Monotonía y extremos de una función
Una empresa de Canelones produce más lotes y, al principio, gana más plata. Pero si produce demasiados, los costos se disparan y el beneficio empieza a bajar. Hay un punto exacto en el que el beneficio deja de crecer y empieza a decrecer: un máximo. Para encontrarlo, primero tenés que saber decir con precisión cuándo una función crece o decrece.
Creciente y decreciente
Mirando una gráfica de izquierda a derecha, una función crece cuando sube y decrece cuando baja. Para poder demostrarlo, hace falta una definición que compare la función en cualquier par de puntos del intervalo.
Para funciones como $f(x)=2x^3+5$ se hace igual: se parte de $x1 Utilizando la definición algebraica de monotonía (evaluando $f(x)$ y $f(y)$ para dos valores arbitrarios $x < y$), demuestra que la función lineal $f(x) = 5x - 3$ es estrictamente creciente en todo su dominio $\mathbb{R}$. Demuestra algebraicamente que la función $f(x) = 2x^3 + 5$ es estrictamente creciente para todo $x \in \mathbb{R}$. Para ello, toma dos valores cualesquiera $x_1$ y $x_2$ tales que $x_1 < x_2$ y comprueba que $f(x_1) < f(x_2)$. Determina los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función racional $f(x) = \frac{-3}{x-2}$. Puedes justificar tu respuesta analizando la Tasa de Variación Media en intervalos genéricos o apoyándote en las propiedades gráficas de las hipérbolas.Utilizando la definición algebraica de monotonía (evaluando $f(x)$ y $f(y)$ para dos valores arbitrarios $x < y$), demuestra que la función lineal $f(x) = 5x - 3$ es…
Demuestra algebraicamente que la función $f(x) = 2x^3 + 5$ es estrictamente creciente para todo $x \in \mathbb{R}$. Para ello, toma dos valores cualesquiera $x_1$ y…
Determina los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función racional $f(x) = \frac{-3}{x-2}$. Puedes justificar tu respuesta analizando la Tasa de…
Máximos y mínimos de una función
En un máximo o un mínimo, la función cambia de sentido: deja de crecer y empieza a decrecer, o al revés.
Para leer una gráfica: los intervalos de crecimiento y decrecimiento se dan en el eje $X$, y los extremos se dan como puntos $(x_0, f(x_0))$.
Movelos deslizadores y observá cómo cambia el vértice:
Halla analíticamente el vértice de la función cuadrática $f(x) = 3x^2 - 12x + 7$. Indica si dicho punto corresponde a un máximo o a un mínimo absoluto de la función.
Halla analíticamente el vértice de la función cuadrática $f(x) = 3x^2 - 12x + 7$. Indica si dicho punto corresponde a un máximo o a un mínimo absoluto de la función.
La siguiente gráfica representa una función cuadrática. Determina las coordenadas de su vértice $V$. ¿Se trata de un máximo o un mínimo? ¿Es relativo, absoluto, o ambos?
La siguiente gráfica representa una función cuadrática. Determina las coordenadas de su vértice $V$. ¿Se trata de un máximo o un mínimo? ¿Es relativo, absoluto, o ambos?
Halla el valor del parámetro $k$ para que la función cuadrática $f(x) = -x^2 + kx + 5$ alcance su valor máximo exactamente en la abscisa $x = 4$. Una vez encontrado $k$,…
Halla el valor del parámetro $k$ para que la función cuadrática $f(x) = -x^2 + kx + 5$ alcance su valor máximo exactamente en la abscisa $x = 4$. Una vez encontrado $k$, calcula dicho valor máximo.
Se sabe que una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ alcanza un máximo relativo en el punto $(3, 10)$ y corta al eje de ordenadas en el punto $(0, 1)$.…
Se sabe que una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ alcanza un máximo relativo en el punto $(3, 10)$ y corta al eje de ordenadas en el punto $(0, 1)$. Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. Posteriormente, escribe los intervalos donde la función es estrictamente creciente y estrictamente decreciente.
Problemas de optimización
Muchos problemas piden «el mayor» o «el menor» valor posible. Si el modelo es una cuadrática, la respuesta está en el vértice.
