Definiciones
En el Estadio Centenario, antes de un clásico, alguien dice: «hay dos resultados posibles para cada equipo, así que ganar tiene 50 % de probabilidad». ¿Es cierto? Hasta ahora usaste la probabilidad como «casos favorables sobre casos posibles», pero esa regla solo anda si todos los resultados son igual de probables. En esta página vas a ver qué reglas cumple siempre la probabilidad, y de ahí vas a deducir todo lo demás.
Espacio muestral y eventos
Un experimento aleatorio es uno cuyo resultado no se puede predecir, aunque se conozcan todos los resultados posibles. El conjunto de todos ellos es el espacio muestral $E$. Un evento es un subconjunto de $E$.
Con eventos se opera como con conjuntos: $A \cup B$ («A o B»), $A \cap B$ («A y B»), $\overline{A}$ («no A») y $A - B = A \cap \overline{B}$ («A pero no B»).
Se lanza un dado dodecaédrico (12 caras) perfectamente equilibrado, con sus caras numeradas del 1 al 12. Se anota el resultado de la cara superior. Definí por extensión…
Se lanza un dado dodecaédrico (12 caras) perfectamente equilibrado, con sus caras numeradas del 1 al 12. Se anota el resultado de la cara superior. Definí por extensión el espacio muestral $E$ y los siguientes eventos:
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$A$: "Obtener un número múltiplo de 3".
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$B$: "Obtener un número primo".
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$C$: "Obtener un número mayor que 10".
En un experimento aleatorio, el espacio muestral es $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Dados los eventos $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ y $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$,…
En un experimento aleatorio, el espacio muestral es $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Dados los eventos $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ y $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, determiná por extensión los siguientes eventos resultantes de operar con ellos:
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$A \cup B$
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$A \cap B$
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$A - B$
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$\overline{A} \cap B$
En un centro meteorológico se define el evento $L$: "Que llueva mañana" y el evento $V$: "Que haya viento mañana". Expresá en lenguaje coloquial el significado de los…
En un centro meteorológico se define el evento $L$: "Que llueva mañana" y el evento $V$: "Que haya viento mañana". Expresá en lenguaje coloquial el significado de los siguientes eventos:
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$\overline{L} \cap \overline{V}$
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$L \cup V$
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$V - L$
En un estudio clínico sobre una nueva cepa viral, se observa a un grupo de pacientes. Se definen los sucesos $F$: "El paciente presenta fiebre" y $T$: "El paciente…
En un estudio clínico sobre una nueva cepa viral, se observa a un grupo de pacientes. Se definen los sucesos $F$: "El paciente presenta fiebre" y $T$: "El paciente presenta tos". Expresá en notación conjuntista (intersecciones, uniones, complementarios) los siguientes sucesos descritos en lenguaje natural:
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El paciente presenta al menos uno de los dos síntomas.
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El paciente presenta fiebre pero no tos.
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El paciente no presenta ninguno de los dos síntomas.
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El paciente presenta exactamente un síntoma.
La regla de Laplace
Si los $n$ resultados de $E$ son equiprobables (todos igual de probables), entonces
En el simulador de abajo, las 7 bolas que no son azules (las 5 rojas y las 2 verdes de la figura) se muestran como rojas. Así, la probabilidad de sacar azul sigue siendo $\tfrac{3}{10}$: probá sacar muchas veces y mirá cómo se acerca a ese valor.
De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Utilizando la regla de Laplace, calculá la probabilidad de los siguientes eventos elementales y…
De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Utilizando la regla de Laplace, calculá la probabilidad de los siguientes eventos elementales y compuestos:
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$A$: "Extraer un caballo".
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$B$: "Extraer una carta de copas".
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$C$: "Extraer una figura de oros" (las figuras son sota, caballo y rey).
Se dispone de una urna opaca que contiene 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 bolas verdes, todas idénticas al tacto. Si se extrae una bola al azar, calcula la…
Se dispone de una urna opaca que contiene 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 bolas verdes, todas idénticas al tacto. Si se extrae una bola al azar, calcula la probabilidad de:
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Obtener una bola azul.
