Radicales
Un carpintero de Canelones corta una tabla en diagonal para reforzar una puerta cuadrada de 1 m de lado. ¿Cuánto mide esa tabla? Con la calculadora te da 1,41421356…, pero ese número nunca termina. La medida exacta es $\sqrt{2}$. En este apartado repasás cómo trabajar con radicales sin perder exactitud: simplificarlos, operar con ellos y dejar los resultados en su forma más cómoda.
Radicales como exponentes fraccionarios
Expresa en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica al máximo la expresión $\sqrt[6]{x^4 y^2 z^8}$, asumiendo que todas las variables representan números…
Expresa en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica al máximo la expresión $\sqrt[6]{x^4 y^2 z^8}$, asumiendo que todas las variables representan números reales positivos.
Determina si los radicales $\sqrt[4]{25x^2}$ y $\sqrt{5x}$ son equivalentes para cualquier valor de $x > 0$. Justifica tu procedimiento utilizando exponentes…
Determina si los radicales $\sqrt[4]{25x^2}$ y $\sqrt{5x}$ son equivalentes para cualquier valor de $x > 0$. Justifica tu procedimiento utilizando exponentes fraccionarios.
Simplificar: extraer factores y reducir el índice
Índice común para comparar
Para comparar o multiplicar radicales de distinto índice, se pasan al mismo índice usando el mcm de los índices.
Extrae todos los factores posibles del interior del siguiente radical, simplificando la expresión al máximo: $\sqrt[3]{108 a^5 b^7 c^3}$.
Extrae todos los factores posibles del interior del siguiente radical, simplificando la expresión al máximo: $\sqrt[3]{108 a^5 b^7 c^3}$.
Simplifica la siguiente expresión aplicando la propiedad de la raíz de una raíz y expresando el resultado con un único radical: $\sqrt[3]{a^2 \sqrt{a}}$.
Simplifica la siguiente expresión aplicando la propiedad de la raíz de una raíz y expresando el resultado con un único radical: $\sqrt[3]{a^2 \sqrt{a}}$.
Reduce a índice común los radicales $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{10}$ y $\sqrt[6]{30}$, y ordénalos de menor a mayor justificando tu respuesta.
Reduce a índice común los radicales $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{10}$ y $\sqrt[6]{30}$, y ordénalos de menor a mayor justificando tu respuesta.
Operar: radicales semejantes, productos y potencias
Realiza las sumas y restas de los siguientes radicales semejantes, extrayendo factores previamente para poder simplificar el resultado:…
Realiza las sumas y restas de los siguientes radicales semejantes, extrayendo factores previamente para poder simplificar el resultado: $5\sqrt{18} - 2\sqrt{50} + \sqrt{8}$.
Multiplica los siguientes radicales del mismo índice y extrae los factores posibles del resultado final: $\sqrt[4]{27a^2b^3} \cdot \sqrt[4]{3a^3b}$.
Multiplica los siguientes radicales del mismo índice y extrae los factores posibles del resultado final: $\sqrt[4]{27a^2b^3} \cdot \sqrt[4]{3a^3b}$.
Calcula la potencia del siguiente radical y simplifica el resultado extrayendo todos los factores posibles (asume variables positivas): $(\sqrt[4]{8x^3y^2})^2$.
Calcula la potencia del siguiente radical y simplifica el resultado extrayendo todos los factores posibles (asume variables positivas): $(\sqrt[4]{8x^3y^2})^2$.
Efectúa la siguiente operación combinada con radicales de distinto índice, expresando el resultado final con un único radical simplificado:…
Efectúa la siguiente operación combinada con radicales de distinto índice, expresando el resultado final con un único radical simplificado: $\frac{\sqrt{2x} \cdot \sqrt[3]{4x^2}}{\sqrt[6]{8x^5}}$.
Racionalizar denominadores
Racionalizar es escribir una fracción de forma equivalente, pero sin radicales en el denominador. Es cómodo para comparar, sumar fracciones y estimar valores.
Racionaliza el denominador de la siguiente expresión y simplifica el resultado final extrayendo factores si es posible: $\frac{6x}{\sqrt[5]{8x^2y^3}}$.
Racionaliza el denominador de la siguiente expresión y simplifica el resultado final extrayendo factores si es posible: $\frac{6x}{\sqrt[5]{8x^2y^3}}$.
Racionaliza el denominador multiplicando por la expresión conjugada y simplifica operando el numerador: $\frac{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}$.
Racionaliza el denominador multiplicando por la expresión conjugada y simplifica operando el numerador: $\frac{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}$.
Racionaliza el denominador de la siguiente fracción que contiene tres términos radicales y simplifica el resultado final: $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$.
