Ángulo entre dos rectas. Paralelismo y perpendicularidad
En el plano de una ciudad, la avenida 18 de Julio y una calle transversal se cruzan formando un ángulo. Si las dos están representadas por ecuaciones, ¿podés saber ese ángulo sin dibujar nada y sin transportador? ¿Y cómo trazar una calle nueva que sea perfectamente paralela o perpendicular a otra? Todo sale de las pendientes (o de los vectores directores) de las rectas.
El ángulo entre dos rectas
Una recta de pendiente $m$ forma con el eje de abscisas un ángulo $\theta$ tal que $m = \tan\theta$. El ángulo entre dos rectas sale de comparar sus dos inclinaciones.
¿Por qué? Si $r$ tiene inclinación $\theta_1$ y $s$ tiene $\theta_2$, el ángulo entre ellas es la diferencia $\theta_1-\theta_2$. La fórmula de la tangente de una diferencia da justamente $\dfrac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}$.
Para el ángulo de una recta con el eje de abscisas, alcanza con $\tan\theta = m$. Por ejemplo, $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ tiene $m=\sqrt3$, así que $\theta = 60^\circ$.
Determina el ángulo que forma la recta $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ con la dirección positiva del eje de abscisas.
Determina el ángulo que forma la recta $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ con la dirección positiva del eje de abscisas.
Calcula el ángulo que forman las rectas dadas por sus ecuaciones explícitas $y = 2x + 1$ e $y = -3x + 4$.
Calcula el ángulo que forman las rectas dadas por sus ecuaciones explícitas $y = 2x + 1$ e $y = -3x + 4$.
Calcula el ángulo agudo que forman las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: 3x + y - 1 = 0$.
Calcula el ángulo agudo que forman las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: 3x + y - 1 = 0$.
Rectas paralelas
Si la recta está en forma general $Ax+By+C=0$, su pendiente es $m=-\dfrac{A}{B}$. Dos rectas son entonces paralelas cuando $\dfrac{A}{B}=\dfrac{A'}{B'}$.
Determina la ecuación general de la recta paralela a $y = 3x - 5$ que pasa por el punto $P(2, -1)$.
Determina la ecuación general de la recta paralela a $y = 3x - 5$ que pasa por el punto $P(2, -1)$.
Dadas las rectas $r: kx - 2y + 5 = 0$ y $s: 3x + 4y - 1 = 0$, halla el valor del parámetro $k$ para que ambas rectas sean paralelas.
Dadas las rectas $r: kx - 2y + 5 = 0$ y $s: 3x + 4y - 1 = 0$, halla el valor del parámetro $k$ para que ambas rectas sean paralelas.
Rectas perpendiculares
Con vectores es muy cómodo: si $\vec{u}=(a,b)$ es director de una recta, el vector $(-b,a)$ es perpendicular a él. En $Ax+By+C=0$ el vector $(A,B)$ es perpendicular a la recta, y $(B,-A)$ es un vector director.
Halla la ecuación de la recta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que pasa por el origen de coordenadas. Expresa el resultado en forma explícita.
Halla la ecuación de la recta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que pasa por el origen de coordenadas. Expresa el resultado en forma explícita.
Encuentra el valor de $m$ para que las rectas $r: 5x + 2y = 0$ y $s: mx - 5y + 3 = 0$ sean perpendiculares.
Encuentra el valor de $m$ para que las rectas $r: 5x + 2y = 0$ y $s: mx - 5y + 3 = 0$ sean perpendiculares.
Indica cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles perpendiculares entre sí: $r_1: 2x - 3y + 1 = 0$ $r_2: 6x + 4y - 5 = 0$ $r_3: -4x + 6y + 7 = 0$
Indica cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles perpendiculares entre sí:
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$r_1: 2x - 3y + 1 = 0$
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$r_2: 6x + 4y - 5 = 0$
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$r_3: -4x + 6y + 7 = 0$
Rectas con un parámetro
Cuando una recta depende de un parámetro, la condición pedida (paralela, perpendicular o con un ángulo dado) se traduce en una ecuación para ese parámetro.
