Función exponencial
Un cultivo de bacterias en un laboratorio de la UdelaR se duplica cada hora. Un depósito en la caja de ahorro crece un mismo porcentaje cada año. En ambos casos el valor no se suma una cantidad fija: se multiplica por un factor fijo, y el tiempo $t$ está en el exponente. Esa es la función exponencial, y en esta página vas a ver cómo se comporta y cómo se resuelven las ecuaciones donde la incógnita está en el exponente.
La función exponencial
Toda función $f(x)=a^x$ pasa por $(0,1)$, porque $a^0=1$, y por $(1,a)$, porque $a^1=a$. Movés el deslizador y fijate qué punto no se mueve: es un punto común a todas las gráficas.
Entre todas las bases hay una especial: el número $e\approx2{,}71828\ldots$, irracional, que aparece en procesos de crecimiento continuo. La función $e^x$ es la exponencial de referencia en ciencias; su base se deja escrita como $e$, salvo que pidan un valor aproximado.
Dada la función exponencial $f(x) = 3^x$, calcula los valores numéricos de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ y $f(\frac{1}{2})$. Expresa los resultados de forma exacta, utilizando…
Dada la función exponencial $f(x) = 3^x$, calcula los valores numéricos de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ y $f(\frac{1}{2})$. Expresa los resultados de forma exacta, utilizando raíces o fracciones si fuera necesario.
Halla la expresión analítica de una función exponencial de la forma $f(x) = k \cdot a^x$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(2, 12)$.
Halla la expresión analítica de una función exponencial de la forma $f(x) = k \cdot a^x$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(2, 12)$.
Determina el dominio de definición de la siguiente función: $f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$
Determina el dominio de definición de la siguiente función:
$f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$
Crecimiento y decrecimiento
La razón: al pasar de $x$ a $x+1$ el valor se multiplica siempre por $a$, es decir $\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=a$. Si ese factor es mayor que $1$ cada paso aumenta el valor; si es menor que $1$, lo reduce.
Clasifica las siguientes funciones exponenciales en crecientes o decrecientes, justificando tu respuesta en función del valor de su base: $f(x) = 4^x$…
Clasifica las siguientes funciones exponenciales en crecientes o decrecientes, justificando tu respuesta en función del valor de su base:
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$f(x) = 4^x$
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$g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$
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$h(x) = 0,8^x$
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$i(x) = e^x$
Relaciona cada una de las gráficas etiquetadas con A, B, C y D en la siguiente figura con su función exponencial correspondiente. Las funciones son: $f(x) = 2^x$,…
Relaciona cada una de las gráficas etiquetadas con A, B, C y D en la siguiente figura con su función exponencial correspondiente. Las funciones son: $f(x) = 2^x$, $g(x) = 0,5^x$, $h(x) = 3^x$ e $i(x) = -2^x$.
En la gráfica adjunta se muestran las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$, junto con la recta horizontal $y = e$. Determina analíticamente las coordenadas del punto…
En la gráfica adjunta se muestran las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$, junto con la recta horizontal $y = e$.
Determina analíticamente las coordenadas del punto de corte entre las funciones $f(x)$ y $g(x)$. A continuación, calcula el área exacta del triángulo cuyos vértices son dicho punto de intersección y los dos puntos donde las curvas cortan a la recta $y = e$.