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No obtener una bola roja.
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Obtener una bola que sea roja o verde.
Se lanzan simultáneamente dos dados cúbicos equilibrados, uno rojo y otro azul. Apoyándote en el espacio muestral bidimensional, calcula la probabilidad de que: La suma…
Se lanzan simultáneamente dos dados cúbicos equilibrados, uno rojo y otro azul. Apoyándote en el espacio muestral bidimensional, calcula la probabilidad de que:
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La suma de las puntuaciones sea exactamente 8.
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El valor absoluto de la diferencia entre las puntuaciones sea 2.
En una urna hay $n$ bolas blancas y 6 bolas negras. Se extrae una bola al azar. Si se sabe que la probabilidad de extraer una bola blanca es $\frac{3}{5}$, plantea una…
En una urna hay $n$ bolas blancas y 6 bolas negras. Se extrae una bola al azar. Si se sabe que la probabilidad de extraer una bola blanca es $\frac{3}{5}$, plantea una ecuación para averiguar el valor de $n$ y determina el número total de bolas en la urna.
Los axiomas de la probabilidad
Laplace es un caso particular. La definición general (de Kolmogórov, 1933) pide solo tres reglas.
Los eventos elementales incompatibles se suman, así que en un experimento con resultados no equiprobables basta asignar a cada uno un número $\ge 0$ y que todos sumen $1$.
Sean $A$ y $B$ dos eventos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ y $P(A \cup B) = 0,7$. Justificá matemáticamente si los eventos $A$ y…
Sean $A$ y $B$ dos eventos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ y $P(A \cup B) = 0,7$. Justificá matemáticamente si los eventos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles basándote en los axiomas de la probabilidad.
Un juego consiste en lanzar una moneda equilibrada repetidamente hasta que salga la primera "Cara" ($C$), con un límite máximo de 3 lanzamientos (si en el tercer…
Un juego consiste en lanzar una moneda equilibrada repetidamente hasta que salga la primera "Cara" ($C$), con un límite máximo de 3 lanzamientos (si en el tercer lanzamiento sale "Cruz" ($X$), el juego termina de todos modos).
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Escribí el espacio muestral $E$ de este experimento.
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Asigná la probabilidad correspondiente a cada evento elemental justificando tu respuesta.
Propiedades que se deducen de los axiomas
¿Por qué la unión? $A\cup B$ se parte en dos eventos incompatibles: $A$ y $B-A$. Entonces $P(A\cup B)=P(A)+P(B-A)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
Con un diagrama de Venn de áreas proporcionales (el área total de $E$ vale $1$) se ve cada cuenta.
En una fábrica de componentes electrónicos, se sabe que la probabilidad de que un chip tenga un defecto de soldadura es $0,05$, la probabilidad de que tenga un defecto…
En una fábrica de componentes electrónicos, se sabe que la probabilidad de que un chip tenga un defecto de soldadura es $0,05$, la probabilidad de que tenga un defecto en el encapsulado es $0,03$, y la probabilidad de que presente ambos defectos simultáneamente es $0,01$. Calcula la probabilidad de que un chip elegido al azar presente al menos uno de los dos defectos.
Observá el siguiente diagrama de Venn que representa un espacio muestral $E$ y dos sucesos $A$ y $B$. Sabiendo que el área de cada región es proporcional a su…
Observá el siguiente diagrama de Venn que representa un espacio muestral $E$ y dos sucesos $A$ y $B$. Sabiendo que el área de cada región es proporcional a su probabilidad, expresá en notación de conjuntos la región sombreada en color verde y calculá su probabilidad si $P(A) = 0,55$, $P(B) = 0,40$ y $P(A \cap B) = 0,15$.
En un liceo, el $60\%$ de los alumnos de 1.° de bachillerato cursa la materia de Física, el $50\%$ cursa Dibujo Técnico y un $20\%$ no cursa ninguna de las dos. Si se…
En un liceo, el $60\%$ de los alumnos de 1.° de bachillerato cursa la materia de Física, el $50\%$ cursa Dibujo Técnico y un $20\%$ no cursa ninguna de las dos. Si se elige un alumno al azar, determiná las siguientes probabilidades utilizando las propiedades axiomáticas y las Leyes de De Morgan:
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Que curse ambas materias.
