Función racional
Una cooperativa de Canelones fabrica cajones de madera. Tiene costos fijos que reparte entre todos los cajones que produce: cuantos más fabrica, menos costo fijo carga cada uno. Pero el costo medio nunca baja de cierto valor, por grande que sea la producción. Un valor al que la función se acerca sin alcanzarlo, y puntos donde la función directamente «se rompe»: ese es el terreno de las funciones racionales.
Dominio de una función racional
Calcula el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{5x-2}{x^2-9}$.
Calcula el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{5x-2}{x^2-9}$.
Determina el dominio de la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+4x+4}$.
Determina el dominio de la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+4x+4}$.
Analiza detalladamente la función racional $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$. Determina su dominio, simplifica la expresión algebraica indicando para qué valores es válida…
Analiza detalladamente la función racional $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$. Determina su dominio, simplifica la expresión algebraica indicando para qué valores es válida la simplificación, halla las ecuaciones de sus asíntotas y explica qué fenómeno gráfico se produce exactamente en el punto de abscisa $x = 2$.
Puntos de corte y signo
Con el eje $Y$ se calcula $f(0)$, si $0$ pertenece al dominio. Con el eje $X$ se resuelve $P(x)=0$, comprobando que esas soluciones no anulen también el denominador.
Simetría: funciones pares e impares
Antes de dibujar conviene comprobar si la gráfica tiene simetría: si $f(-x)=f(x)$ para todo $x$ del dominio, $f$ es par (simétrica respecto al eje $Y$); si $f(-x)=-f(x)$, es impar (simétrica respecto al origen). Si no se cumple ninguna, no tiene paridad.
Halla las coordenadas de los puntos de corte con los ejes cartesiano de la función $f(x) = \frac{3x+12}{2x-5}$.
Halla las coordenadas de los puntos de corte con los ejes cartesiano de la función $f(x) = \frac{3x+12}{2x-5}$.
Estudia el signo de la función racional $f(x) = \frac{x-4}{x+2}$, indicando claramente los intervalos de la recta real donde la función toma valores positivos y donde…
Estudia el signo de la función racional $f(x) = \frac{x-4}{x+2}$, indicando claramente los intervalos de la recta real donde la función toma valores positivos y donde toma valores negativos.
Comprueba analíticamente si la función $f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ es par, impar o no presenta simetría respecto a los ejes de coordenadas.
Comprueba analíticamente si la función $f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ es par, impar o no presenta simetría respecto a los ejes de coordenadas.
Resolver la ecuación f(x) = k
¿Para qué valor de $x$ la función vale exactamente $k$? Es una ecuación racional: se multiplica por el denominador para eliminarlo, se resuelve lo que queda y se descartan las soluciones que anulen $Q(x)$.
Encuentra el valor de $x$ para el cual la función $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ toma exactamente el valor $f(x) = 5$.
Encuentra el valor de $x$ para el cual la función $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ toma exactamente el valor $f(x) = 5$.
Asíntotas verticales
Asíntotas verticales con un parámetro
Si el denominador depende de un parámetro $k$, las asíntotas verticales dependen de $k$. El método tiene dos pasos: ver cuándo el denominador tiene raíces reales (con el discriminante $\Delta$) y comprobar si alguna de esas raíces también anula el numerador.
Determina las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función $f(x) = \frac{4x-1}{x+3}$.
Determina las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función $f(x) = \frac{4x-1}{x+3}$.
Discute, en función del parámetro real $k$, la existencia de asíntotas verticales para la función $f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2-kx+9}$. Determina el intervalo de valores…
Discute, en función del parámetro real $k$, la existencia de asíntotas verticales para la función $f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2-kx+9}$. Determina el intervalo de valores de $k$ para los cuales la función carece por completo de asíntotas verticales.
Asíntotas horizontales y oblicuas
¿La curva queda por encima o por debajo de la asíntota?
Como $f(x)=ax+b+\dfrac{R}{Q(x)}$ (con $R$ el resto de la división), la diferencia entre la curva y la asíntota es justamente el término del resto: $$f(x)-(ax+b)=\frac{R}{Q(x)}$$ Si esa diferencia es positiva, la curva está por encima de la asíntota; si es negativa, por debajo. Basta mirar su signo para $x\to+\infty$ y para $x\to-\infty$.
En el ejemplo de $\dfrac{2x^2-5x+4}{x-1}$ la diferencia es $\dfrac{1}{x-1}$: positiva a la derecha (curva arriba) y negativa a la izquierda (curva abajo), como muestra la figura.
Halla la ecuación de la asíntota oblicua de la función racional $f(x) = \frac{2x^2-5x+4}{x-1}$.
Halla la ecuación de la asíntota oblicua de la función racional $f(x) = \frac{2x^2-5x+4}{x-1}$.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{ax+7}{3x+b}$ tenga una asíntota vertical en $x = 2$ y una asíntota horizontal en…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{ax+7}{3x+b}$ tenga una asíntota vertical en $x = 2$ y una asíntota horizontal en $y = \frac{5}{3}$.
Halla el dominio, los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de todas las asíntotas de la función racional $f(x) = \frac{3x^2}{x^2-16}$.
Halla el dominio, los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de todas las asíntotas de la función racional $f(x) = \frac{3x^2}{x^2-16}$.
Dada la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$, determina su dominio, sus asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) y estudia la posición de la curva respecto a su…
Dada la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$, determina su dominio, sus asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) y estudia la posición de la curva respecto a su asíntota oblicua cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.