Dominio, recorrido y asíntota
Al trasladar la gráfica, la asíntota se traslada con ella. En $g(x)=a^{x-p}+q$, el $-p$ del exponente desplaza $p$ unidades en horizontal y el $+q$ desplaza $q$ en vertical. Si $a>1$, cuando $x\to-\infty$ el término $a^{x-p}$ tiende a $0$, así que $g(x)\to q$: la asíntota es $y=q$ y el recorrido es $(q,+\infty)$. (Si $0 Para hallar los puntos de corte: con el eje $Y$ se calcula $f(0)$; con el eje $X$ se resuelve $f(x)=0$. Si el exponente es una función de $x$, como en $e^{g(x)}$, el dominio es el de $g$ y la asíntota se halla estudiando a qué tiende el exponente: si $g(x)\to L$, entonces $e^{g(x)}\to e^{L}$; si $g(x)\to-\infty$, entonces $e^{g(x)}\to0$; si $g(x)\to+\infty$, entonces $e^{g(x)}\to+\infty$ (hay asíntota vertical si eso pasa cerca de un valor finito de $x$). Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de la función $f(x) = 2^x - 5$. Calcula analíticamente las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas de la función $f(x) = 3^{x+1} - 9$. A partir de la función $f(x) = 2^x$, explica detalladamente qué transformaciones geométricas hay que aplicar a su gráfica para obtener la gráfica de la función $g(x) = 2^{x-3} + 1$. Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de $g(x)$. Dada la función $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$, realiza un estudio analítico para determinar: Su dominio de definición. Los puntos de corte con los ejes de coordenadas. Las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales, si las tuviera. Determina analíticamente los intervalos de signo constante (es decir, los intervalos donde la función es estrictamente positiva y donde es estrictamente negativa) de la función: $f(x) = (x^2 - 5x + 6)e^{-x}$Cuando el exponente es una expresión
Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de la función $f(x) = 2^x - 5$.
Calcula analíticamente las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas de la función $f(x) = 3^{x+1} - 9$.
A partir de la función $f(x) = 2^x$, explica detalladamente qué transformaciones geométricas hay que aplicar a su gráfica para obtener la gráfica de la función…
Dada la función $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$, realiza un estudio analítico para determinar: Su dominio de definición. Los puntos de corte con los ejes de coordenadas. Las…
Determina analíticamente los intervalos de signo constante (es decir, los intervalos donde la función es estrictamente positiva y donde es estrictamente negativa) de la…
Ecuaciones y sistemas exponenciales
Una ecuación exponencial tiene la incógnita en el exponente. Hay cuatro técnicas.
La gráfica muestra $3^x=9$: la curva corta la recta $y=9$ en $x=2$.
Sistemas con exponenciales
Si en un sistema las incógnitas están en exponentes, se llama $u$ y $v$ a las potencias y queda un sistema lineal. Después se deshacen los cambios.
Resuelve la siguiente ecuación exponencial igualando las bases a ambos lados de la igualdad: $5^{2x-1} = 125$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial igualando las bases a ambos lados de la igualdad:
$5^{2x-1} = 125$
Expresa ambos miembros de la ecuación como potencias de base $2$ y resuelve: $8^x = \frac{1}{4}$
Expresa ambos miembros de la ecuación como potencias de base $2$ y resuelve:
$8^x = \frac{1}{4}$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial realizando un cambio de variable adecuado: $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial realizando un cambio de variable adecuado:
$9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando logaritmos: $4^{x-1} = 15$ Expresa el resultado de forma exacta utilizando logaritmos y proporciona también una…
Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando logaritmos:
$4^{x-1} = 15$
Expresa el resultado de forma exacta utilizando logaritmos y proporciona también una aproximación redondeada a dos cifras decimales.
Resuelve la siguiente ecuación exponencial, extrayendo factor común tras aplicar las propiedades de las potencias: $2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial, extrayendo factor común tras aplicar las propiedades de las potencias:
$2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales: $$ \begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 13 \end{cases} $$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:
$$ \begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 13 \end{cases} $$Continuidad con funciones exponenciales
Las funciones exponenciales no tienen saltos ni huecos: su gráfica se dibuja de un trazo, es decir, son continuas en todo $\mathbb{R}$. Lo mismo vale para sumas, productos y composiciones de exponenciales con polinomios (donde estén definidas). El problema aparece cuando una función se define a trozos.
Para que una función a trozos sea continua, se imponen estas igualdades en cada punto donde cambia la fórmula. Si hay parámetros, salen ecuaciones en los parámetros.
