Factorización de polinomios
En el liceo hay que armar un cuadro de turnos y alguien dice que la expresión $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$ «se lee sola»: vale cero exactamente cuando $x=0$, $x=-5$ o $x=4$. Factorizar un polinomio es desarmarlo en piezas simples, y así resolver ecuaciones de grado alto se vuelve fácil. En esta página juntamos todas las técnicas (factor común, productos notables, fórmula resolvente, Ruffini) en un único procedimiento. Al final vas a poder responder: ¿por qué un factor como $x^2+4$ no se puede romper más?
Factor común y productos notables
Factorizar siempre empieza igual: sacar todo el factor común posible. Después, si lo que queda es un producto notable (por ejemplo una diferencia de cuadrados) o un polinomio de segundo grado, se resuelve con la fórmula resolvente (fórmula de Bhaskara).
Extraé factor común y utilizá los productos notables para factorizar al máximo el siguiente polinomio: $P(x) = 3x^5 - 12x^3$
Extraé factor común y utilizá los productos notables para factorizar al máximo el siguiente polinomio:
$P(x) = 3x^5 - 12x^3$
Factoriza el polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada.
Factoriza el polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada.
Comprueba, utilizando el Teorema del Resto, si $x = -1$ es raíz del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En caso afirmativo, extrae el factor correspondiente.
Comprueba, utilizando el Teorema del Resto, si $x = -1$ es raíz del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En caso afirmativo, extrae el factor correspondiente.
Factorización completa y raíces múltiples
Factorizar «completamente» (en $\mathbb{R}$) es repetir factor común, productos notables y Ruffini hasta que todos los factores sean de grado $1$ o de grado $2$ sin raíces reales. Si una raíz se repite, es una raíz múltiple y su multiplicidad es el número de veces que aparece.
Cuando se encuentra una raíz $r$ (es decir, $P(r)=0$), el teorema del resto dice que el resto de dividir $P(x)$ por $(x-r)$ es $P(r)=0$. Por lo tanto $(x-r)$ es factor: por eso Ruffini con $r$ da resto cero y un cociente de un grado menos.
Indica cuáles son las raíces del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ y sus respectivas multiplicidades. Justifica por qué este polinomio no tiene más raíces reales.
Indica cuáles son las raíces del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ y sus respectivas multiplicidades. Justifica por qué este polinomio no tiene más raíces reales.
Factoriza el siguiente polinomio de tercer grado sabiendo que una de sus raíces es $x = 2$: $P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$
Factoriza el siguiente polinomio de tercer grado sabiendo que una de sus raíces es $x = 2$:
$P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$
Hallá las raíces enteras del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante la regla de Ruffini y expresalo en su forma factorizada.
Hallá las raíces enteras del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante la regla de Ruffini y expresalo en su forma factorizada.
Bicuadrados y diferencias de cuadrados sucesivas
Un polinomio bicuadrado solo tiene términos de grado $4$, $2$ y $0$ ($ax^4+bx^2+c$). Se factoriza como uno de segundo grado, con la variable auxiliar $t=x^2$. Y una diferencia de cuadrados puede aplicarse dos veces seguidas si el resultado vuelve a serlo.
Escribe en forma factorizada el polinomio $P(x) = x^4 - 81$ aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados de forma sucesiva.
Escribe en forma factorizada el polinomio $P(x) = x^4 - 81$ aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados de forma sucesiva.
Factoriza completamente el polinomio bicuadrado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
Factoriza completamente el polinomio bicuadrado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
Factorizá el polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizando productos notables y extrayendo factores comunes, sin necesidad de desarrollar todo el polinomio…
Factorizá el polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizando productos notables y extrayendo factores comunes, sin necesidad de desarrollar todo el polinomio primero.
Raíces racionales: cuando el coeficiente principal no es 1
Si el coeficiente principal no es $1$, además de los divisores del término independiente hay que probar fracciones.
¿Por qué? Si $\frac pq$ (irreducible) es raíz y multiplicás todo por $q^n$, queda $a_np^n+\dots+a_0q^n=0$. Todos los términos menos $a_0q^n$ tienen factor $p$, así que $p$ divide a $a_0$; del mismo modo todos menos $a_np^n$ tienen factor $q$, así que $q$ divide a $a_n$.