Si el problema no te da la función, primero la armás: por ejemplo, beneficio = ingreso − costo, con ingreso = precio · cantidad.
Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba. La altura en metros que alcanza en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 30t + 2$.…
Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba. La altura en metros que alcanza en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 30t + 2$. Calcula el instante en el que la piedra alcanza su altura máxima y determina cuál es dicha altura.
La temperatura en el interior de un reactor químico durante las primeras horas de un proceso sigue la función $T(t) = -0,2t^2 + 2,4t + 20$, con $t$ en horas y $T$ en…
La temperatura en el interior de un reactor químico durante las primeras horas de un proceso sigue la función $T(t) = -0,2t^2 + 2,4t + 20$, con $t$ en horas y $T$ en grados Celsius. Determina la temperatura máxima alcanzada y el intervalo de tiempo en el que la temperatura del reactor está disminuyendo.
El beneficio de una empresa de componentes electrónicos, expresado en miles de pesos, está dado por la función $B(x) = -80x^2 + 3\,200x - 12\,000$, donde $x$ es el…
El beneficio de una empresa de componentes electrónicos, expresado en miles de pesos, está dado por la función $B(x) = -80x^2 + 3\,200x - 12\,000$, donde $x$ es el número de lotes producidos. ¿Cuántos lotes debe producir la empresa para maximizar su beneficio? ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo?
Un agricultor dispone de $120$ metros de valla para cercar un huerto rectangular. Uno de los lados del huerto estará apoyado contra el muro recto de un granero, por lo…
Un agricultor dispone de $120$ metros de valla para cercar un huerto rectangular. Uno de los lados del huerto estará apoyado contra el muro recto de un granero, por lo que no necesitará valla en ese lado. Encuentra las dimensiones del huerto que hacen que su área sea máxima y calcula dicha área.
Una fábrica vende un determinado producto a un precio unitario que depende de la demanda, dado por la función $p(x) = 8\,000 - 20x$ (en pesos), donde $x$ es la cantidad…
Una fábrica vende un determinado producto a un precio unitario que depende de la demanda, dado por la función $p(x) = 8\,000 - 20x$ (en pesos), donde $x$ es la cantidad de unidades vendidas. Los costos totales de producción siguen la función $C(x) = 2\,000x + 80\,000$. Encontrá la función de beneficio $B(x)$, determiná el nivel de producción que maximiza el beneficio y calculá el beneficio máximo.
Gráficas y funciones a trozos
En una función definida a trozos se estudia cada rama por separado y después se mira qué pasa en el punto donde cambia la fórmula. Ese punto es un extremo solo si ahí la función cambia de crecer a decrecer (o al revés).
Observa la siguiente gráfica de una función polinómica. Identifica las coordenadas de los puntos $A$ y $B$, y clasifícalos como máximos o mínimos relativos. A…
Observa la siguiente gráfica de una función polinómica. Identifica las coordenadas de los puntos $A$ y $B$, y clasifícalos como máximos o mínimos relativos. A continuación, escribe los intervalos donde la función es estrictamente creciente y donde es estrictamente decreciente.
La siguiente gráfica muestra una función definida a trozos. A partir de ella, determina los intervalos donde la función es creciente y decreciente. Identifica también…
La siguiente gráfica muestra una función definida a trozos. A partir de ella, determina los intervalos donde la función es creciente y decreciente. Identifica también las coordenadas del mínimo absoluto e indica si existe algún máximo. Cada cuadrado de la cuadrícula equivale a $1$ unidad en ambos ejes.
La siguiente gráfica representa una función racional con una asíntota vertical y otra oblicua. Observando la gráfica, identifica las coordenadas aproximadas de sus…
La siguiente gráfica representa una función racional con una asíntota vertical y otra oblicua. Observando la gráfica, identifica las coordenadas aproximadas de sus extremos relativos (máximo y mínimo local). A continuación, escribe los intervalos en los que la función es creciente y en los que es decreciente.
