Problemas de sistemas
En el almacén del barrio, Santiago compra 2 alfajores y 1 jugo por $\$190$. Camila compra 1 alfajor y 2 jugos por $\$230$. ¿Cuánto cuesta cada cosa? Nadie te da el precio: te dan dos compras. Plantear un sistema a partir de un enunciado suele ser más difícil que resolverlo. Acá aprendés a traducir frases en ecuaciones y a controlar que la respuesta tenga sentido en el problema.
Plantear: tantas ecuaciones como incógnitas
Algunas frases típicas y su traducción:
| Frase | Ecuación |
|---|---|
| «La suma de dos números es 54» | $x + y = 54$ |
| «Su diferencia es 12» | $x - y = 12$ |
| «$x$ es el triple de $y$» | $x = 3y$ |
| «Hay 45 cabezas» (gallinas $g$, vacas $v$) | $g + v = 45$ |
| «Hay 140 patas» | $2g + 4v = 140$ |
La suma de dos números enteros es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula el valor de ambos números.
La suma de dos números enteros es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula el valor de ambos números.
Un hotel de costa dispone de habitaciones dobles y sencillas. En total hay $50$ habitaciones y $87$ camas. Suponiendo que todas las habitaciones están completas,…
Un hotel de costa dispone de habitaciones dobles y sencillas. En total hay $50$ habitaciones y $87$ camas. Suponiendo que todas las habitaciones están completas, ¿cuántas habitaciones de cada tipo tiene el hotel?
En una granja escuela hay gallinas y vacas. Si se cuentan las cabezas de los animales, hay un total de $45$; si se cuentan las patas, hay $140$. ¿Cuántos animales de…
En una granja escuela hay gallinas y vacas. Si se cuentan las cabezas de los animales, hay un total de $45$; si se cuentan las patas, hay $140$. ¿Cuántos animales de cada clase hay en la granja?
Un examen de matemáticas consta de $30$ preguntas. Por cada respuesta correcta se suman $5$ puntos y por cada respuesta incorrecta o en blanco se restan $2$ puntos. Un…
Un examen de matemáticas consta de $30$ preguntas. Por cada respuesta correcta se suman $5$ puntos y por cada respuesta incorrecta o en blanco se restan $2$ puntos. Un alumno ha obtenido $94$ puntos en total. ¿Cuántas preguntas ha respondido correctamente?
Precios y mezclas
En los problemas de precios y mezclas siempre aparecen dos tipos de ecuación: una que cuenta cantidades (unidades, kilos, litros) y otra que cuenta valor (precio por cantidad).
En una ferretería, un cliente compra $4$ tornillos y $3$ tuercas por un total de $84$ pesos. Otro cliente compra $2$ tornillos y $5$ tuercas por $70$ pesos. Plantea un…
En una ferretería, un cliente compra $4$ tornillos y $3$ tuercas por un total de $84$ pesos. Otro cliente compra $2$ tornillos y $5$ tuercas por $70$ pesos. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el precio de cada artículo.
En una bodega se mezclan dos tipos de vino, uno de $160$ pesos/litro y otro de $220$ pesos/litro, para obtener un tonel de $300$ litros de mezcla que se venderá a $184$…
En una bodega se mezclan dos tipos de vino, uno de $160$ pesos/litro y otro de $220$ pesos/litro, para obtener un tonel de $300$ litros de mezcla que se venderá a $184$ pesos/litro. ¿Cuántos litros de cada tipo de vino se han utilizado para hacer la mezcla?
En un laboratorio de química se dispone de tres disoluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $40\%$. Se quieren obtener $100$ ml de una nueva…
En un laboratorio de química se dispone de tres disoluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $40\%$. Se quieren obtener $100$ ml de una nueva disolución al $25\%$. Si se utiliza la misma cantidad de volumen de la disolución al $10\%$ que de la del $20\%$, ¿qué volumen de cada disolución se debe mezclar?
