Discusión de un sistema de dos ecuaciones
Dos drones sobrevuelan la rambla de Montevideo siguiendo trayectorias rectas. Según la intensidad $v$ del viento, las rectas cambian: a veces se cruzan en un único punto, a veces van paralelas y a veces coinciden. Discutir un sistema es responder a esa pregunta para todos los valores de $v$ a la vez, sin resolver el sistema valor por valor.
Qué es discutir y cómo se hace
Recordá la clasificación de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y su significado geométrico:
Para decidir en qué caso estamos sin dividir entre expresiones que podrían valer cero, usamos el determinante del sistema.
Discute, en función del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $x - 2y = 3$ $mx + 4y = -6$
Discute, en función del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$x - 2y = 3$
$mx + 4y = -6$
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema sea incompatible: $3x + ky = 5$ $6x - 4y = 2$
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema sea incompatible:
$3x + ky = 5$
$6x - 4y = 2$
Determina para qué valores del parámetro $a$ el siguiente sistema tiene una solución única $(x, y)$ tal que el punto de intersección de ambas rectas se encuentre…
Determina para qué valores del parámetro $a$ el siguiente sistema tiene una solución única $(x, y)$ tal que el punto de intersección de ambas rectas se encuentre exactamente sobre el eje de ordenadas ($x=0$):
$ax + 3y = 6$
$2x - ay = a$
Valores especiales y los dos casos de $D=0$
Los valores «especiales» del parámetro son las raíces de $D=0$. Suele salir una ecuación de segundo grado, así que puede haber dos valores. Cada uno se estudia por separado.
Encuentra los valores del parámetro $b$ para los cuales el siguiente sistema es compatible determinado: $x + by = 2$ $bx + y = 2$
Encuentra los valores del parámetro $b$ para los cuales el siguiente sistema es compatible determinado:
$x + by = 2$
$bx + y = 2$
Discute el sistema dependiente del parámetro $c$: $cx - 2y = 1$ $x - cy = 2$
Discute el sistema dependiente del parámetro $c$:
$cx - 2y = 1$
$x - cy = 2$
Discute, en función del parámetro $k$, el siguiente sistema de ecuaciones: $(k+1)x + y = 2$ $kx + (k-1)y = 1$
Discute, en función del parámetro $k$, el siguiente sistema de ecuaciones:
$(k+1)x + y = 2$
$kx + (k-1)y = 1$
Cuando hay infinitas soluciones
Si un valor especial hace el sistema compatible indeterminado, la solución son todos los puntos de la recta común. Se expresa con un parámetro libre $\lambda$: se elige una incógnita como $\lambda$ y la otra se despeja.
Halla el valor de $a$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones. Escribe la solución general en ese caso. $2x - y = a$ $-4x + 2y = 8$
Halla el valor de $a$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones. Escribe la solución general en ese caso.
$2x - y = a$
$-4x + 2y = 8$
Discute el siguiente sistema y, en los casos en que sea compatible indeterminado, expresa las infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:…
Discute el siguiente sistema y, en los casos en que sea compatible indeterminado, expresa las infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:
$mx + (m+1)y = m$
$mx + 2my = 2$
Discute el sistema en función del parámetro $m$: $x + y = m$ $m^2 x + y = m^2$
Discute el sistema en función del parámetro $m$:
$x + y = m$
$m^2 x + y = m^2$
Interpretación geométrica: posición de dos rectas
Cada ecuación $ax+by=c$ es una recta. Discutir el sistema es lo mismo que decidir la posición relativa de las dos rectas.
| Posición | $D$ | Sistema |
|---|---|---|
| Secantes (se cortan en un punto) | $D\neq0$ | Compatible determinado |
| Paralelas distintas | $D=0$ y no proporcionales con $c$ | Incompatible |
| Coincidentes | $D=0$ y proporcionales con $c$ | Compatible indeterminado |
Probá con las rectas $y = mx+1$ e $y = 2x-1$. Movés el deslizador $m$ y mirá cuándo son paralelas:
Discute la posición relativa de las rectas $r: px + 3y = 1$ y $s: 2x + py = 0$ en función del parámetro $p$.
Discute la posición relativa de las rectas $r: px + 3y = 1$ y $s: 2x + py = 0$ en función del parámetro $p$.
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $3x - 2y = 4$ $x + y = m$ ¿Existe algún valor del parámetro $m$ para el cual el sistema sea incompatible? Justifica tu…
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$3x - 2y = 4$
$x + y = m$
¿Existe algún valor del parámetro $m$ para el cual el sistema sea incompatible? Justifica tu respuesta matemáticamente.
Dos cables de alta tensión se modelan en un plano mediante las rectas $r: 2x + (k-2)y = k$ y $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discute la posición relativa de los cables en función…
Dos cables de alta tensión se modelan en un plano mediante las rectas $r: 2x + (k-2)y = k$ y $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discute la posición relativa de los cables en función del parámetro $k$ para evitar posibles cortocircuitos.
El parámetro en un problema con contexto
El parámetro puede ser la intensidad del viento, una resistencia, una concentración o un impuesto. La discusión matemática es idéntica; después hay que interpretar el resultado en la situación.