Racionaliza el denominador de la siguiente fracción que contiene tres términos radicales y simplifica el resultado final: $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$.
Productos notables con radicales
Los productos notables funcionan igual cuando las letras son radicales. Con ellos se desarrollan expresiones, se reducen sumas de fracciones y hasta se demuestran igualdades.
Desarrollá la siguiente expresión utilizando los productos notables para el cuadrado de una resta y el producto de binomios, y agrupá los términos semejantes:…
Desarrollá la siguiente expresión utilizando los productos notables para el cuadrado de una resta y el producto de binomios, y agrupá los términos semejantes: $(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.
Simplifica completamente la siguiente expresión algebraica, operando las fracciones mediante un denominador común y aplicando las propiedades de los radicales…
Simplifica completamente la siguiente expresión algebraica, operando las fracciones mediante un denominador común y aplicando las propiedades de los radicales conjugados:
$\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}} + \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}$.
Demostrá algebraicamente que el número irracional $x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ es, en realidad, un número entero. Planteá la ecuación $x^2$ y usá…
Demostrá algebraicamente que el número irracional $x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ es, en realidad, un número entero. Planteá la ecuación $x^2$ y usá los productos notables para resolverlo.
Aplicaciones en geometría, física y finanzas
Los radicales aparecen cuando una fórmula incluye una raíz o cuando usás el teorema de Pitágoras. Se calcula con exactitud y recién al final se aproxima.
Si un problema trae un triángulo o un polígono, usá Pitágoras con los valores exactos. Por ejemplo, un cuadrado de lado $L$ tiene diagonal $L\sqrt2$ y la altura de un triángulo equilátero de lado $L$ es $\dfrac{L\sqrt3}{2}$.
Volvé al principio: la tabla del carpintero mide $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2$ m, que es el número irracional $1{,}41421356\ldots$. Si hace falta cortarla, la aproximás en el final, por ejemplo $1{,}41$ m.
El periodo $T$ de un péndulo simple viene dado por la fórmula física $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud de la cuerda y $g$ la gravedad. Si un…
El periodo $T$ de un péndulo simple viene dado por la fórmula física $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud de la cuerda y $g$ la gravedad. Si un ingeniero necesita que el nuevo periodo sea exactamente $\sqrt{2} + 1$ veces el periodo original, ¿por qué factor exacto debe multiplicar la longitud $L$ original? Expresa tu razonamiento algebraicamente desarrollando el binomio al cuadrado.
La tasa de interés compuesto anual $r$ (expresada en tanto por uno) necesaria para que un capital inicial $C_0$ se convierta en un capital final $C_n$ al cabo de $n$…
La tasa de interés compuesto anual $r$ (expresada en tanto por uno) necesaria para que un capital inicial $C_0$ se convierta en un capital final $C_n$ al cabo de $n$ años viene dada por $r = \sqrt[n]{\frac{C_n}{C_0}} - 1$. Calcula el valor exacto de la tasa $r$ si una inversión multiplica su valor por $\frac{5}{2}$ en exactamente 3 años. Racionaliza el radical resultante en tu respuesta.
En un prisma rectangular, las longitudes de sus tres aristas concurrentes miden exactamente $\sqrt{2}$ m, $\sqrt{3}$ m y $\sqrt{5}$ m. Calcula el valor exacto de la…
En un prisma rectangular, las longitudes de sus tres aristas concurrentes miden exactamente $\sqrt{2}$ m, $\sqrt{3}$ m y $\sqrt{5}$ m. Calcula el valor exacto de la diagonal espacial del prisma ($D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$) y el volumen del mismo, expresando ambos resultados en su forma radical más simple.
Según la Ley de Kleiber en biología, la tasa metabólica basal $R$ de un mamífero escala con su masa corporal $M$ según la relación $R = k \sqrt[4]{M^3}$, donde $k$ es…
Según la Ley de Kleiber en biología, la tasa metabólica basal $R$ de un mamífero escala con su masa corporal $M$ según la relación $R = k \sqrt[4]{M^3}$, donde $k$ es una constante. Si un animal $A$ tiene una masa exactamente $27$ veces mayor que la de un animal $B$, determina la razón exacta $\frac{R_A}{R_B}$ utilizando propiedades de los radicales y extrayendo factores.
El factor de Lorentz en la teoría de la relatividad especial se define como $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$. Si una partícula subatómica viaja a una…
El factor de Lorentz en la teoría de la relatividad especial se define como $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$. Si una partícula subatómica viaja a una velocidad $v = \frac{\sqrt{5}}{3}c$, calcula el valor exacto de $\gamma$. Posteriormente, determina a qué velocidad exacta $v$ (en función de $c$) debe viajar para que el factor sea $\gamma = \sqrt{2} + 1$, racionalizando el resultado si es necesario.