Teorema del seno

En un triángulo $ABC$, se conocen los ángulos $A = 45^\circ$ y $B = 60^\circ$, y la longitud del lado $a = 12$ cm. Calcula la longitud del lado $b$ utilizando el teorema del seno.

Un triángulo $PQR$ tiene los ángulos $P = 50^\circ$ y $Q = 75^\circ$. Si el lado $r = 20$ m, calcula la longitud del lado $p$.

En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide $40^\circ$ y los lados iguales miden $15$ cm. Calcula la longitud del lado desigual aplicando directamente el teorema del seno.

Dado un triángulo $ABC$ del que se conocen los lados $a = 15$ cm, $b = 10$ cm y el ángulo obtuso $A = 120^\circ$. Determina el valor del ángulo $B$.

En el triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 10$ cm, $b = 14$ cm y el ángulo $A = 30^\circ$. Calcula los dos posibles valores para el ángulo $B$ y las longitudes correspondientes del lado $c$ para cada caso.

Determina si es posible construir un triángulo $ABC$ con los siguientes datos: $a = 8$ cm, $b = 14$ cm y $A = 45^\circ$. Justifica tu respuesta matemáticamente empleando el teorema del seno.

En la construcción de un triángulo $ABC$, se fijan el lado $a = 10$ cm y el ángulo $A = 45^\circ$. El lado $b$ tiene una longitud variable $x$ cm. Determina, de forma razonada, el intervalo estricto de valores reales de $x$ para los cuales existen exactamente dos triángulos distintos que cumplen estas condiciones simultáneamente.

Dos estaciones de guardacostas, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $50$ km a lo largo de una costa rectilínea. Un barco $S$ emite una señal de socorro. La estación $A$ detecta la señal formando un ángulo de $40^\circ$ con la línea de la costa, mientras que la estación $B$ la detecta con un ángulo de $65^\circ$. Calcula la distancia en línea recta desde cada estación hasta el barco.

Una torre antigua se ha inclinado y ahora forma un ángulo de $85^\circ$ con el suelo horizontal. Un topógrafo se sitúa a $40$ m de la base de la torre, exactamente en la dirección hacia la que esta se inclina. Desde ese punto, mide el ángulo de elevación hasta la cúspide de la torre, obteniendo $50^\circ$. Calcula la longitud total de la torre desde su base hasta la cúspide.

Un teleférico asciende en línea recta desde una estación base $A$ hasta la cima $C$ de una montaña. Desde un punto $D$, situado $200$ m por detrás de $A$ en el mismo plano horizontal, el ángulo de elevación hacia $C$ es de $22^\circ$. Desde la estación $A$, el ángulo de elevación hacia la cima es de $35^\circ$. Calcula la longitud del cable $AC$ del teleférico resolviendo el triángulo $ADC$.

Dos observadores $A$ y $B$ están separados por $1200$ km en la superficie terrestre (distancia que consideraremos rectilínea para este cálculo local). Ambos observan un satélite $S$ que transita en el mismo plano vertical que los une, de modo que su proyección sobre el suelo queda entre $A$ y $B$. El ángulo de elevación medido desde $A$ es de $82^\circ$ y el medido desde $B$ es de $85^\circ$. Calcula la distancia exacta desde el observador $A$ hasta el satélite.

La ladera de una montaña presenta una inclinación constante de $15^\circ$ respecto al plano horizontal. Dos puntos $A$ y $B$ se encuentran sobre la ladera, estando $B$ situado $50$ m más arriba que $A$ a lo largo de la pendiente. En el punto $B$ se ha instalado un poste vertical de telecomunicaciones. Desde el punto $A$, el ángulo de elevación hasta el extremo superior del poste es de $42^\circ$ medido desde la horizontal. Calcula la altura exacta del poste.

Un avión vuela en línea recta a una altitud constante. Un observador estático en tierra lo divisa inicialmente con un ángulo de elevación de $30^\circ$. Exactamente $10$ segundos después, el avión, que vuela directamente hacia la vertical del observador, es divisado con un ángulo de elevación de $45^\circ$. Si la velocidad constante del avión es de $600$ km/h, calcula la altitud a la que vuela resolviendo el triángulo formado por el observador y las dos posiciones del avión mediante el teorema del seno.

Calcula el perímetro de un heptágono regular (polígono de 7 lados) que está inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm. Utiliza el teorema del seno en los triángulos isósceles que se forman desde el centro del polígono.

Una parcela de terreno con forma triangular tiene dos ángulos que miden $60^\circ$ y $75^\circ$. El lado comprendido entre estos dos ángulos está delimitado por un muro recto que mide $120$ m. Calcula el área total de la parcela.

En el triángulo $ABC$, se sabe que la longitud del lado $a$ es el doble que la del lado $b$ ($a = 2b$). Si $\sin A = 0,8$, halla el valor exacto de $\sin B$.

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. Si la relación entre dos lados es $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ y el ángulo $B = 30^\circ$, halla la medida del ángulo $A$, sabiendo de antemano que es un ángulo agudo.

En un triángulo $ABC$, se cumple la proporción $\frac{a}{\sin A} = 24$. Si la suma de los ángulos $A + B = 120^\circ$ y el lado $a = 12\sqrt{3}$ cm, determina la longitud exacta del lado $c$.

Demuestra que el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a un triángulo $ABC$ está directamente relacionado con el área del triángulo $S$ mediante la fórmula:

$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$

(Pista: Expresa el área del triángulo usando el seno de uno de sus ángulos y combínalo con el teorema del seno).

En un triángulo $ABC$, el ángulo $A$ es exactamente el doble del ángulo $B$ ($A = 2B$). Demuestra, empleando el teorema del seno y las identidades trigonométricas del ángulo doble, que las longitudes de los lados cumplen la relación $a = 2b \cos B$.

En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados $a$, $b$ y $c$ se encuentran en progresión aritmética, cumpliéndose la relación $2b = a + c$. Demuestra que los senos de los ángulos opuestos mantienen una relación análoga: $\sin A + \sin C = 2 \sin B$.

Demuestra, partiendo del teorema del seno, que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la siguiente identidad trigonométrica que relaciona sus lados y ángulos:

$a \sin(B - C) + b \sin(C - A) + c \sin(A - B) = 0$

En un triángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta al lado opuesto $BC$ en el punto $D$. Aplica el teorema del seno en los triángulos $ABD$ y $ACD$ para demostrar formalmente el teorema de la bisectriz, es decir, que se cumple la proporción:

$\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}$