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 6x - 5 & \text{si } x \le 4 \\ 2x - 5 & \text{si } x > 4 \end{cases}$ Estudia analíticamente sus…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 6x - 5 & \text{si } x \le 4 \\ 2x - 5 & \text{si } x > 4 \end{cases}$
Estudia analíticamente sus intervalos de monotonía y halla las coordenadas de sus extremos relativos o absolutos. Justifica si el punto de cambio de rama ($x=4$) representa algún tipo de extremo.
Funciones acotadas
Algunas funciones nunca superan un cierto valor, por mucho que avance $x$: están acotadas.
Comprueba si el punto $x = 3$ es un mínimo local para la función $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Para ello, evalúa la función en el propio punto y en dos valores muy cercanos a…
Comprueba si el punto $x = 3$ es un mínimo local para la función $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Para ello, evalúa la función en el propio punto y en dos valores muy cercanos a su izquierda y derecha, por ejemplo $x = 2,9$ y $x = 3,1$.
Demuestra que la función $f(x) = \frac{8}{x^2+4}$ tiene un máximo absoluto en $x=0$. Para lograrlo, prueba algebraicamente que la desigualdad $f(x) \le f(0)$ se cumple…
Demuestra que la función $f(x) = \frac{8}{x^2+4}$ tiene un máximo absoluto en $x=0$. Para lograrlo, prueba algebraicamente que la desigualdad $f(x) \le f(0)$ se cumple para cualquier número real $x$.
Demuestra que la función cuadrática $f(x) = -3x^2 + 18x - 15$ está acotada superiormente. Calcula su máximo absoluto y determina de forma exacta el intervalo en el que…
Demuestra que la función cuadrática $f(x) = -3x^2 + 18x - 15$ está acotada superiormente. Calcula su máximo absoluto y determina de forma exacta el intervalo en el que la función es estrictamente decreciente.
Ampliación: la tasa de variación media
Para saber cuánto cambia $f$ entre dos puntos $a$ y $b$, comparás cuánto sube o baja la función con cuánto te moviste en el eje $X$.
Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$ en el intervalo $[2, 5]$. A partir del resultado, ¿puedes deducir si la función es, en…
Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$ en el intervalo $[2, 5]$. A partir del resultado, ¿puedes deducir si la función es, en promedio, creciente o decreciente en dicho intervalo?
Calcula la Tasa de Variación Media de la función racional $f(x) = \frac{4}{x}$ en el intervalo $[1, 4]$. ¿Qué nos indica el signo del resultado sobre el comportamiento…
Calcula la Tasa de Variación Media de la función racional $f(x) = \frac{4}{x}$ en el intervalo $[1, 4]$. ¿Qué nos indica el signo del resultado sobre el comportamiento de la función en ese intervalo?
En un cultivo de laboratorio, el número de bacterias $N(t)$ en función del tiempo $t$ (en horas) sigue la ley $N(t) = 20t^2 + 100t + 500$. Calcula la Tasa de Variación…
En un cultivo de laboratorio, el número de bacterias $N(t)$ en función del tiempo $t$ (en horas) sigue la ley $N(t) = 20t^2 + 100t + 500$. Calcula la Tasa de Variación Media en el intervalo $[1, 4]$ e interpreta el significado del resultado en el contexto del problema.
Calcula y compara la Tasa de Variación Media de las funciones $f(x) = 3^x$ y $g(x) = 2x^2$ en el intervalo $[1, 3]$. ¿Cuál de las dos funciones experimenta un…
Calcula y compara la Tasa de Variación Media de las funciones $f(x) = 3^x$ y $g(x) = 2x^2$ en el intervalo $[1, 3]$. ¿Cuál de las dos funciones experimenta un crecimiento promedio mayor en dicho intervalo?
La concentración de un medicamento en sangre, medida en mg/L, en función de las horas transcurridas desde su administración, se modeliza mediante la función…
La concentración de un medicamento en sangre, medida en mg/L, en función de las horas transcurridas desde su administración, se modeliza mediante la función $C(t) = \frac{12t}{t^2+4}$ para $t \ge 0$. Observa la gráfica adjunta. Estima el instante en el que la concentración es máxima. Luego, calcula la Tasa de Variación Media en los intervalos $[0, 2]$ y $[2, 6]$ para confirmar analíticamente el cambio de monotonía.