Inecuaciones racionales
Una fábrica de Canelones produce componentes electrónicos y quiere que el costo medio por unidad baje de cierto valor. Ese costo es una fracción donde la incógnita está en el denominador. ¿Se puede "quitar" el denominador multiplicando, como hacés en una ecuación? Veamos por qué no, y qué hacer en su lugar. Al final volvemos a esta fábrica.
Por qué no se multiplica en cruz
En una inecuación, multiplicar por una expresión negativa invierte la desigualdad. Si el denominador tiene la incógnita, no sabés de antemano si es positivo o negativo.
Resuelve la siguiente inecuación racional expresando su solución en forma de intervalo: $\frac{x-4}{x+3} > 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional expresando su solución en forma de intervalo:
$\frac{x-4}{x+3} > 0$
Resuelve la inecuación: $\frac{x}{x-5} < 0$
Resuelve la inecuación:
$\frac{x}{x-5} < 0$
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación: $\frac{2x+6}{x-1} \le 0$
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación:
$\frac{2x+6}{x-1} \le 0$
El denominador nunca vale cero
Mirá la gráfica de $\frac{x-4}{x+3}$: es positiva donde la curva está sobre el eje $x$, cambia de signo en la raíz $x=4$ y salta en $x=-3$, donde no existe.
Determina los valores de $x$ que verifican: $\frac{4}{x-6} \le 0$
Determina los valores de $x$ que verifican:
$\frac{4}{x-6} \le 0$
Resuelve la siguiente inecuación: $\frac{x^2-9}{x+1} > 0$
Resuelve la siguiente inecuación:
$\frac{x^2-9}{x+1} > 0$
Resuelve la inecuación racional, prestando especial atención a las raíces múltiples del numerador: $\frac{x^2-6x+9}{x+4} \le 0$
Resuelve la inecuación racional, prestando especial atención a las raíces múltiples del numerador:
$\frac{x^2-6x+9}{x+4} \le 0$
Cuando hay un término en el otro miembro
Si la inecuación es $\frac{P(x)}{Q(x)}\gtrless k$ con $k\neq0$, o tiene fracciones en los dos lados, el primer paso es pasar todo a un miembro y reducir a una sola fracción. La tabla de signos solo compara contra cero.
Encuentra el conjunto solución de la inecuación: $\frac{x+3}{x-2} \ge 2$
Encuentra el conjunto solución de la inecuación:
$\frac{x+3}{x-2} \ge 2$
Determina el conjunto de valores que satisfacen la siguiente desigualdad entre fracciones algebraicas: $\frac{1}{x+1} < \frac{1}{x-3}$
Determina el conjunto de valores que satisfacen la siguiente desigualdad entre fracciones algebraicas:
$\frac{1}{x+1} < \frac{1}{x-3}$
Encuentra el conjunto solución de la siguiente inecuación racional: $\frac{x+2}{x-1} \le \frac{x-4}{x+2}$
Encuentra el conjunto solución de la siguiente inecuación racional:
$\frac{x+2}{x-1} \le \frac{x-4}{x+2}$
Numeradores y denominadores de grado mayor
Cuando el numerador o el denominador tienen grado 2 o más, hay que factorizarlos (fórmula resolvente, productos notables, Ruffini) para conocer todas las raíces. Después el método es el mismo, con más tramos.
Resuelve la siguiente inecuación racional y expresa la solución mediante intervalos: $\frac{x^2-5x+6}{x^2-1} \le 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional y expresa la solución mediante intervalos:
$\frac{x^2-5x+6}{x^2-1} \le 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional en la que el numerador es un polinomio de tercer grado: $\frac{x^3-8}{x^2-2x-3} \ge 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional en la que el numerador es un polinomio de tercer grado:
$\frac{x^3-8}{x^2-2x-3} \ge 0$
Resuelve la inecuación racional, factorizando previamente los polinomios del numerador y denominador: $\frac{x^4-16}{x^3-2x^2} \le 0$
Resuelve la inecuación racional, factorizando previamente los polinomios del numerador y denominador:
$\frac{x^4-16}{x^3-2x^2} \le 0$
Factores sin raíces reales
A veces un factor como $t^2+4$ no tiene raíces reales. Entonces nunca cambia de signo: como $t^2+4>0$ para todo $t$, no hace falta ponerlo en la tabla; basta con saber que es positivo. Se reconoce porque el discriminante $\Delta=b^2-4ac$ es negativo.
La tasa de crecimiento de una población bacteriana (en miles de bacterias por hora) en función del tiempo $t$ (en horas) está dada por la función…
La tasa de crecimiento de una población bacteriana (en miles de bacterias por hora) en función del tiempo $t$ (en horas) está dada por la función $R(t) = \frac{t^2-16}{t+2}$. ¿En qué intervalos de tiempo $t \ge 0$ la tasa de crecimiento es estrictamente positiva?
