P = L\cos(\alpha) + L\cos(2\alpha)$. Determina el valor exacto del ángulo $\alpha \in [0, \pi/2]$ para el cual el efector final se sitúa exactamente sobre el eje Y ($x_P = 0$).
En una circunferencia de centro $O$ y radio $R$, el ángulo central $\widehat{AOB}$ mide $2\alpha$ y subtiende la cuerda $AB$. Un punto $P$ situado en el punto medio del…
En una circunferencia de centro $O$ y radio $R$, el ángulo central $\widehat{AOB}$ mide $2\alpha$ y subtiende la cuerda $AB$. Un punto $P$ situado en el punto medio del arco mayor subtiende un ángulo inscrito $\widehat{APB}$ que mide $\alpha$. Sabiendo que $\cos(\alpha) = \frac{4}{5}$, calcula la razón (el cociente) entre el área del triángulo central $\triangle OAB$ y el área del triángulo inscrito $\triangle PAB$.
Volvemos al principio: el alcance del cañón depende de $\sen(2\theta)$, y la pendiente del techo doble se calcula con $\tan(2\alpha)$ sin sumar ángulos a mano.