Calcula los valores del parámetro $k$ para que la recta $kx + y - 2 = 0$ forme un ángulo de $45^\circ$ con la recta de ecuación $x - 2y + 1 = 0$.
Calcula los valores del parámetro $k$ para que la recta $kx + y - 2 = 0$ forme un ángulo de $45^\circ$ con la recta de ecuación $x - 2y + 1 = 0$.
Dos aviones siguen trayectorias rectilíneas en la pantalla de un radar dadas por las ecuaciones $r: x - 3y + 2 = 0$ y $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina el valor (o…
Dos aviones siguen trayectorias rectilíneas en la pantalla de un radar dadas por las ecuaciones $r: x - 3y + 2 = 0$ y $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina el valor (o valores) de $k$ para que sus rutas se crucen formando un ángulo exacto de $60^\circ$.
Dos brazos robóticos en una fábrica se desplazan sobre raíles rectilíneos. El primero sigue la recta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ y el segundo la recta $s: ax + 8y - 5 = 0$. 1.…
Dos brazos robóticos en una fábrica se desplazan sobre raíles rectilíneos. El primero sigue la recta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ y el segundo la recta $s: ax + 8y - 5 = 0$.
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Determina $a$ para que los raíles sean paralelos.
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Halla la ecuación de un tercer raíl transversal que sea perpendicular a ambos y que cruce al raíl $r$ exactamente en su punto de corte con el eje de ordenadas.
Aplicaciones: alturas, mediatrices y estructuras
La perpendicularidad aparece cuando algo debe «caer en ángulo recto»: la altura de un triángulo, una viga transversal, una calle nueva que corta a otra. El esquema casi siempre es el mismo: hallar una pendiente, invertirla con cambio de signo y usar un punto.
Cuando la recta pedida pasa por la intersección de otras dos, resolvé primero el sistema que forman para hallar ese punto.
En el diseño de un parque, una nueva avenida debe ser perpendicular a la calle principal definida por la ecuación $3x - 4y + 10 = 0$. Además, esta avenida debe pasar por…
En el diseño de un parque, una nueva avenida debe ser perpendicular a la calle principal definida por la ecuación $3x - 4y + 10 = 0$. Además, esta avenida debe pasar por el punto de intersección de las calles secundarias $x + y - 2 = 0$ y $2x - y - 4 = 0$. Obtén la ecuación general de la nueva avenida.
En el plano de una estructura metálica, una viga de soporte principal se asienta sobre la recta que pasa por los nudos $P(-2, 4)$ y $Q(4, 1)$. Se necesita soldar una…
En el plano de una estructura metálica, una viga de soporte principal se asienta sobre la recta que pasa por los nudos $P(-2, 4)$ y $Q(4, 1)$. Se necesita soldar una segunda viga perpendicular a la primera exactamente en su punto medio. Halla la ecuación explícita de la recta que define esta segunda viga.
Dado un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ y $C(4, 6)$, halla la ecuación general de la altura correspondiente al vértice $A$ y calcula el ángulo que forma esta…
Dado un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ y $C(4, 6)$, halla la ecuación general de la altura correspondiente al vértice $A$ y calcula el ángulo que forma esta altura con el lado $AB$.
Proyección ortogonal y reflexión
La proyección ortogonal de un punto $P$ sobre una recta $r$ es el pie de la perpendicular a $r$ por $P$. Se halla en dos pasos: se traza esa perpendicular y se la corta con $r$.
El simétrico $P'$ de $P$ respecto de $r$ cumple que la proyección $M$ es el punto medio de $PP'$, o sea $P' = 2M - P$.
Reflexión de un rayo. En un espejo el ángulo de incidencia es igual al de reflexión, medidos respecto a la normal. Si el espejo está sobre el eje de abscisas, el rayo reflejado tiene la pendiente opuesta y pasa por el punto donde el rayo toca el espejo. La normal es vertical, así que el ángulo de incidencia es el complemento del ángulo del rayo con el eje.
Recta simétrica de $r$ respecto de $s$. Si se cortan en $T$, tomá otro punto $Q$ de $r$, hallá su simétrico $Q'$ respecto de $s$ y trazá la recta $TQ'$.