La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo, medida en mg/L, $t$ horas después de su administración viene dada por la función $C(t) = \frac{4t}{t^2+4}$.…
La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo, medida en mg/L, $t$ horas después de su administración viene dada por la función $C(t) = \frac{4t}{t^2+4}$. ¿Durante qué intervalo de tiempo $t \ge 0$ la concentración del fármaco es mayor o igual a $1$ mg/L?
Determina para qué valores del parámetro real $k$ la siguiente inecuación se cumple para todo $x \in \mathbb{R}$: $\frac{x^2-kx+9}{x^2+1} > 0$
Determina para qué valores del parámetro real $k$ la siguiente inecuación se cumple para todo $x \in \mathbb{R}$:
$\frac{x^2-kx+9}{x^2+1} > 0$
Problemas con contexto
Las funciones racionales modelan costo medio por unidad, tiempo en función de la velocidad, distancia de una imagen en una lente... Se traduce el enunciado a una inecuación racional y se resuelve con el mismo método, cuidando el dominio que impone el contexto: si $x$ es una cantidad de objetos o un tiempo, $x>0$ (o $x\ge 0$). Si hace falta, primero despejá la variable que te piden: en la lente, de $\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ sale $\frac{1}{q}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}$, y de ahí una expresión de $q$ en función de $p$.
El costo medio diario (en pesos) de producir $x$ componentes electrónicos en una fábrica viene dado por la expresión $C(x) = \frac{32\,000+600x}{x}$. Determiná para qué…
El costo medio diario (en pesos) de producir $x$ componentes electrónicos en una fábrica viene dado por la expresión $C(x) = \frac{32\,000+600x}{x}$. Determiná para qué niveles de producción el costo medio será estrictamente inferior a $1\,000$ pesos por componente.
El tiempo $T$ (en horas) que tarda una embarcación en recorrer una distancia de $120$ km a favor de la corriente se modeliza mediante $T(v) = \frac{120}{v+4}$, donde $v$…
El tiempo $T$ (en horas) que tarda una embarcación en recorrer una distancia de $120$ km a favor de la corriente se modeliza mediante $T(v) = \frac{120}{v+4}$, donde $v$ es la velocidad propia del barco en km/h. ¿Para qué velocidades $v > 0$ el trayecto se realizará en menos de $5$ horas?
En óptica, la ecuación de las lentes delgadas relaciona la distancia focal $f$, la distancia del objeto $p$ y la distancia de la imagen $q$ mediante la fórmula…
En óptica, la ecuación de las lentes delgadas relaciona la distancia focal $f$, la distancia del objeto $p$ y la distancia de la imagen $q$ mediante la fórmula $\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}$. Si se utiliza una lente con una distancia focal $f = 12$ cm, determina para qué distancias del objeto $p > 0$ la distancia de la imagen $q$ será mayor de $24$ cm.
Dominios con raíz, sistemas y gráficas
Un sistema de inecuaciones se resuelve inecuación por inecuación; la solución es la intersección de los conjuntos obtenidos. Algo parecido pasa con $f(x)=\sqrt{\frac{P(x)}{Q(x)}}$: su dominio es donde $\frac{P(x)}{Q(x)}\geq0$, porque no hay raíz cuadrada real de un número negativo.
La gráfica ayuda a justificar: la solución de $\frac{P(x)}{Q(x)}<0$ son las $x$ donde la curva está por debajo del eje $x$, y la de $>0$, donde está por encima. Los saltos de la curva marcan las raíces del denominador.
Determina el dominio de definición de la función de variable real $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+4x+3}}$.
Determina el dominio de definición de la función de variable real $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+4x+3}}$.
El índice de eficiencia térmica $E(r)$ de un sistema de refrigeración cilíndrico depende del radio $r$ (en metros) de los conductos según la función…
El índice de eficiencia térmica $E(r)$ de un sistema de refrigeración cilíndrico depende del radio $r$ (en metros) de los conductos según la función $E(r) = \frac{r^2-4r+3}{r^2-6r+8}$. Los ingenieros necesitan que este índice sea estrictamente negativo para que el sistema no se sobrecaliente. ¿Para qué valores del radio $r > 0$ el sistema es seguro? Apóyate en la representación gráfica de la función para justificar tu respuesta.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones racionales y expresa el resultado como unión de intervalos:…
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones racionales y expresa el resultado como unión de intervalos:
$\begin{cases} \frac{x-2}{x+3} \ge 0 \\ \frac{x^2-16}{x} \le 0 \end{cases}$