Tabla y gráfica de una función
Un estacionamiento de Montevideo cobra una tarifa fija más un monto por hora. ¿Cómo se ve ese costo en un gráfico y cómo sabés cuántos puntos calcular para dibujarlo bien? Antes de analizar una función con herramientas más finas, hay que saber dibujarla: elegir los valores de $x$, calcular sus imágenes y unirlas con criterio. También hay que saber leer una gráfica ya dibujada.
Tabla de valores: qué puntos elegir
Una tabla de valores es una lista de pares $(x, f(x))$. Cada par es un punto del plano. Cuantos más puntos, mejor se ve la forma, pero no hace falta calcular cualquier cosa: conviene elegir con criterio.
Para una función afín $f(x) = ax + b$ alcanzan dos puntos (la gráfica es una recta), y un tercero sirve de control. La ordenada en el origen $b$ es el corte con el eje $Y$.
Dada la función lineal $f(x) = 2x - 3$: a) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, 0, 1, 3\}$. b) Representa gráficamente la función en el plano cartesiano…
Dada la función lineal $f(x) = 2x - 3$:
- a) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, 0, 1, 3\}$.
- b) Representa gráficamente la función en el plano cartesiano utilizando los puntos obtenidos.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
El costo $C(t)$ en pesos de dejar un auto en un estacionamiento viene dado por la función $C(t) = 80 + 60t$, donde $t$ es el tiempo en horas. a) Hacé una tabla de…
El costo $C(t)$ en pesos de dejar un auto en un estacionamiento viene dado por la función $C(t) = 80 + 60t$, donde $t$ es el tiempo en horas.
- a) Hacé una tabla de valores para las primeras 4 horas ($t=0, 1, 2, 3, 4$).
- b) Representá gráficamente la función en ese intervalo.
Considera la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4$: a) Calcula las imágenes para $x = -3, -2, 0, 2, 3$ y organiza los resultados en una tabla. b) Dibuja la gráfica de la…
Considera la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4$:
- a) Calcula las imágenes para $x = -3, -2, 0, 2, 3$ y organiza los resultados en una tabla.
- b) Dibuja la gráfica de la función e identifica las coordenadas de su vértice.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Considera la función cuadrática $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. a) Calcula analíticamente las coordenadas de su vértice y los puntos de corte con los ejes. b) Crea una tabla de…
Considera la función cuadrática $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.
- a) Calcula analíticamente las coordenadas de su vértice y los puntos de corte con los ejes.
- b) Crea una tabla de valores tomando dos puntos a la izquierda del vértice y dos a la derecha.
- c) Representa gráficamente la parábola.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Reconocer funciones por su tabla
A veces te dan la tabla y hay que descubrir la función. Mirá las diferencias entre valores consecutivos de $y$ cuando $x$ avanza de a 1:
-
Si son constantes, la función es afín: $y = ax + b$, y la diferencia es la pendiente $a$.
-
Si las diferencias no son constantes pero sus diferencias sí, es cuadrática.
-
Si cada valor es el anterior multiplicado por un mismo número, es exponencial.
Si te dan tres puntos de una parábola, planteás $f(x)=ax^2+bx+c$ en cada uno y resolvés el sistema de tres ecuaciones. Conviene empezar por el punto con $x=0$, que da $c$ directamente.
Identifica si la siguiente tabla de valores corresponde a una función lineal o a una función cuadrática calculando las diferencias entre valores consecutivos de $y$. A…
Identifica si la siguiente tabla de valores corresponde a una función lineal o a una función cuadrática calculando las diferencias entre valores consecutivos de $y$. A continuación, obtén su expresión analítica $y = f(x)$.
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $1$ | $4$ | $7$ | $10$ | $13$ |
Una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 0)$ y $(2, -1)$. a) Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones para…
Una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 0)$ y $(2, -1)$.
- a) Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de $a, b$ y $c$.
- b) Con la expresión analítica obtenida, calcula el vértice y construye una tabla de valores para representar la parábola.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Funciones racionales e irracionales: puntos cerca de lo prohibido
En una función racional, los valores interesantes están cerca del valor que anula el denominador. En una función con raíz cuadrada, el dominio empieza donde el radicando se anula: hay que pedir radicando $\ge 0$.
