Continuidad de funciones

Determina el dominio de la función $g(x) = \sqrt{x^2 - 25}$ y justifica en qué intervalos la función es continua.

Estudia la continuidad de la función logarítmica $f(x) = \ln(8 - 2x)$, indicando claramente el intervalo de números reales donde es continua.

Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}$. Indica en qué puntos es discontinua y clasifica el tipo de discontinuidad que presenta.

Observa la siguiente representación gráfica de una función $f(x)$ y determina los puntos donde presenta discontinuidades, clasificándolas en evitables, de salto finito o de salto infinito.

La función racional $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 8}{x - 2}$ no está definida en $x = 2$. ¿Qué valor numérico debería tomar $f(2)$ para que la función sea continua en dicho punto?

Estudia la continuidad de la función trigonométrica $g(x) = \frac{1}{\cos x}$ en el intervalo abierto $(0, 2\pi)$. ¿En qué puntos presenta discontinuidades y de qué tipo son?

Estudia detalladamente la continuidad de la función racional $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{x^2 - x - 6}$. Clasifica los tipos de discontinuidad que presenta en los puntos donde no está definida.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 + kx - 6}{x - 2}$, calcula el valor del parámetro $k$ para que la discontinuidad en $x = 2$ sea evitable. Una vez hallado, ¿cuál será el valor del límite de la función en ese punto?

Discute la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - mx + 4}$ en función de los posibles valores del parámetro real $m$. Presta especial atención a los casos en los que el denominador tiene raíces que coinciden con las del numerador.

La tarifa de un estacionamiento público se calcula mediante la función $C(t) = 2 + 1,5 \cdot \text{ENT}(t)$, donde $t$ es el tiempo en horas y $\text{ENT}(t)$ representa la función parte entera de $t$.

Identificá los puntos de discontinuidad de esta función en el intervalo $(0, 4)$ y explicá el significado real de estas discontinuidades para un usuario del estacionamiento.

La temperatura de un horno industrial en grados Celsius, $T(t)$, en función del tiempo en minutos $t$, viene dada por:

$T(t) = \begin{cases} 20 + 15t & \text{si } 0 \le t < 10 \\ k \cdot 0,9^{t-10} & \text{si } t \ge 10 \end{cases}$

Determina el valor de $k$ para que no haya un salto brusco de temperatura a los 10 minutos. ¿Qué fenómeno físico representa la función a partir de $t = 10$?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

La señal de voltaje en un osciloscopio muestra una onda amortiguada que repentinamente se estabiliza debido a la acción de un diodo de corte en $t = t_c$.

El modelo analítico para $t \ge 0$ es:

$V(t) = \begin{cases} e^{-0,5t} \cos(2\pi t) & \text{si } 0 \le t < t_c \\ C & \text{si } t \ge t_c \end{cases}$

Sabiendo que el corte se produce exactamente en el cuarto ciclo completo de la onda coseno ($t_c = 4$), demuestra analíticamente que la función es continua en ese punto calculando el valor exacto que debe tener la constante $C$.

Expresa la función $h(x) = |x - 3|$ como una función definida a trozos y demuestra analíticamente que es continua en $x = 3$.

Dada la función exponencial $g(x) = e^{\frac{1}{x-1}}$, estudia su continuidad en el punto $x = 1$ calculando los límites laterales.

Dada la función con valor absoluto $f(x) = \frac{x^2-9}{|x-3|}$, reescríbela como una función definida a trozos y clasifica el tipo de discontinuidad que presenta en $x=3$.

Una compañía de telefonía celular ofrece una tarifa de datos con las siguientes condiciones: se paga una cuota fija de $400$ pesos que incluye los primeros $5$ GB. Por cada GB adicional hasta llegar a los $20$ GB, se pagan $80$ pesos. A partir de los $20$ GB, el precio sigue la expresión $a + 60x$, donde $x$ es el total de GB consumidos.

Hallá el valor del parámetro $a$ para que la función que representa el costo total sea continua en todo momento y escribí la expresión analítica completa de dicha función.

Para el diseño de una montaña rusa, se deben empalmar dos tramos de vía. El perfil de la montaña rusa viene dado por la siguiente función definida a trozos, donde $x$ es la distancia horizontal en metros:

$f(x) = \begin{cases} \frac{100}{x + 10} + a & \text{si } 0 \le x < 10 \\ bx^2 - 2x + 15 & \text{si } x \ge 10 \end{cases}$

Sabiendo que el diseño exige que la vía sea continua en el punto de empalme $x = 10$, y que el Tramo 1 parte de una altura de $15\text{ m}$ en $x = 0$, calcula los valores de $a$ y $b$.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua en todo $\mathbb{R}$:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & \text{si } x \le 1 \\ 2a \ln(x) + b & \text{si } 1 < x \le e \\ e^{x-e} + a & \text{si } x > e \end{cases}$

Dadas las funciones $g(x) = \frac{1}{x - 2}$ y $h(x) = \sqrt{x + 1}$, obtén la expresión analítica de la función compuesta $f(x) = g(h(x))$ y estudia exhaustivamente su continuidad, indicando su dominio y el tipo de discontinuidades que presenta.

Estudia detalladamente la continuidad de la función $f(x) = e^{\frac{1}{|x|-1}}$. Determina su dominio, calcula los límites en los puntos conflictivos y clasifica rigurosamente el tipo de discontinuidad que presenta en cada uno de ellos.

Encuentra los valores de $a, b$ y $c$ para que la función racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x^2-4}$ cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:

1. Tiene una discontinuidad evitable en $x=2$.

2. Tiene una asíntota vertical en $x=-2$.

3. Su límite cuando $x \to \infty$ es $3$.

4. Corta al eje de ordenadas en $y = -1,5$.

Demuestra, utilizando el Teorema de Bolzano, que la ecuación $x^3 + 2x - 4 = 0$ tiene al menos una solución real en el intervalo $(1, 2)$. Justifica todas las condiciones necesarias para aplicar el teorema.

El siguiente gráfico ilustra el principio del Teorema de Bolzano para una función polinómica continua $f(x) = x^3 - 4x - 2$. Observando la gráfica y evaluando la función, encuentra un intervalo de longitud 1 (es decir, $[n, n+1]$ con $n \in \mathbb{Z}$) donde se pueda garantizar la existencia de una raíz real, justificando tu respuesta.

Sea $f$ una función continua en el intervalo cerrado $[0, 1]$ tal que $0 \le f(x) \le 1$ para todo $x \in [0, 1]$. Demuestra, apoyándote en el Teorema de Bolzano, que existe al menos un punto $c \in [0, 1]$ en el que la gráfica de la función interseca a la parábola $y = x^2$, es decir, demuestra que $f(c) = c^2$. (Pista: Define una función auxiliar $g(x) = f(x) - x^2$).