Inecuaciones con valor absoluto
Valentina vive en la cuadra 5 de la avenida 18 de Julio y no quiere caminar más de 3 cuadras desde su casa para tomarse el ómnibus. ¿Entre qué cuadras puede estar la parada? Lo que cuenta es la distancia, sin importar si camina hacia un lado o hacia el otro. Esa idea es la llave de todo el apartado, y la respuesta la tenés más abajo.
El valor absoluto como distancia
Resuelve la inecuación $|x - 5| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación $|x - 5| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo.
Expresa mediante una inecuación con valor absoluto el siguiente enunciado: "La distancia entre un número $x$ y $7$ es estrictamente menor que $4$". A continuación,…
Expresa mediante una inecuación con valor absoluto el siguiente enunciado: "La distancia entre un número $x$ y $7$ es estrictamente menor que $4$". A continuación, determina el conjunto de soluciones.
Encuentra todos los números reales $x$ que satisfacen la desigualdad $|2x + 4| \geq 8$.
Encuentra todos los números reales $x$ que satisfacen la desigualdad $|2x + 4| \geq 8$.
Expresiones lineales dentro del valor absoluto
Si dentro hay una expresión como $2x+1$, el método es el mismo: se trata a esa expresión como si fuera «$x-a$». Se plantea la doble desigualdad (o los dos tramos) y después se despeja $x$. Si el valor absoluto no está solo, primero se aísla.
Resuelve la siguiente inecuación con valor absoluto: $|3x - 1| \leq 5$.
Resuelve la siguiente inecuación con valor absoluto: $|3x - 1| \leq 5$.
Determina el conjunto solución de la inecuación $|-x + 6| > 2$.
Determina el conjunto solución de la inecuación $|-x + 6| > 2$.
Resuelve la inecuación $\left| \frac{x}{3} - 2 \right| \leq 1$.
Resuelve la inecuación $\left| \frac{x}{3} - 2 \right| \leq 1$.
Resuelve la desigualdad $5 - |x - 2| > 1$.
Resuelve la desigualdad $5 - |x - 2| > 1$.
Casos sin solución o con solución toda la recta
Como $|x|\geq 0$ siempre, algunas inecuaciones se resuelven solo razonando sobre el signo.
Justifica si las siguientes inecuaciones tienen solución en el conjunto de los números reales y, en caso afirmativo, hállala: a) $|x + 4| \leq 0$ b) $|2x - 5| < -1$
Justifica si las siguientes inecuaciones tienen solución en el conjunto de los números reales y, en caso afirmativo, hállala:
- a) $|x + 4| \leq 0$
- b) $|2x - 5| < -1$
Tolerancias y márgenes de error
El uso más frecuente del valor absoluto es una tolerancia: una medida que debe estar cerca de un valor ideal, con un error máximo admitido. Se modela con $|x-\text{valor ideal}|\leq \text{margen}$.
Si la condición viene en una expresión como $|2T-300|\leq 50$, la resolvés igual: es una inecuación con valor absoluto y después comparás el intervalo obtenido con lo que pide el problema.
En una fábrica de componentes electrónicos, la longitud ideal de un chip es de $12,5$ mm. Por cuestiones de control de calidad, se acepta un margen de error máximo de…
En una fábrica de componentes electrónicos, la longitud ideal de un chip es de $12,5$ mm. Por cuestiones de control de calidad, se acepta un margen de error máximo de $0,15$ mm. Escribe una inecuación con valor absoluto que modele esta situación para la longitud $L$ del chip y resuelve para encontrar el intervalo de longitudes aceptables.
El pH de una piscina debe mantenerse en un nivel óptimo de $7,4$. Para que el agua sea apta para el baño, la diferencia absoluta entre el pH actual y el óptimo no debe…
El pH de una piscina debe mantenerse en un nivel óptimo de $7,4$. Para que el agua sea apta para el baño, la diferencia absoluta entre el pH actual y el óptimo no debe superar el $5\%$ del valor óptimo. Planteá la inecuación con valor absoluto correspondiente y determiná el rango de pH permitido.
La temperatura $T$ (en grados Celsius) de un horno industrial oscila durante su funcionamiento de modo que $|2T - 300| \leq 50$. Si por razones de seguridad en el…
La temperatura $T$ (en grados Celsius) de un horno industrial oscila durante su funcionamiento de modo que $|2T - 300| \leq 50$. Si por razones de seguridad en el proceso de fundición la temperatura no puede bajar de $130^\circ$C en ningún momento, comprueba matemáticamente si el horno cumple la normativa de seguridad garantizada por su oscilación.
Expresiones cuadráticas, racionales o variables a ambos lados
El método no cambia: se traduce el valor absoluto y se resuelve la inecuación que queda (cuadrática, racional...) con las técnicas que ya conocés.
Cuando el segundo miembro depende de $x$
Racionales y dos valores absolutos
Para comparar dos valores absolutos tenés dos caminos. Como ambos son no negativos, podés elevar al cuadrado sin perder equivalencia: $|f|\leq|g|\Leftrightarrow f^2\leq g^2$. O bien pensar en distancias.
Resuelve la inecuación cuadrática con valor absoluto $|x^2 - 5| < 4$.
Resuelve la inecuación cuadrática con valor absoluto $|x^2 - 5| < 4$.
Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la inecuación $|2x - 3| < x + 1$.
Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la inecuación $|2x - 3| < x + 1$.