Tres incógnitas
Cuando el problema mezcla tres cantidades, hacen falta tres ecuaciones. La estrategia es reducir el sistema 3×3 a uno de 2×2: despejás una incógnita en una ecuación (o eliminás una con reducción) y la sustituís en las otras.
En una tienda de deportes se venden pelotas de fútbol, básquetbol y vóleibol. El precio de una pelota de fútbol es de $1\,000$ pesos, el de básquetbol $1\,200$ pesos y…
En una tienda de deportes se venden pelotas de fútbol, básquetbol y vóleibol. El precio de una pelota de fútbol es de $1\,000$ pesos, el de básquetbol $1\,200$ pesos y el de vóleibol $800$ pesos. Un club compró $40$ pelotas por un total de $41\,200$ pesos. Sabiendo que el número de pelotas de fútbol compradas es igual a la suma de las de básquetbol y vóleibol, planteá un sistema de tres ecuaciones y determiná cuántas pelotas de cada deporte se adquirieron.
Una empresa reparte sus beneficios anuales entre sus tres socios A, B y C. El socio A recibe el doble que el socio B, y el socio C recibe $160\,000$ pesos más que el…
Una empresa reparte sus beneficios anuales entre sus tres socios A, B y C. El socio A recibe el doble que el socio B, y el socio C recibe $160\,000$ pesos más que el socio B. Si el beneficio total a repartir es de $2\,080\,000$ pesos, plantea un sistema de tres ecuaciones lineales y calcula la cantidad que recibe cada socio.
En una competición deportiva, las medallas de oro, plata y bronce otorgan $5$, $3$ y $1$ punto respectivamente. Un equipo ha conseguido un total de $25$ medallas y $75$…
En una competición deportiva, las medallas de oro, plata y bronce otorgan $5$, $3$ y $1$ punto respectivamente. Un equipo ha conseguido un total de $25$ medallas y $75$ puntos. Sabiendo que el número de medallas de plata supera en $1$ al número de medallas de oro, plantea un sistema de ecuaciones y averigua cuántas medallas de cada tipo ha ganado el equipo.
Porcentajes y fracciones
Cuando un dato habla de aumentos, descuentos o de una fracción de cada ingrediente, hay que traducirlo a un factor multiplicador:
| Situación | Se escribe |
|---|---|
| Aumenta un $5\,\%$ | $x \to 1{,}05\,x$ |
| Disminuye un $10\,\%$ | $x \to 0{,}90\,x$ |
| El oro pierde $\frac{1}{20}$ de su peso en agua | pérdida $= \frac{1}{20}\,x$ |
| Concentración del $25\,\%$ en $100$ ml | $0{,}25 \cdot 100$ ml de ácido puro |
Pérdida de peso en el agua
Un objeto sumergido «pesa menos»: el agua lo empuja hacia arriba con una fuerza (el empuje, principio de Arquímedes) igual al peso del agua que desplaza. Esa pérdida de peso aparente depende del volumen del objeto. Como el volumen de cada metal es proporcional a su masa, cada metal pierde una fracción fija de su propio peso (cuanto más denso el metal, menor la fracción). En los problemas, esa fracción viene como dato: la pérdida total es la suma de las pérdidas de cada componente.
Una familia destina una parte de sus ingresos mensuales a pagar la hipoteca y otra parte a alimentación. El mes pasado, la suma de estos dos gastos fue de $48\,000$…
Una familia destina una parte de sus ingresos mensuales a pagar la hipoteca y otra parte a alimentación. El mes pasado, la suma de estos dos gastos fue de $48\,000$ pesos. Este mes, la cuota de la hipoteca ha subido un $5\%$ y el gasto en alimentación ha bajado un $10\%$, siendo el gasto total en estos dos conceptos de $46\,800$ pesos. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular cuánto gastaron en cada concepto el mes pasado.