Para los cortes con los ejes de una función racional: con el eje $X$ se iguala el numerador a cero (y se verifica que el denominador no se anule); con el eje $Y$ se calcula $f(0)$.
Dada la función irracional $f(x) = \sqrt{x+2}$: a) Determina analíticamente su dominio. b) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, -1, 2, 7\}$ y utilízala para…
Dada la función irracional $f(x) = \sqrt{x+2}$:
- a) Determina analíticamente su dominio.
- b) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, -1, 2, 7\}$ y utilízala para esbozar la gráfica.
Calcula analíticamente los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función racional $f(x) = \frac{3x+6}{x-1}$.
Calcula analíticamente los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función racional $f(x) = \frac{3x+6}{x-1}$.
Dada la función racional $f(x) = \frac{4}{x-2}$: a) Determina su dominio. b) Construye una tabla de valores evaluando la función en puntos cercanos a $x = 2$ por la…
Dada la función racional $f(x) = \frac{4}{x-2}$:
- a) Determina su dominio.
- b) Construye una tabla de valores evaluando la función en puntos cercanos a $x = 2$ por la izquierda y por la derecha ($x = 1,9; 1,99; 2,1; 2,01$).
- c) A partir de los resultados obtenidos, ¿qué elemento gráfico presenta la función en $x = 2$?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Considera la función $f(x) = \sqrt{9-x^2}$. a) Calcula analíticamente su dominio de definición. b) Haz una tabla de valores para $x \in \{-3, -2, 0, 2, 3\}$. c)…
Considera la función $f(x) = \sqrt{9-x^2}$.
- a) Calcula analíticamente su dominio de definición.
- b) Haz una tabla de valores para $x \in \{-3, -2, 0, 2, 3\}$.
- c) Representa gráficamente la función e indica cuál es su recorrido.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Exponenciales y logarítmicas
En $f(x)=k\cdot a^x$ (con $a>0$, $a\neq 1$) conviene elegir valores enteros de $x$, positivos y negativos, para ver cómo crece o decae. Cada paso de $x$ multiplica la imagen por $a$. La gráfica tiene una asíntota horizontal: $y=0$.
En $f(x)=\log_a(x+c)$ se eligen los valores de $x$ para que el argumento sea una potencia de la base: así el logaritmo da un número entero. El argumento debe ser positivo, y eso da la asíntota vertical.
La exponencial y la logarítmica de la misma base son inversas: sus gráficas son simétricas respecto a la recta $y=x$. Para obtener la tabla de la inversa, se intercambian las coordenadas de cada punto: si $(a, b)$ está en $f$, entonces $(b, a)$ está en $f^{-1}$. Por ejemplo, $f(x)=2^x$ tiene los puntos $(-1; 0{,}5)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(3, 8)$; su inversa $f^{-1}(x)=\log_2 x$ tiene $(0{,}5; -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(8, 3)$.
En un laboratorio se estudia el crecimiento de una población de bacterias. El número de bacterias $N(t)$ en miles viene dado por la función $N(t) = 100 \cdot 2^t$, donde…
En un laboratorio se estudia el crecimiento de una población de bacterias. El número de bacterias $N(t)$ en miles viene dado por la función $N(t) = 100 \cdot 2^t$, donde $t$ es el tiempo en horas.
- a) Construye una tabla de valores para las primeras 4 horas ($t = 0, 1, 2, 3, 4$).
- b) Representa gráficamente la función. ¿Qué tipo de crecimiento se observa?
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Dada la función logarítmica $f(x) = \log_2(x+4)$: a) Determina analíticamente su dominio y la ecuación de su asíntota vertical. b) Construye una tabla de valores…
Dada la función logarítmica $f(x) = \log_2(x+4)$:
- a) Determina analíticamente su dominio y la ecuación de su asíntota vertical.
- b) Construye una tabla de valores eligiendo valores estratégicos de $x$ que den como resultado potencias exactas de base 2 para el argumento del logaritmo.
