Combinaciones lineales de vectores. Bases

Calcula las coordenadas del vector resultante de la combinación lineal $3\vec{a} - 2\vec{b}$, sabiendo que $\vec{a} = (1, 4)$ y $\vec{b} = (-2, 5)$.

Sabiendo que $\vec{w} = 2\vec{u} + k\vec{v}$, con $\vec{u} = (1, -1)$, $\vec{v} = (0, 3)$ y $\vec{w} = (2, 7)$, halla el valor del escalar $k$.

En el plano adjunto se muestran los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Determina las coordenadas en la base canónica del vector resultante $\vec{z} = 2\vec{u} - \vec{v}$.

Dados los vectores $\vec{u} = (2, -3)$ y $\vec{v} = (-4, 6)$, justifica matemáticamente si pueden formar una base del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$.

Determina el valor del parámetro $m$ para que los vectores $\vec{p} = (m, 4)$ y $\vec{q} = (3, -2)$ sean linealmente dependientes.

Para garantizar la estabilidad de un nodo en una estructura reticular plana, los vectores directores de dos barras concurrentes deben ser linealmente independientes. Los vectores de diseño son $\vec{d}_1 = (k+1, 3)$ y $\vec{d}_2 = (2, k)$. Determina para qué valores del parámetro $k$ el nodo es inestable (los vectores no forman base). Posteriormente, asumiendo $k=0$, expresa el vector de carga externa $\vec{P} = (4, -6)$ como combinación lineal de $\vec{d}_1$ y $\vec{d}_2$.

Expresa el vector $\vec{c} = (5, -2)$ como combinación lineal de los vectores de la base canónica $\vec{i} = (1, 0)$ y $\vec{j} = (0, 1)$.

Dado el paralelogramo $ABCD$ de la figura, expresa los vectores correspondientes a las diagonales $\vec{AC}$ y $\vec{BD}$ como combinación lineal de los vectores de los lados $\vec{u} = \vec{AB}$ y $\vec{v} = \vec{AD}$.

En el hexágono regular $ABCDEF$ de centro $O$ mostrado en la figura, se definen los vectores base $\vec{u} = \vec{AB}$ y $\vec{v} = \vec{AF}$. Expresa los vectores $\vec{AC}$, $\vec{AD}$, $\vec{AE}$ y $\vec{BC}$ como combinación lineal de la base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$.

Comprueba si el conjunto de vectores $B = \{(-1, 2), (2, 1)\}$ forma una base ortogonal del plano.

Comprueba si los vectores $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (0, -2)$ forman una base ortogonal de $\mathbb{R}^2$.

Determina un vector $\vec{v}$ tal que el conjunto $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ forme una base ortonormal, sabiendo que $\vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{-4}{5}\right)$. ¿Es única la solución? Justifica tu respuesta.

Halla los valores de $a$ y $b$ para que los vectores $\vec{u} = (a, 3)$ y $\vec{v} = (-2, b)$ formen una base ortogonal, sabiendo además que el módulo del vector $\vec{u}$ es exactamente $5$.

Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores no nulos tales que el ángulo que forman es de $60^\circ$, con $|\vec{u}| = 2$ y $|\vec{v}| = 3$. Si se define el vector $\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$, calcula la relación que debe existir entre los parámetros $m$ y $n$ para que el vector $\vec{w}$ sea perpendicular al vector $\vec{u}$.

El brazo de un robot industrial se mueve en un plano definido por una base $B = \{\vec{e}_1, \vec{e}_2\}$ que es ortogonal pero no ortonormal, donde $|\vec{e}_1| = 2$ y $|\vec{e}_2| = 4$. Un comando de trayectoria le indica desplazarse según el vector $\vec{v} = 3\vec{e}_1 - \frac{1}{2}\vec{e}_2$. Calcula el módulo exacto del vector de desplazamiento $\vec{v}$ y el coseno del ángulo que forma con el vector de la base $\vec{e}_1$.

Un dron submarino se desplaza en un entorno con corrientes marinas. Su sistema de navegación autónoma utiliza una base formada por los vectores $\vec{c}_1 = (1, 2)$ y $\vec{c}_2 = (-2, 3)$. El dron registra un desplazamiento $\vec{w}$ cuyas coordenadas en esta base son $(4, -1)_B$. Calcula las coordenadas del vector $\vec{w}$ en la base canónica.

En el motor físico de un videojuego, el movimiento de un personaje se define en una base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$, donde $\vec{u} = (2, 1)$ y $\vec{v} = (-1, 3)$. Si el personaje debe desplazarse al punto indicado por el vector $\vec{d} = (8, -3)$ respecto a la base canónica, ¿cuáles serán las coordenadas del vector de desplazamiento en la base $B$?

Dos remolcadores tiran de un barco averiado con fuerzas $\vec{F}_1 = (300, 400)$ N y $\vec{F}_2 = (400, -300)$ N. Un tercer remolcador se une aplicando una fuerza $\vec{F}_3 = (1000, 500)$ N. Expresa la fuerza $\vec{F}_3$ como combinación lineal de los vectores $\vec{F}_1$ y $\vec{F}_2$, hallando las coordenadas de $\vec{F}_3$ en la base $B = \{\vec{F}_1, \vec{F}_2\}$.

Demuestra analíticamente que si $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ es una base de los vectores del plano, entonces el conjunto $B' = \{\vec{u} + \vec{v}, \vec{u} - \vec{v}\}$ también forma una base. Si un vector $\vec{w}$ tiene coordenadas $(3, 5)$ en la base $B$, halla sus coordenadas en la nueva base $B'$.

En el estudio de una red cristalina bidimensional, se definen dos bases para el plano: la base primitiva $B_1 = \{\vec{a}_1, \vec{a}_2\}$ y una base secundaria $B_2 = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2\}$. Sabiendo que $\vec{b}_1 = 2\vec{a}_1 - \vec{a}_2$ y $\vec{b}_2 = \vec{a}_1 + 3\vec{a}_2$, halla las coordenadas en la base $B_1$ de un defecto puntual cuyo vector de posición en la base $B_2$ es $\vec{d} = (-1, 2)_{B_2}$.

Una empresa de logística utiliza dos tipos de furgonetas. La capacidad de carga de la furgoneta tipo A se representa por el vector $\vec{a} = (3, 2)$, indicando 3 palés de fruta y 2 de verdura. La tipo B se representa por $\vec{b} = (1, 4)$. Si un centro comercial realiza un pedido exacto de 11 palés de fruta y 14 de verdura, representado por $\vec{p} = (11, 14)$, halla los escalares de la combinación lineal $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$ para determinar cuántos viajes de cada furgoneta se necesitan.

Encuentra todos los vectores $\vec{x} = (x_1, x_2)$ que, expresados como combinación lineal de la base $B = \{(1, -1), (2, 1)\}$, tienen coordenadas $(a, b)_B$ tales que $a = b$ y, además, cumplen que su módulo en la base canónica es exactamente $\sqrt{45}$.

Dados los puntos $A(1, 2)$, $B(4, -1)$ y $C(x, y)$, determina las coordenadas del punto $C$ sabiendo que los vectores $\vec{u} = \vec{AB}$ y $\vec{v} = \vec{AC}$ forman una base del plano en la cual el vector $\vec{w} = (0, -6)$ tiene por coordenadas $(2, -1)_B$.