Ecuación de segundo grado
Ya sabés resolver $ax^2+bx+c=0$ con la fórmula resolvente. En este curso la ecuación de segundo grado se vuelve una herramienta: vas a decidir cuántas soluciones tiene sin resolverla, a sacar información de los coeficientes sin despejar nada y a usarla para reducir ecuaciones de aspecto complicado. Además, es de donde nacen los números complejos: ¿qué pasa cuando no hay soluciones reales? Esa pregunta la cerramos en el discriminante.
Forma general y fórmula resolvente
Las soluciones son los puntos donde la parábola $y=ax^2+bx+c$ corta el eje $x$. Movés los coeficientes y mirá cómo se mueven las raíces.
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general: $x^2 - 7x + 10 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Incompletas: resolver sin la fórmula
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta, extrayendo factor común: $3x^2 - 12x = 0$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta, extrayendo factor común:
$3x^2 - 12x = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita: $2x^2 - 18 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:
$2x^2 - 18 = 0$
El discriminante y las raíces complejas
Cuando $\Delta<0$ la ecuación no tiene raíces reales, pero sí en $\mathbb{C}$. Con la unidad imaginaria $i$, que cumple $i^2=-1$, es $\sqrt{-m}=i\sqrt{m}$.
Sin llegar a resolver la ecuación, determina el número de soluciones reales que tiene calculando el valor de su discriminante: $5x^2 - 3x + 2 = 0$
Sin llegar a resolver la ecuación, determina el número de soluciones reales que tiene calculando el valor de su discriminante:
$5x^2 - 3x + 2 = 0$
Determina el valor (o valores) del parámetro $k$ para que la ecuación $x^2 - kx + 9 = 0$ tenga una única solución real doble.
Determina el valor (o valores) del parámetro $k$ para que la ecuación $x^2 - kx + 9 = 0$ tenga una única solución real doble.
Cardano-Vieta: suma y producto de las raíces
Dada la ecuación $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcula la suma y el producto de sus raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta, sin necesidad de resolver la ecuación.
Dada la ecuación $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcula la suma y el producto de sus raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta, sin necesidad de resolver la ecuación.
Ecuaciones con parámetro y cambio de variable
Dos situaciones se repiten: una ecuación con una letra extra (un parámetro, como $m$ o $k$) en la que hay que discutir cuántas soluciones tiene, y una ecuación de aspecto más complicado que, con un cambio de variable, se reduce a una de segundo grado.
En la ecuación paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Sin necesidad de usar la fórmula general, calcula el valor del parámetro…
En la ecuación paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Sin necesidad de usar la fórmula general, calcula el valor del parámetro $m$ y halla la otra solución.
Discute el número de soluciones reales de la ecuación $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en función de los distintos valores que puede tomar el parámetro $m$.
Discute el número de soluciones reales de la ecuación $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en función de los distintos valores que puede tomar el parámetro $m$.
Resuelve la siguiente ecuación de cuarto grado realizando un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación de segundo grado:…
Resuelve la siguiente ecuación de cuarto grado realizando un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación de segundo grado:
$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0$
Ecuaciones con fracciones que llevan a segundo grado
En muchos problemas (repartos, velocidades, trabajos en conjunto) la incógnita aparece en un denominador. El método es siempre el mismo: fijá el dominio (la incógnita no puede anular ningún denominador), multiplicá toda la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones, llegá a la forma $ax^2+bx+c=0$, resolvé y descartá las soluciones que no cumplan el dominio o no tengan sentido en el contexto.
Un grupo de amigos decide alquilar un velero para el fin de semana por un costo total de $14\,400$ pesos, que acuerdan pagar a partes iguales. En el último momento, dos…
Un grupo de amigos decide alquilar un velero para el fin de semana por un costo total de $14\,400$ pesos, que acuerdan pagar a partes iguales. En el último momento, dos de los amigos no pueden asistir, lo que obliga al resto del grupo a pagar $360$ pesos más cada uno para cubrir el costo total. Planteá una ecuación que se reduzca a segundo grado para determinar cuántos amigos conformaban el grupo original.
Problemas de segundo grado
Para plantear: elegí la incógnita, escribí la condición del problema como ecuación, llevala a la forma $ax^2+bx+c=0$, resolvé y verificá que cada solución tenga sentido en el contexto (una longitud o un tiempo no pueden ser negativos).
Rectángulo dentro de un triángulo rectángulo
Cuando una figura está inscrita en un triángulo, la relación entre sus lados sale de triángulos semejantes (teorema de Thales): si dos triángulos tienen los mismos ángulos, sus lados son proporcionales.
En un experimento de física, se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en metros respecto al suelo, en función del tiempo $t$ en segundos,…
En un experimento de física, se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en metros respecto al suelo, en función del tiempo $t$ en segundos, viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina en qué instante o instantes el cohete se encuentra exactamente a $17$ metros de altura.
Se quiere enmarcar una fotografía de $20 \text{ cm}$ de alto por $30 \text{ cm}$ de ancho con un marco de madera de ancho uniforme $x$. Si el área total del marco (sin…
Se quiere enmarcar una fotografía de $20 \text{ cm}$ de alto por $30 \text{ cm}$ de ancho con un marco de madera de ancho uniforme $x$. Si el área total del marco (sin contar la fotografía) es de $216 \text{ cm}^2$, plantea una ecuación y halla el ancho del marco.
El producto de dos números enteros impares consecutivos es $323$. Plantea una ecuación de segundo grado y resuelve para hallar cuáles son esos dos números. ¿Hay más de…
El producto de dos números enteros impares consecutivos es $323$. Plantea una ecuación de segundo grado y resuelve para hallar cuáles son esos dos números. ¿Hay más de una pareja posible?
En un triángulo rectángulo de catetos $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, se inscribe un rectángulo de forma que dos de sus lados estén sobre los catetos y uno de sus…
En un triángulo rectángulo de catetos $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, se inscribe un rectángulo de forma que dos de sus lados estén sobre los catetos y uno de sus vértices sobre la hipotenusa. Si el área del rectángulo debe ser exactamente de $12 \text{ cm}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y halla las dimensiones posibles del rectángulo.
Vuelta al principio: cuando $\Delta<0$ no hay raíces reales, pero sí dos raíces complejas conjugadas, y así aparece $i$ como ampliación de $\mathbb{R}$.