Factoriza el polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Ten en cuenta que algunas de sus raíces pueden ser números fraccionarios.
Factoriza el polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Ten en cuenta que algunas de sus raíces pueden ser números fraccionarios.
Un biólogo modela el crecimiento y decrecimiento de una población de bacterias mediante el polinomio $N(t) = -t^4 + 10t^3 - 35t^2 + 50t - 24$, donde $t$ es el tiempo en…
Un biólogo modela el crecimiento y decrecimiento de una población de bacterias mediante el polinomio $N(t) = -t^4 + 10t^3 - 35t^2 + 50t - 24$, donde $t$ es el tiempo en horas. Factoriza el polinomio para determinar en qué instantes exactos la población se anula.
En un estudio de economía, la curva de beneficio marginal de una empresa tecnológica se ajusta al polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, donde $x$…
En un estudio de economía, la curva de beneficio marginal de una empresa tecnológica se ajusta al polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, donde $x$ representa la inversión en I+D en millones de pesos. Factorizá el polinomio para encontrar los puntos de equilibrio exactos (incluyendo raíces fraccionarias).
Factores irreducibles de segundo grado
No todo polinomio se descompone en factores de grado $1$ con coeficientes reales. Cuando queda un factor de segundo grado con discriminante $\Delta<0$, es irreducible en $\mathbb{R}$ y ahí se detiene la factorización. Ese factor equivale a un par de raíces complejas conjugadas: por ejemplo $x^2+4=(x-2i)(x+2i)$, que vas a ver con los números complejos. Así se cierra la pregunta del comienzo: $x^2+4$ no se rompe más porque sus raíces no son reales.
A veces, sumando y restando un término auxiliar, aparecen dos factores de segundo grado que a simple vista no se veían.
Demuestra que el polinomio $P(x) = x^4 + 4$ no tiene raíces reales. A continuación, factorízalo como el producto de dos polinomios de segundo grado. Pista: Suma y resta…
Demuestra que el polinomio $P(x) = x^4 + 4$ no tiene raíces reales. A continuación, factorízalo como el producto de dos polinomios de segundo grado. Pista: Suma y resta $4x^2$ a la expresión para forzar la aparición de una diferencia de cuadrados.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica claramente cuáles son sus raíces reales y la multiplicidad de cada una de ellas.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica claramente cuáles son sus raíces reales y la multiplicidad de cada una de ellas.
Parámetros y problemas
Cuando un polinomio tiene un parámetro y una condición de divisibilidad, primero se halla el parámetro (con el teorema del resto) y después se factoriza con todos los coeficientes ya conocidos. Otras veces se dan algunas raíces y datos, y hay que reconstruir el polinomio.
Determina el valor del parámetro $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sea divisible por el binomio $x - 2$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza…
Determina el valor del parámetro $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sea divisible por el binomio $x - 2$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza completamente el polinomio en el conjunto de los números reales.
El volumen de una caja rectangular en función de su longitud $x$ viene dado por la expresión polinómica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoriza $V(x)$ para encontrar las…
El volumen de una caja rectangular en función de su longitud $x$ viene dado por la expresión polinómica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoriza $V(x)$ para encontrar las expresiones algebraicas más simples que representan las tres dimensiones de la caja.
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sea divisible por el polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. A…
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sea divisible por el polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. A continuación, factoriza $P(x)$ al máximo.
Fracciones algebraicas
Factorizar también sirve para simplificar fracciones algebraicas: se factoriza numerador y denominador y se cancelan los factores comunes (siempre que no sean cero). Y para sumar o restar fracciones se factorizan los denominadores: el denominador común es el producto de todos los factores distintos, cada uno con su mayor exponente.
Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador al máximo: $\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$
Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador al máximo:
$\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$
Simplifica la siguiente expresión algebraica, que representa la impedancia equivalente en un circuito complejo, factorizando al máximo cada polinomio en los numeradores…
Simplifica la siguiente expresión algebraica, que representa la impedancia equivalente en un circuito complejo, factorizando al máximo cada polinomio en los numeradores y denominadores:
$\frac{2x^3 - 7x^2 + 7x - 2}{2x^3 - x^2 - 8x + 4} - \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$