Encuentra las coordenadas de la proyección ortogonal del origen de coordenadas $(0,0)$ sobre la recta de ecuación $2x - 5y + 10 = 0$.
Encuentra las coordenadas de la proyección ortogonal del origen de coordenadas $(0,0)$ sobre la recta de ecuación $2x - 5y + 10 = 0$.
Un rayo láser viaja a lo largo de la recta $y = -2x + 5$ y se refleja en un espejo plano situado sobre el eje de abscisas. Calcula el ángulo de incidencia (ángulo entre…
Un rayo láser viaja a lo largo de la recta $y = -2x + 5$ y se refleja en un espejo plano situado sobre el eje de abscisas. Calcula el ángulo de incidencia (ángulo entre el rayo y la normal al espejo) y determina la ecuación de la recta que contiene al rayo reflejado.
Determina la ecuación general de la recta simétrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ con respecto a la recta $s: x + y - 1 = 0$.
Determina la ecuación general de la recta simétrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ con respecto a la recta $s: x + y - 1 = 0$.
Bisectrices, haces de rectas y la fórmula general
Bisectrices. Los puntos de una bisectriz equidistan de las dos rectas. La distancia de $(x,y)$ a $Ax+By+C=0$ es $\dfrac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$. Igualando las distancias a $r$ y $s$ salen las dos bisectrices.
Haz de rectas. Una familia como $(x+y-3)+k(x-y+1)=0$ pasa siempre por la intersección de $x+y-3=0$ y $x-y+1=0$. Resolviendo ese sistema, el punto fijo es $(1, 2)$. Para una familia con parámetro, agrupá los términos con $k$ y los que no lo tienen, e igualá a cero cada grupo.
Fórmula general de la tangente. Con $m_1=-\dfrac ab$ y $m_2=-\dfrac{a'}{b'}$:
$$\tan\alpha=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|=\left|\frac{-\frac ab+\frac{a'}{b'}}{1+\frac{aa'}{bb'}}\right|=\left|\frac{a'b-ab'}{bb'+aa'}\right|=\left|\frac{ab'-a'b}{aa'+bb'}\right|$$(se multiplicó numerador y denominador por $bb'$). Para hallar rectas que forman un ángulo dado con otra, planteá esta igualdad con la pendiente incógnita y resolvé las dos ramas del valor absoluto.
Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 12x + 5y - 1 = 0$. Demuestra analíticamente, utilizando sus…
Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 12x + 5y - 1 = 0$. Demuestra analíticamente, utilizando sus vectores directores o sus pendientes, que ambas bisectrices son perpendiculares entre sí.
Dada la familia de rectas dependiente del parámetro $k \in \mathbb{R}$: $(2 + k)x + (1 - 2k)y + 3k - 4 = 0$. Demuestra que todas las rectas de esta familia pasan por un…
Dada la familia de rectas dependiente del parámetro $k \in \mathbb{R}$: $(2 + k)x + (1 - 2k)y + 3k - 4 = 0$. Demuestra que todas las rectas de esta familia pasan por un mismo punto fijo y calcula sus coordenadas. Después, halla el valor de $k$ para obtener la recta de la familia que es perpendicular a $3x - y + 2 = 0$.
Demuestra que si dos rectas $r: ax + by + c = 0$ y $s: a'x + b'y + c' = 0$ se cortan formando un ángulo $\alpha$, se cumple que…
Demuestra que si dos rectas $r: ax + by + c = 0$ y $s: a'x + b'y + c' = 0$ se cortan formando un ángulo $\alpha$, se cumple que $\tan \alpha = \left| \frac{ab' - a'b}{aa' + bb'} \right|$. Utiliza este resultado para encontrar las ecuaciones generales de las rectas que pasan por $P(1,1)$ y forman un ángulo $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ con la recta $2x - y + 3 = 0$.
Volvé al principio: dadas las ecuaciones de 18 de Julio y de una transversal, calculás sus pendientes, aplicás la fórmula de $\tan\alpha$ y conocés el ángulo. Y una calle paralela o perpendicular se obtiene con la misma pendiente, o con la inversa cambiada de signo.