Resuelve la inecuación racional con valor absoluto $\frac{2}{|x - 3|} \geq 1$.
Resuelve la inecuación racional con valor absoluto $\frac{2}{|x - 3|} \geq 1$.
Halla el conjunto solución de la inecuación $|x - 2| < |x + 4|$ interpretando geométricamente el valor absoluto como la distancia entre puntos en la recta real.
Halla el conjunto solución de la inecuación $|x - 2| < |x + 4|$ interpretando geométricamente el valor absoluto como la distancia entre puntos en la recta real.
Sistemas de inecuaciones con valor absoluto
Un sistema pide que se cumplan todas las condiciones a la vez. Se resuelve cada inecuación por separado y se toma la intersección de las soluciones.
Conviene dibujar ambas soluciones en rectas paralelas y mirar dónde coinciden.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales con valor absoluto: $$ \begin{cases} |x - 2| \leq 4 \\ |x + 1| > 2 \end{cases} $$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales con valor absoluto:
$$ \begin{cases} |x - 2| \leq 4 \\ |x + 1| > 2 \end{cases} $$Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones combinadas: $$ \begin{cases} |x^2 - 4| \leq 5 \\ |2x - 1| \geq 3 \end{cases} $$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones combinadas:
$$ \begin{cases} |x^2 - 4| \leq 5 \\ |2x - 1| \geq 3 \end{cases} $$Varios valores absolutos: método por tramos
Con una suma como $|x-1|+|x-3|$ ya no alcanza con una doble desigualdad. Se hace por tramos: se buscan los valores donde cada expresión interior vale 0 (puntos críticos), que parten la recta en zonas donde cada valor absoluto se escribe sin barras.
En la gráfica de $f(x)=|x+1|+|x-2|$, la solución es el tramo donde la curva queda por debajo (o sobre) la recta $y=5$.
El mismo método sirve cuando hay un solo valor absoluto pero su interior cambia de signo. Por ejemplo, en $|x^2-4x|>3x$, la expresión $x^2-4x$ es negativa entre 0 y 4, así que podés separar en tramos, o aplicar $|f|>g$: $f<-g$ o $f>g$.
Resuelve la inecuación $|x^2 - 4x| > 3x$. Expresa la solución en forma de unión de intervalos.
Resuelve la inecuación $|x^2 - 4x| > 3x$. Expresa la solución en forma de unión de intervalos.
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación $|x - 1| + |x - 3| \leq 6$. La figura muestra la gráfica de $f(x) = |x-1| + |x-3|$ (en azul) y la recta $y = 6$ (en…
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación $|x - 1| + |x - 3| \leq 6$.
La figura muestra la gráfica de $f(x) = |x-1| + |x-3|$ (en azul) y la recta $y = 6$ (en verde). Puedes usarla para comprobar el resultado que obtengas de forma algebraica.
En un estudio de óptica y refracción, la desviación de un haz de luz respecto a su trayectoria ideal viene dada por la función $d(x) = |x| - |x - 2|$. Resuelve la…
En un estudio de óptica y refracción, la desviación de un haz de luz respecto a su trayectoria ideal viene dada por la función $d(x) = |x| - |x - 2|$. Resuelve la inecuación $|d(x)| \leq 1$ para encontrar los valores de $x$ donde la desviación se mantiene dentro de los márgenes tolerables por el instrumento.
Parámetros y problemas con celeridad
Si la inecuación trae un parámetro, la solución se expresa en función de él. Y cuando se pide que esa solución cumpla una condición (estar contenida en un intervalo), se comparan los extremos.
Cuando el parámetro está en un cuadrado, como $a^2$ con $a>0$, trabajá igual: traducí a doble desigualdad y despejá $x^2$ en función de $a$.
En un movimiento en línea recta, la celeridad $v(t)$ es el valor absoluto de la velocidad, así que $v(t)=|3t-15|$ lleva a inecuaciones como las de este apartado. La distancia recorrida es el área bajo la gráfica de $v$ en el intervalo; si la gráfica forma triángulos, la calculás con $\frac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}$.
Determina para qué valores del parámetro real $k$ el conjunto solución de la inecuación $|x - k| \leq 3$ está estrictamente contenido en el intervalo $[-1, 8]$.
Determina para qué valores del parámetro real $k$ el conjunto solución de la inecuación $|x - k| \leq 3$ está estrictamente contenido en el intervalo $[-1, 8]$.
La celeridad de un vehículo en un instante $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $v(t) = |3t - 15|$ m/s. Determina durante qué intervalo de tiempo la celeridad…
La celeridad de un vehículo en un instante $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $v(t) = |3t - 15|$ m/s. Determina durante qué intervalo de tiempo la celeridad del vehículo es estrictamente menor que $6$ m/s y calcula la distancia total recorrida en ese intervalo considerando que el vehículo se mueve en línea recta.
Resuelve la inecuación racional con valor absoluto $\left| \frac{2x - 1}{x + 2} \right| \geq 1$.
Resuelve la inecuación racional con valor absoluto $\left| \frac{2x - 1}{x + 2} \right| \geq 1$.
Considera la inecuación $|x^2 - a^2| \leq a^2$, donde $a > 0$ es un parámetro real constante. Expresa el conjunto solución de esta inecuación en función del parámetro…
Considera la inecuación $|x^2 - a^2| \leq a^2$, donde $a > 0$ es un parámetro real constante. Expresa el conjunto solución de esta inecuación en función del parámetro $a$.