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo $\mathbb{R}$: $$ f(x) = \begin{cases} e^{ax} + b &…
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo $\mathbb{R}$:
$$ f(x) = \begin{cases} e^{ax} + b & \text{si } x < 0 \\ 3x + 2 & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 2^{x-1} + a & \text{si } x > 2 \end{cases} $$Modelos de crecimiento y decaimiento
Para hallar la constante $k$ del enfriamiento (o de cualquier $e^{-kt}$), usás un dato medido: lo reemplazás en la fórmula, despejás $e^{-kt}$ y aplicás $\ln$.
El interés compuesto con capitalización cada vez más frecuente tiende al interés continuo, $C(t)=C_0e^{rt}$. La desintegración radiactiva y el enfriamiento comparten esa forma $e^{\pm kt}$. Otro modelo es el logístico, $P(t)=\dfrac{M}{1+Ce^{-kt}}$, que crece al principio como una exponencial pero se frena al acercarse al máximo $M$ (una epidemia en una población limitada, por ejemplo).
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente en el cultivo hay $150$ bacterias, escribe la función $P(t)$ que modeliza el número de bacterias en…
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente en el cultivo hay $150$ bacterias, escribe la función $P(t)$ que modeliza el número de bacterias en función del tiempo $t$ (expresado en horas). ¿Cuántas bacterias habrá en el cultivo al cabo de $4$ horas?
Se invierten $200\,000$ pesos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $3\%$. Escribí la función que determina el capital acumulado $C(t)$ al…
Se invierten $200\,000$ pesos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $3\%$.
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Escribí la función que determina el capital acumulado $C(t)$ al cabo de $t$ años.
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Calculá el capital total que se habrá acumulado tras $10$ años.
Un isótopo radiactivo tiene un periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad su masa inicial) de $8$ días. Si partimos de una muestra inicial…
Un isótopo radiactivo tiene un periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad su masa inicial) de $8$ días. Si partimos de una muestra inicial de $200$ gramos:
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Escribe la función $M(t)$ que proporciona la masa restante del isótopo en función del tiempo $t$ en días.
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¿Qué masa de dicho isótopo quedará tras $24$ días?
El valor de mercado de una máquina industrial decrece exponencialmente con el tiempo. Se compró por $1\,600\,000$ pesos y se sabe que cada año pierde un $15\%$ de su…
El valor de mercado de una máquina industrial decrece exponencialmente con el tiempo. Se compró por $1\,600\,000$ pesos y se sabe que cada año pierde un $15\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior.
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Escribí la función $V(t)$ que da el valor de la máquina en función de los años transcurridos.
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¿Cuál será su valor después de $5$ años?
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¿Cuánto tiempo exacto debe transcurrir para que su valor se reduzca a la mitad?
La propagación de un virus en una población aislada de $10000$ habitantes sigue un modelo de crecimiento logístico dado por la función:…
La propagación de un virus en una población aislada de $10000$ habitantes sigue un modelo de crecimiento logístico dado por la función:
$P(t) = \frac{10000}{1 + 99 e^{-0,5t}}$
donde $P(t)$ es el número de personas contagiadas y $t$ es el tiempo transcurrido en días desde el inicio del brote.
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Calcula el número inicial de contagiados en el instante $t = 0$.
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Determina cuántas personas estarán contagiadas transcurridos $10$ días.
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Calcula el tiempo exacto necesario para que la mitad de la población esté contagiada.
Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de un objeto en un instante $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, donde…
Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de un objeto en un instante $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, donde $T_a$ es la temperatura ambiente y $T_0$ la temperatura inicial del objeto. Una taza de café a $90^\circ\text{C}$ se deja en una habitación que se mantiene a una temperatura constante de $20^\circ\text{C}$. Si tras $10$ minutos la temperatura del café ha descendido a $60^\circ\text{C}$:
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Calcula el valor exacto de la constante de enfriamiento $k$.
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Determina el tiempo total transcurrido desde el inicio para que el café alcance una temperatura de $30^\circ\text{C}$.
Volvé al principio: si el cultivo parte de $N_0$ bacterias y se duplica cada hora, $N(t)=N_0\cdot2^t$; y el depósito crece como $C(t)=C_0(1+r)^t$. En los dos casos, la variable está en el exponente.