Una empresa fabrica tres modelos de computadoras: básico, medio y avanzado. La producción diaria total es de $400$ unidades. El costo de fabricación es de $12\,000$…
Una empresa fabrica tres modelos de computadoras: básico, medio y avanzado. La producción diaria total es de $400$ unidades. El costo de fabricación es de $12\,000$ pesos para el básico, $20\,000$ pesos para el medio y $32\,000$ pesos para el avanzado, con un costo total diario de $7\,800\,000$ pesos. Si la empresa decide aumentar la producción del modelo básico en un $20\%$ y reducir la del modelo avanzado en un $10\%$, la producción total aumentaría en $15$ unidades. Planteá un sistema de ecuaciones de tres incógnitas y determiná la producción inicial de cada modelo.
Una aleación está compuesta por oro, plata y cobre. El peso total de una pieza de esta aleación es de $120$ gramos. Se sabe que el peso del oro y la plata juntos supera…
Una aleación está compuesta por oro, plata y cobre. El peso total de una pieza de esta aleación es de $120$ gramos. Se sabe que el peso del oro y la plata juntos supera en $40$ gramos al peso del cobre. Al sumergir la pieza en agua, esta pierde $10$ gramos de su peso aparente por el empuje hidrostático. Si se sabe que la pérdida de peso en el agua para el oro puro es de $1/20$ de su peso, para la plata de $1/10$ y para el cobre de $1/8$, plantea un sistema de ecuaciones y calcula cuántos gramos de cada metal contiene la pieza.
Edades y cifras
Edades. Hay que distinguir «ahora» de «dentro de $n$ años»: a ambas personas se les suma $n$ (nunca se multiplica).
Cifras. Un número se escribe con el valor de posición de cada cifra: de dos cifras, $10d + u$; de tres, $100c + 10d + u$. Si se invierte el orden, también se invierten los pesos de las cifras.
La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad del padre será exactamente el doble que la del hijo. Determina las edades que…
La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad del padre será exactamente el doble que la del hijo. Determina las edades que tienen actualmente ambos.
La suma de las tres cifras de un número es $12$. La cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos. Si se invierte el orden de las cifras, el número…
La suma de las tres cifras de un número es $12$. La cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos. Si se invierte el orden de las cifras, el número resultante es $198$ unidades mayor que el original. Plantea un sistema de ecuaciones y averigua de qué número se trata.
Geometría: cuando el sistema no es lineal
El perímetro de un rectángulo da una ecuación lineal. El área o la diagonal (Pitágoras) dan ecuaciones de segundo grado, y el sistema deja de ser lineal. Se resuelven igual, por sustitución, pero llegás a una ecuación cuadrática.
El perímetro de una parcela rectangular mide $130$ metros. Se sabe que el largo de la parcela mide $15$ metros más que el ancho. Plantea un sistema de ecuaciones y…
El perímetro de una parcela rectangular mide $130$ metros. Se sabe que el largo de la parcela mide $15$ metros más que el ancho. Plantea un sistema de ecuaciones y determina las dimensiones de la parcela.
Las dimensiones de un campo de juego rectangular son tales que su área es de $6000$ m² y la longitud de su diagonal es $130$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no…
Las dimensiones de un campo de juego rectangular son tales que su área es de $6000$ m² y la longitud de su diagonal es $130$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal para calcular el largo y el ancho del campo.
Determina las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que su perímetro es de $60$ cm y que la altura trazada sobre la hipotenusa mide $12$ cm. Plantea…
Determina las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que su perímetro es de $60$ cm y que la altura trazada sobre la hipotenusa mide $12$ cm. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal de tres incógnitas (catetos e hipotenusa) para resolverlo.
Optimización con figuras: cajas y cercos
Cuando hay una figura con medidas que se cortan, se doblan o se cercan, dibujá primero y escribí cada medida en función de las incógnitas. Por ejemplo, si un lado de $20$ cm pierde dos recortes de $5$ cm, queda de $20 - 2 \cdot 5 = 10$ cm. Si un lado no lleva valla (el que linda con un río), el perímetro a cercar es solo $2x + y$.