Dos drones de vigilancia siguen trayectorias rectilíneas descritas por el siguiente sistema, donde $v$ es un parámetro relacionado con la velocidad del viento:…
Dos drones de vigilancia siguen trayectorias rectilíneas descritas por el siguiente sistema, donde $v$ es un parámetro relacionado con la velocidad del viento:
$vx + 2y = 4$
$2x + vy = v$
Discute para qué valores de $v$ las trayectorias de los drones se cruzan en un único punto, son paralelas o coinciden exactamente.
En una planta química, se mezclan dos soluciones líquidas. Las ecuaciones que modelan el balance de masa del proceso dependen de la concentración $c$ de un reactivo…
En una planta química, se mezclan dos soluciones líquidas. Las ecuaciones que modelan el balance de masa del proceso dependen de la concentración $c$ de un reactivo específico:
$cx + 4y = c^2$
$x + cy = 2$
Discute la compatibilidad del sistema en función de la concentración $c$.
En un circuito eléctrico, las intensidades $I_1$ e $I_2$ cumplen el siguiente sistema dependiente de una resistencia variable $R$: $R I_1 + (R+1) I_2 = 2R$…
En un circuito eléctrico, las intensidades $I_1$ e $I_2$ cumplen el siguiente sistema dependiente de una resistencia variable $R$:
$R I_1 + (R+1) I_2 = 2R$
$(R-1) I_1 + R I_2 = R^2$
Discute la existencia y unicidad de las intensidades en función del valor de la resistencia $R$.
Dos parámetros y coeficientes con funciones
Si aparecen dos parámetros, el método es el mismo: $D$ depende de ambos y las condiciones se expresan como relaciones entre ellos.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros $a$ y $b$: $ax + y = b$ $x + ay = 2$
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros $a$ y $b$:
$ax + y = b$
$x + ay = 2$
Discute el sistema en función de los parámetros $m$ y $n$: $mx + ny = 1$ $nx + my = 1$ Determina las condiciones exactas sobre $m$ y $n$ para que el sistema sea…
Discute el sistema en función de los parámetros $m$ y $n$:
$mx + ny = 1$
$nx + my = 1$
Determina las condiciones exactas sobre $m$ y $n$ para que el sistema sea incompatible.
Discute el siguiente sistema lineal con parámetro $\alpha \in [0, 2\pi]$: $(\sin \alpha) x + (\cos \alpha) y = 1$ $(\cos \alpha) x - (\sin \alpha) y = 0$ ¿Existe algún…
Discute el siguiente sistema lineal con parámetro $\alpha \in [0, 2\pi]$:
$(\sin \alpha) x + (\cos \alpha) y = 1$
$(\cos \alpha) x - (\sin \alpha) y = 0$
¿Existe algún valor de $\alpha$ para el cual el sistema no sea compatible determinado? Justifica tu respuesta matemáticamente.
Recta y curva: cuántos puntos de intersección hay
Si una de las ecuaciones no es lineal (una parábola o una circunferencia), el método cambia. Se sustituye una ecuación en la otra y queda una ecuación de segundo grado. Cada solución real es un punto de intersección, y el número de soluciones lo da el discriminante $\Delta=b^2-4ac$ de la fórmula resolvente.
| $\Delta$ | Soluciones reales | Recta y curva |
|---|---|---|
| $\Delta>0$ | 2 | Secante (dos puntos) |
| $\Delta=0$ | 1 | Tangente (un punto) |
| $\Delta<0$ | 0 | Sin puntos en común |
La trayectoria de un proyectil sigue una parábola descrita por la ecuación $y = -x^2 + 4x$, mientras que un haz láser de defensa sigue la recta $y = mx$. Discute el…
La trayectoria de un proyectil sigue una parábola descrita por la ecuación $y = -x^2 + 4x$, mientras que un haz láser de defensa sigue la recta $y = mx$. Discute el número de puntos de intersección entre el proyectil y el láser en función del parámetro $m$ (que representa la pendiente del láser).
Discute la compatibilidad del siguiente sistema no lineal en función del parámetro $k$: $x^2 - y^2 = k$ $x + y = 2$
Discute la compatibilidad del siguiente sistema no lineal en función del parámetro $k$:
$x^2 - y^2 = k$
$x + y = 2$
Un satélite orbita siguiendo una trayectoria circular modelada en el plano por la ecuación $x^2 + y^2 = 4$. Un cometa se desplaza en línea recta según la ecuación…
Un satélite orbita siguiendo una trayectoria circular modelada en el plano por la ecuación $x^2 + y^2 = 4$. Un cometa se desplaza en línea recta según la ecuación $x + y = c$, donde $c$ es un parámetro que depende de su posición inicial. Discute el número de puntos de colisión entre el satélite y el cometa en función de $c$.
Volvé al principio: para los drones de la rambla, calculás el determinante $D$ del sistema en función del viento $v$. Si $D\neq0$ se cruzan en un punto; los valores que anulan $D$ se sustituyen aparte para ver si las trayectorias coinciden o son paralelas.