Signo de la función, puntos de corte y asíntotas de la función racional

Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de la función $f(x) = \frac{2x-6}{x+4}$.

La cantidad de un medicamento presente en el torrente sanguíneo, en miligramos, tras $t$ horas de su administración oral se modeliza mediante la función $M(t) = \frac{50t^2}{t^3+8}$. Estudia los puntos de corte con los ejes, el signo de la función para $t \geq 0$ y su comportamiento asintótico.

Un modelo demográfico establece que la tasa de crecimiento de una población, medida en porcentaje anual, viene dada por la función $T(x) = \frac{x^2-8x+15}{x^2+4}$, donde $x \geq 0$ es el tiempo transcurrido en décadas. Estudia el signo de $T(x)$ para determinar los periodos históricos de crecimiento y decrecimiento poblacional, y calcula la asíntota horizontal para interpretar la tendencia límite de la tasa a muy largo plazo.

Determina los intervalos en los que la función $f(x) = \frac{x-3}{x+2}$ toma valores estrictamente positivos.

Estudia analíticamente el signo de la función $f(x) = \frac{-2x}{x^2-4}$ en todo su dominio.

La concentración de un gas contaminante en una cámara de pruebas viene dada por la expresión $C(t) = \frac{5t}{t^2+4}$ partes por millón (ppm), con $t \geq 0$ medido en horas. Determina en qué instantes la concentración es nula, estudia el signo de $C(t)$ para interpretar su significado físico, y halla la asíntota horizontal indicando qué ocurre a largo plazo.

Encuentra el dominio de definición y las ecuaciones de las asíntotas verticales de la función $f(x) = \frac{x+7}{x^2-9}$.

Halla las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de la función $f(x) = \frac{x^3-8}{x^2-4}$. Presta especial atención a las posibles discontinuidades evitables al simplificar la expresión.

La deflexión de una viga apoyada, sometida a una carga variable, se puede aproximar mediante la función $D(x) = \frac{x^3-4x^2+3x}{x^2+1}$, donde $x$ es la distancia en metros medida desde el extremo izquierdo del apoyo. Determina los puntos donde la deflexión es nula, estudia el signo de $D(x)$ en el intervalo $x \in [0, 4]$ y calcula la ecuación de la asíntota oblicua de la función.

Halla las ecuaciones de las asíntotas vertical y horizontal de la función racional $f(x) = \frac{5x+1}{2x-4}$.

Calcula la ecuación de la asíntota oblicua de la función $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x-1}$.

Dada la función $f(x) = \frac{3x^2-2}{x^2+1}$, determina la ecuación de su asíntota horizontal evaluando los límites pertinentes cuando $x \to +\infty$ y $x \to -\infty$.

Calcula la ecuación de la asíntota oblicua de la función $f(x) = \frac{2x^2+1}{x-1}$ y estudia analíticamente la posición relativa de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

El costo total de producción de $x$ cientos de piezas de un componente electrónico es $C(x) = 120x^2+200x+480$ cientos de pesos. Si la función de costo medio por cien piezas se define como $C_m(x) = \frac{C(x)}{x}$, hallá la asíntota oblicua de $C_m(x)$ y explicá su significado económico para valores muy grandes de producción.

Dada la función racional $f(x) = \frac{x^3+kx^2+x-1}{x^2-1}$, halla el valor del parámetro $k$ para que la curva representativa de la función cruce a su propia asíntota oblicua en el punto de abscisa $x = 2$.

Estudia de forma completa las asíntotas y la posición relativa de la curva respecto a ellas para la función $f(x) = \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{x^2-2x+1}$. Ten en cuenta las posibles raíces múltiples que puedan aparecer en el denominador durante el cálculo de límites.

Observa la siguiente gráfica de una función racional y determina, a partir de ella, las ecuaciones de sus asíntotas y las coordenadas de sus puntos de corte con los ejes.

La población de una especie de alga en un estanque, medida en miles de individuos, evoluciona según la función $P(t) = \frac{120t+50}{2t+5}$, donde $t \geq 0$ es el tiempo transcurrido en días. Calcula la población inicial, el instante en que la población alcanza los $40$ mil individuos y el límite de la población a muy largo plazo (asíntota horizontal).

A partir de la gráfica de la función racional $f(x)$ que se muestra a continuación, deduce su expresión analítica sabiendo que es de la forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$.

Determina los valores numéricos de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que la función $f(x) = \frac{ax+3}{bx-2}$ posee una asíntota vertical en la recta $x = 1$ y una asíntota horizontal en la recta $y = 4$.

Encuentra los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ para que la función racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x+2}$ posea una asíntota oblicua de ecuación $y = 3x - 1$ y cruce el eje de abscisas exactamente en el punto $x = 1$.

Discute, en función de los valores del parámetro real $k$, el número y tipo de asíntotas verticales que presenta la función $f(x) = \frac{x^2-x-2}{x^2-k}$. Determina también para qué valor exacto de $k$ la función presenta una discontinuidad evitable.

La eficiencia de un ciclo térmico modificado, en función de una relación de compresión $v > 1$, viene dada por el modelo $E(v) = \frac{v^2-3v+2}{v^2+v}$. Analiza el signo de la eficiencia para determinar en qué rango de $v$ el ciclo produce trabajo útil (es decir, cuando $E(v) > 0$) y halla la eficiencia límite teórica cuando $v \to +\infty$.

La siguiente gráfica muestra una función racional que posee una asíntota oblicua y una asíntota vertical. Sabiendo que la función es de la forma $f(x) = \frac{x^2+ax+b}{x+c}$, analiza sus elementos visuales (asíntotas y cortes) para determinar el valor de los coeficientes $a$, $b$ y $c$.