Encuentra los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-3}$ sabiendo que tiene una asíntota oblicua de ecuación…
Encuentra los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-3}$ sabiendo que tiene una asíntota oblicua de ecuación $y = 2x+1$ y que su gráfica pasa por el punto de coordenadas $(4, 15)$.
La hipérbola de proporcionalidad inversa
Intersección de una recta con la hipérbola
Para saber en cuántos puntos una recta corta a una curva racional, se igualan las expresiones, se elimina el denominador y se obtiene una ecuación cuadrática. Su discriminante dice cuántas soluciones hay: $\Delta>0$ dos puntos, $\Delta=0$ uno solo (la recta es tangente), $\Delta<0$ ninguno.
Dada la función $f(x) = \frac{1}{x+2} - 4$, explica qué transformaciones geométricas elementales (desplazamientos horizontales y verticales) se han aplicado a la gráfica…
Dada la función $f(x) = \frac{1}{x+2} - 4$, explica qué transformaciones geométricas elementales (desplazamientos horizontales y verticales) se han aplicado a la gráfica de la hipérbola básica $y = \frac{1}{x}$ para obtenerla.
Determina los valores del parámetro real $m$ para los cuales la recta de ecuación $y = mx$ interseca a la curva racional $y = \frac{1}{x-2}$ en exactamente un único…
Determina los valores del parámetro real $m$ para los cuales la recta de ecuación $y = mx$ interseca a la curva racional $y = \frac{1}{x-2}$ en exactamente un único punto. Interpreta geométricamente qué representan esas rectas específicas para la curva.
Composición e inversa de una función racional
Composición
Función inversa
Si $f\circ f^{-1}$ da $x$, la inversa «deshace» a $f$. Para hallarla se despeja $x$ en $y=f(x)$ y después se intercambian los nombres de las variables.
Calcula la expresión analítica de la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$ y especifica cuál es el dominio de esta nueva función $f^{-1}(x)$.
Calcula la expresión analítica de la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$ y especifica cuál es el dominio de esta nueva función $f^{-1}(x)$.
Sea la función racional $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$. Demuestra analíticamente que la función compuesta $(f \circ f)(x) = x$ para todo valor de $x$ perteneciente a su…
Sea la función racional $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$. Demuestra analíticamente que la función compuesta $(f \circ f)(x) = x$ para todo valor de $x$ perteneciente a su dominio. ¿Qué conclusión geométrica sobre la gráfica de $f(x)$ puedes extraer de este resultado en relación con la recta bisectriz $y = x$?
Funciones racionales en contexto
Muchas magnitudes se reparten entre una cantidad variable: un costo fijo entre unidades producidas, una masa de sal entre un volumen que crece, una dosis entre el tiempo transcurrido. Todas son funciones racionales, y su asíntota horizontal tiene un significado concreto: el valor al que tiende la magnitud por mucho que avance el proceso.
El costo medio de producción (en pesos) de $x$ unidades de un componente electrónico está dado por la función $C_m(x) = \frac{100\,000 + 600x}{x}$. Calculá el costo…
El costo medio de producción (en pesos) de $x$ unidades de un componente electrónico está dado por la función $C_m(x) = \frac{100\,000 + 600x}{x}$. Calculá el costo medio de fabricar 100 unidades y determiná el valor hacia el que tiende el costo medio si la producción se hace infinitamente grande, interpretando el resultado en el contexto del problema.
Un depósito contiene inicialmente 500 litros de agua pura. Se empieza a bombear una solución salina con una concentración de 40 g/L a un ritmo de 10 L/min. La…
Un depósito contiene inicialmente 500 litros de agua pura. Se empieza a bombear una solución salina con una concentración de 40 g/L a un ritmo de 10 L/min. La concentración de sal en el tanque tras $t$ minutos viene dada por la función $C(t) = \frac{400t}{500+10t}$. ¿En qué instante la concentración será exactamente de 25 g/L? ¿Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal de esta función y qué significado físico tiene?
Dos operarios trabajan juntos para pintar un muro. El operario más joven tardaría $x$ horas en hacerlo trabajando solo, mientras que el operario de mayor edad tardaría…
Dos operarios trabajan juntos para pintar un muro. El operario más joven tardaría $x$ horas en hacerlo trabajando solo, mientras que el operario de mayor edad tardaría $x+3$ horas. El tiempo total $T(x)$ que tardan si trabajan simultáneamente viene dado por la función $T(x) = \frac{x(x+3)}{2x+3}$. Si trabajando juntos logran terminar el trabajo en exactamente 2 horas, ¿cuánto tiempo habría tardado el operario joven en pintar el muro él solo?
La concentración $C(t)$ de un fármaco en el torrente sanguíneo $t$ horas después de su administración intramuscular viene dada por la expresión…
La concentración $C(t)$ de un fármaco en el torrente sanguíneo $t$ horas después de su administración intramuscular viene dada por la expresión $C(t) = \frac{30t}{t^2+9}$ (medida en mg/L). Sin utilizar herramientas de derivación, demuestra de forma puramente algebraica que la concentración máxima nunca puede superar los $5$ mg/L y determina en qué instante exacto $t$ se alcanza dicha concentración máxima. (Sugerencia: Plantea la igualdad $C = \frac{30t}{t^2+9}$ como una ecuación de segundo grado en la variable $t$ y analiza la condición que debe cumplir su discriminante para que el tiempo sea un número real).
Volvé al principio: el costo medio de los cajones se acerca a su asíntota horizontal (el costo variable por unidad) pero nunca la alcanza.