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Que curse Física pero no Dibujo Técnico.
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Que curse exactamente una de las dos materias.
En una empresa de desarrollo de software, la probabilidad de que un programa tenga un error en la interfaz de usuario (evento $U$) es $0,45$. La probabilidad de que…
En una empresa de desarrollo de software, la probabilidad de que un programa tenga un error en la interfaz de usuario (evento $U$) es $0,45$. La probabilidad de que tenga un error en la base de datos (evento $D$) es $0,30$. Si la probabilidad de que tenga un error en la interfaz pero no en la base de datos es $0,25$, calculá la probabilidad de que el programa no tenga ningún error.
Un analista financiero evalúa dos fondos de inversión, $A$ y $B$. Determina que la probabilidad de que el fondo $A$ sea rentable es el doble de la probabilidad de que lo…
Un analista financiero evalúa dos fondos de inversión, $A$ y $B$. Determina que la probabilidad de que el fondo $A$ sea rentable es el doble de la probabilidad de que lo sea el fondo $B$. Además, sabe que la probabilidad de que al menos uno sea rentable es $0,85$ y la probabilidad de que ambos lo sean es $0,20$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula la probabilidad de que el fondo $A$ sea rentable.
Simplificar eventos con el álgebra de eventos
Las operaciones entre eventos cumplen propiedades que sirven para simplificar: conmutativa, asociativa, distributiva ($A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ y la otra con $\cup$ y $\cap$ intercambiados), $A\cup\overline{A}=E$, $A\cap\overline{A}=\emptyset$, $A\cup E=E$, $A\cap E=A$, y De Morgan.
En el diseño de un circuito lógico, la activación de un relé depende de los eventos $A$ y $B$ según la expresión booleana que define el evento $K$:…
En el diseño de un circuito lógico, la activación de un relé depende de los eventos $A$ y $B$ según la expresión booleana que define el evento $K$: $K = (A \cup B) \cap (\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})$.
Simplificá analíticamente la expresión del evento $K$ utilizando las propiedades del álgebra de eventos. Posteriormente, calculá $P(K)$ sabiendo que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cup B) = 0,8$.
Cotas de la probabilidad de una intersección
A veces no se conoce $P(A\cap B)$, pero igual se puede acotar, porque ninguna probabilidad supera $1$ ni es negativa.
En un control de calidad se aplican dos pruebas a una remesa de productos. Se sabe que la probabilidad de pasar la prueba $A$ es $P(A) = 0,85$ y la probabilidad de pasar…
En un control de calidad se aplican dos pruebas a una remesa de productos. Se sabe que la probabilidad de pasar la prueba $A$ es $P(A) = 0,85$ y la probabilidad de pasar la prueba $B$ es $P(B) = 0,75$. Sin conocer la probabilidad de la intersección, determina algebraicamente el valor máximo y el valor mínimo que puede tomar la probabilidad de que un producto pase ambas pruebas, $P(A \cap B)$.
Probabilidad y combinatoria
Cuando los resultados son equiprobables pero son muchos, los casos se cuentan con el principio multiplicativo y con combinaciones $\binom{n}{k}$.
En un sistema de ciberseguridad, un usuario debe crear un PIN numérico de 4 dígitos (del 0 al 9). Si el sistema genera un PIN aleatorio, calcula la probabilidad de que…
En un sistema de ciberseguridad, un usuario debe crear un PIN numérico de 4 dígitos (del 0 al 9). Si el sistema genera un PIN aleatorio, calcula la probabilidad de que el PIN contenga exactamente dos dígitos iguales (por ejemplo, 1213 o 9904, pero no 2225 ni 1122). Utiliza la regla de Laplace y técnicas de combinatoria.
Volvé al principio: que haya dos resultados posibles no los hace equiprobables. Sin motivo para pensar que son igual de probables, no se puede aplicar Laplace, y la probabilidad hay que estimarla (por ejemplo, con frecuencias) o modelarla con otros datos.