Ecuaciones irracionales
Parada en la Rambla de Montevideo, Valentina mira el horizonte y se pregunta a qué altura tendría que subirse para ver 12 km de distancia. La fórmula aproximada es $d = 3{,}57\sqrt{h}$, con $d$ en km y $h$ en metros. Para despejar $h$ hay que deshacer una raíz, y al hacerlo aparece un riesgo: ganar soluciones que no existían. Al final de la página volvemos a esta pregunta.
El método: aislar, elevar y comprobar
¿Por qué hay que comprobar? Elevar al cuadrado no es reversible: $(-3)^2$ y $3^2$ valen lo mismo. La ecuación nueva puede tener soluciones que la original no tiene.
En el gráfico se cortan la curva $y = \sqrt{x+6}$ y la recta $y = x$: hay un solo punto de corte, en $x = 3$. El valor $x = -2$ que apareció al resolver no es un punto de corte.
Resuelve la siguiente ecuación irracional y comprueba la validez de su solución: $\sqrt{4x + 9} = 5$
Resuelve la siguiente ecuación irracional y comprueba la validez de su solución:
$\sqrt{4x + 9} = 5$
Resuelve la ecuación irracional aislando el radical y elevando al cuadrado. Presta especial atención a las posibles soluciones falsas: $\sqrt{2x + 15} = x$
Resuelve la ecuación irracional aislando el radical y elevando al cuadrado. Presta especial atención a las posibles soluciones falsas:
$\sqrt{2x + 15} = x$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación, comprobando obligatoriamente los resultados obtenidos para descartar soluciones extrañas: $x - \sqrt{2x - 1} = 2$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación, comprobando obligatoriamente los resultados obtenidos para descartar soluciones extrañas:
$x - \sqrt{2x - 1} = 2$
Índices y radicandos con fracciones
Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación con una raíz cúbica: $\sqrt[3]{3x - 5} = 2$
Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación con una raíz cúbica:
$\sqrt[3]{3x - 5} = 2$
Despeja la incógnita $x$ en la ecuación irracional que contiene una fracción en su radicando: $\sqrt{\frac{5x - 1}{3}} = 3$
Despeja la incógnita $x$ en la ecuación irracional que contiene una fracción en su radicando:
$\sqrt{\frac{5x - 1}{3}} = 3$
Radicando cuadrático e igualación de radicandos
Si los dos miembros son raíces del mismo índice, basta con igualar los radicandos. Si un radicando es un trinomio, queda una ecuación de segundo grado, que ya sabés resolver.
Determina las posibles soluciones de la ecuación de segundo grado bajo el radical: $\sqrt{x^2 - 3x + 6} = 2$
Determina las posibles soluciones de la ecuación de segundo grado bajo el radical:
$\sqrt{x^2 - 3x + 6} = 2$
Halla la solución igualando los radicandos de la siguiente ecuación: $\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x + 8}$
Halla la solución igualando los radicandos de la siguiente ecuación:
$\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x + 8}$
Dos radicales: elevar dos veces
Resuelve la ecuación con dos radicales aislándolos adecuadamente en miembros distintos antes de elevar al cuadrado: $\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5$
Resuelve la ecuación con dos radicales aislándolos adecuadamente en miembros distintos antes de elevar al cuadrado:
$\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5$
Resuelve la siguiente ecuación que involucra la diferencia de dos raíces cuadradas. Aísla una de las raíces antes de elevar al cuadrado:…
Resuelve la siguiente ecuación que involucra la diferencia de dos raíces cuadradas. Aísla una de las raíces antes de elevar al cuadrado:
$\sqrt{3x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$
Resuelve la siguiente ecuación irracional aislando estratégicamente los radicales y verificando las soluciones al final: $\sqrt{2x + 5} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x + 2}$
Resuelve la siguiente ecuación irracional aislando estratégicamente los radicales y verificando las soluciones al final:
$\sqrt{2x + 5} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x + 2}$
Tres radicales, radicales anidados y cocientes
El método es el mismo, con más cuidado. Comprobá todas las candidatas al final.
Resuelve la siguiente ecuación irracional que contiene tres radicales. Asegúrate de comprobar las soluciones obtenidas al final del proceso:…
Resuelve la siguiente ecuación irracional que contiene tres radicales. Asegúrate de comprobar las soluciones obtenidas al final del proceso:
$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3x + 4}$
Encuentra las soluciones reales de la ecuación con radicales anidados: $\sqrt{x + \sqrt{x - 2}} = 2$
Encuentra las soluciones reales de la ecuación con radicales anidados:
$\sqrt{x + \sqrt{x - 2}} = 2$
Resolvé la siguiente ecuación irracional. Podés racionalizar previamente el denominador, o bien multiplicar cruzado y agrupar términos inteligentemente para facilitar el…
Resolvé la siguiente ecuación irracional. Podés racionalizar previamente el denominador, o bien multiplicar cruzado y agrupar términos inteligentemente para facilitar el cálculo:
$\frac{\sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 3}} = 2$
Cambio de variable
Resuelve la siguiente ecuación irracional realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $t = \sqrt{x}$): $x - 7\sqrt{x} + 10 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación irracional realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $t = \sqrt{x}$):
$x - 7\sqrt{x} + 10 = 0$
Dominio y parámetro: razonar sin resolver
Antes de elevar nada, mirá el dominio: cada radicando de una raíz cuadrada debe ser $\ge 0$. A veces eso alcanza para concluir.
Discute de forma razonada para qué valores del parámetro real $k > 0$, la ecuación $\sqrt{x + k} = x$ tiene exactamente una única solución real válida.