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartón, cortando cuadrados de $5$ cm de lado en cada esquina y doblando los bordes hacia…
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartón, cortando cuadrados de $5$ cm de lado en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba. El largo de la lámina original es el doble que el ancho. Si el volumen de la caja resultante debe ser de $1500$ cm³, plantea la ecuación o sistema necesario y determina las dimensiones de la lámina de cartón original.
Un agricultor quiere vallar un campo de forma rectangular que linda con un río recto, por lo que no necesita poner valla en el lado del río. Dispone de exactamente $400$…
Un agricultor quiere vallar un campo de forma rectangular que linda con un río recto, por lo que no necesita poner valla en el lado del río. Dispone de exactamente $400$ metros de valla. Sabiendo que el área cercada debe ser de $20000$ m², plantea un sistema de ecuaciones para encontrar las dimensiones del campo y discute justificadamente si existe una única solución para el problema.
Movimiento y trabajo
Se usa $d = v \cdot t$ para cada móvil. Si dos móviles van al encuentro, las distancias recorridas suman la distancia total. Si uno alcanza al otro, las distancias son iguales.
Trabajo y canillas. Si una canilla llena un tanque en $t$ horas, en una hora llena la fracción $\dfrac{1}{t}$ del tanque. Las rapideces se suman cuando trabajan juntas.
Dos canillas llenan un depósito en $6$ horas si se abren a la vez. Si la primera canilla tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el depósito por separado, planteá…
Dos canillas llenan un depósito en $6$ horas si se abren a la vez. Si la primera canilla tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el depósito por separado, planteá un sistema de ecuaciones (que incluirá fracciones algebraicas) para determinar cuánto tardaría cada canilla en llenarlo de forma individual.
Un ciclista realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos pueblos separados por una distancia $d$. A la ida, con el viento a favor, circula a una velocidad constante de…
Un ciclista realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos pueblos separados por una distancia $d$. A la ida, con el viento a favor, circula a una velocidad constante de $30$ km/h. A la vuelta, con el viento en contra, circula a $20$ km/h. Si el tiempo total empleado en el trayecto completo de ida y vuelta es de $2,5$ horas, plantea un sistema de ecuaciones y halla la distancia entre los dos pueblos y el tiempo empleado en cada trayecto.
Dos trenes parten simultáneamente de dos estaciones A y B separadas por $450$ km, circulando por vías paralelas y en sentidos opuestos. Se cruzan al cabo de $3$ horas.…
Dos trenes parten simultáneamente de dos estaciones A y B separadas por $450$ km, circulando por vías paralelas y en sentidos opuestos. Se cruzan al cabo de $3$ horas. Si el tren que sale de A hubiera salido $1$ hora antes que el tren de B, se habrían cruzado a $306$ km de la estación A. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular las velocidades constantes de ambos trenes.
Problemas con un parámetro
A veces el enunciado trae una constante $k$ que no conocés (un precio, un coeficiente de un modelo). Discutir el sistema es decir para qué valores de $k$ hay una solución, infinitas o ninguna, antes de resolver. Se reduce el sistema y se mira la ecuación que queda.
Un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro $k$ modeliza la distribución de vehículos en tres rutas alternativas $x$, $y$, $z$:…
Un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro $k$ modeliza la distribución de vehículos en tres rutas alternativas $x$, $y$, $z$:
$ \begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + 3y + kz = 250 \\ x + 2y + 3z = 160 \end{cases} $
Determina para qué valores del parámetro $k$ el modelo tiene una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución, e interpreta qué significa físicamente que el sistema resulte incompatible.
Resumen
Volvé al principio: con $x$ el precio del alfajor e $y$ el del jugo, $2x + y = 190$ y $x + 2y = 230$ dan $x = 50$ e $y = 90$. Un alfajor cuesta $50$ pesos y un jugo $90$.