Discute de forma razonada para qué valores del parámetro real $k > 0$, la ecuación $\sqrt{x + k} = x$ tiene exactamente una única solución real válida.
Aplicaciones en geometría
En geometría las raíces aparecen con Pitágoras y con la distancia entre dos puntos, $d(A,B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Acá la comprobación incluye pedir que las medidas sean positivas.
La diagonal $d$ de un rectángulo se puede calcular a partir de sus lados $b$ y $h$ usando el teorema de Pitágoras: $d = \sqrt{b^2 + h^2}$. Si sabemos que la diagonal…
La diagonal $d$ de un rectángulo se puede calcular a partir de sus lados $b$ y $h$ usando el teorema de Pitágoras: $d = \sqrt{b^2 + h^2}$. Si sabemos que la diagonal mide $13$ cm y uno de sus lados mide $5$ cm, plantea la ecuación irracional correspondiente y calcula la longitud del otro lado.
La distancia entre los puntos $A(2, -1)$ y $B(x, 3)$ en el plano cartesiano es exactamente de $5$ unidades. Plantea la ecuación irracional correspondiente a la distancia…
La distancia entre los puntos $A(2, -1)$ y $B(x, 3)$ en el plano cartesiano es exactamente de $5$ unidades. Plantea la ecuación irracional correspondiente a la distancia entre dos puntos y calcula las posibles coordenadas $x$ del punto $B$.
Un ingeniero diseña una rampa de carga para un almacén logístico. La base horizontal mide $x$ metros y la altura mide $2$ metros menos que la base. Si la longitud de la…
Un ingeniero diseña una rampa de carga para un almacén logístico. La base horizontal mide $x$ metros y la altura mide $2$ metros menos que la base. Si la longitud de la rampa (la hipotenusa) viene dada por la expresión $\sqrt{2x^2 - 4x + 4}$ y se requiere que mida exactamente $\sqrt{34}$ metros, plantea la ecuación irracional y determina las dimensiones reales de la rampa.
Fórmulas con radicales
Muchas fórmulas de Física traen una raíz. Para despejar la variable que está dentro, se aísla la raíz y se eleva.
En cinemática, el tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer libremente desde una altura $h$ (en metros) viene dado por la fórmula $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$.…
En cinemática, el tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer libremente desde una altura $h$ (en metros) viene dado por la fórmula $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula desde qué altura se dejó caer una piedra si tardó exactamente $4$ segundos en llegar al suelo.
El periodo $T$ de un péndulo simple (el tiempo que tarda en realizar una oscilación completa) se calcula mediante la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es…
El periodo $T$ de un péndulo simple (el tiempo que tarda en realizar una oscilación completa) se calcula mediante la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del hilo en metros y $g = 9,8 \text{ m/s}^2$ es la aceleración de la gravedad. Si un reloj de péndulo en una exposición científica tiene un periodo exacto de $2,5$ segundos, averigua la longitud de su péndulo. Utiliza la aproximación $\pi \approx 3,14$.
La distancia $d$ en kilómetros a la que se encuentra el horizonte para un observador situado a una altura $h$ en metros sobre el nivel del mar se aproxima de forma…
La distancia $d$ en kilómetros a la que se encuentra el horizonte para un observador situado a una altura $h$ en metros sobre el nivel del mar se aproxima de forma simplificada mediante la fórmula $d = 3,57\sqrt{h}$. Si un vigía en la cofa de un barco pirata avista tierra a una distancia de $15$ km, ¿a qué altura se encuentra aproximadamente?
Modelos con raíces
Una función con raíz sirve para modelar costos, tiempos o factores físicos. Dado un valor de la función, hallar la variable es una ecuación irracional.
En una fábrica de componentes electrónicos, el costo de producción diario $C(x)$ en pesos en función de $x$ unidades fabricadas se modeliza mediante la función…
En una fábrica de componentes electrónicos, el costo de producción diario $C(x)$ en pesos en función de $x$ unidades fabricadas se modeliza mediante la función $C(x) = 10\,000 + 600\sqrt{x - 50}$. Si en un día determinado el costo de producción fue exactamente de $34\,000$ pesos, ¿cuántas unidades se fabricaron?
Según la Teoría de la Relatividad Especial de Einstein, el factor de Lorentz $\gamma$ determina la dilatación del tiempo y se calcula como…
Según la Teoría de la Relatividad Especial de Einstein, el factor de Lorentz $\gamma$ determina la dilatación del tiempo y se calcula como $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $v$ es la velocidad de la nave y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío. Si en una misión espacial se observa que el tiempo pasa al $50\%$ del ritmo terrestre (es decir, $\gamma = 2$), resuelve la ecuación irracional para hallar a qué fracción de la velocidad de la luz viaja la nave.
Un tendido eléctrico debe conectar una central $A$ situada en un lado de un río recto de $4$ km de ancho, con una ciudad $B$ situada en el lado opuesto, $10$ km río…
Un tendido eléctrico debe conectar una central $A$ situada en un lado de un río recto de $4$ km de ancho, con una ciudad $B$ situada en el lado opuesto, $10$ km río abajo. El costo de tender el cable bajo el agua es de $200$ millones de pesos por km, y por tierra es de $120$ millones de pesos por km. Si el cable cruza el río en línea recta hasta un punto $P$ situado a $x$ km río abajo y luego va por tierra hasta $B$, el costo total en millones de pesos es $C(x) = 200\sqrt{x^2 + 16} + 120(10 - x)$. Encontrá el valor de $x$ que hace que el costo total sea exactamente de $1\,840$ millones de pesos resolviendo la ecuación irracional correspondiente.