- c) Representa la gráfica de la función.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
La masa $M(t)$ en gramos de un isótopo radiactivo disminuye con el tiempo $t$ (en días) según la función exponencial $M(t) = M_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{T}}$, donde $M_0$…
La masa $M(t)$ en gramos de un isótopo radiactivo disminuye con el tiempo $t$ (en días) según la función exponencial $M(t) = M_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{T}}$, donde $M_0$ es la masa inicial y $T$ es el periodo de semidesintegración.
Sabiendo que en el instante $t=0$ había $200\text{ g}$ de sustancia y que tras $60\text{ días}$ quedan $50\text{ g}$:
- a) Calcula el valor de los parámetros $M_0$ y $T$.
- b) Construye una tabla de valores para $t = 0, 30, 60, 90, 120$ y esboza la gráfica.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = 2^x$ y la recta $y = x$. a) A partir de los puntos destacados en la curva azul de $f(x)$,…
En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = 2^x$ y la recta $y = x$.
- a) A partir de los puntos destacados en la curva azul de $f(x)$, construye una tabla de valores para su función inversa $f^{-1}(x)$.
- b) Dibuja en tu cuaderno la gráfica de la función inversa aprovechando la simetría respecto a la recta $y=x$.
- c) Escribe la expresión analítica de $f^{-1}(x)$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Funciones a trozos y con valor absoluto
Para que dos ramas empalmen, las dos fórmulas deben dar el mismo valor en el punto de unión. Si una tiene un parámetro $k$, se iguala y se despeja.
El valor absoluto también se grafica a trozos: $|g(x)|=g(x)$ donde $g(x)\ge 0$ y $|g(x)|=-g(x)$ donde $g(x)<0$. Gráficamente, la parte de $g$ que está bajo el eje $X$ se refleja hacia arriba. Por ejemplo, $|2x-5|$ tiene un "pico" en $x=2{,}5$, donde $2x-5=0$; y $|x^2-4|$ es la parábola $x^2-4$ con la parte negativa (entre $-2$ y $2$) espejada: vale $-x^2+4$ en $[-2, 2]$ y $x^2-4$ fuera de ese intervalo.
Dada la función valor absoluto $f(x) = |2x - 5|$: a) Evalúa la función en los puntos $x = 0; 2; 2,5; 3; 5$ y construye una tabla de valores. b) Representa gráficamente…
Dada la función valor absoluto $f(x) = |2x - 5|$:
- a) Evalúa la función en los puntos $x = 0; 2; 2,5; 3; 5$ y construye una tabla de valores.
- b) Representa gráficamente la función.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$ a) Construye una tabla de valores…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$
- a) Construye una tabla de valores evaluando la función en $x = -2; 0; 0,99; 1; 2; 3$.
- b) Representa gráficamente la función e indica si es continua en $x = 1$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dada la función valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$: a) Expresa la función definida a trozos eliminando el valor absoluto. b) Encuentra los puntos de corte con los ejes.…
Dada la función valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$:
- a) Expresa la función definida a trozos eliminando el valor absoluto.
- b) Encuentra los puntos de corte con los ejes.
- c) Construye una tabla de valores en el intervalo $[-3, 3]$ y dibuja su gráfica.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dada la función a trozos dependiente de un parámetro $k$: $f(x) = \begin{cases} x^2 - k & \text{si } x < 2 \\ 2x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$ a) Halla el valor…
Dada la función a trozos dependiente de un parámetro $k$:
$f(x) = \begin{cases} x^2 - k & \text{si } x < 2 \\ 2x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$
- a) Halla el valor de $k$ para que las dos ramas de la función "conecten" en el punto $x = 2$ (es decir, para que la función sea continua).
- b) Con el valor de $k$ hallado, construye una tabla de valores en el intervalo $[0, 4]$ y esboza la gráfica de la función.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Lectura de una gráfica
No siempre se construye la gráfica: también hay que leerla cuando ya está dibujada. De una gráfica se pueden extraer:
-
el dominio: los valores de $x$ sobre los que hay curva (proyectá la gráfica sobre el eje $X$);
-
el recorrido (conjunto imagen): los valores de $y$ que se alcanzan (proyectá sobre el eje $Y$);
-
las imágenes: para $f(a)$, subí desde $x=a$ hasta la curva y leé la altura;
-
los cortes con los ejes, el crecimiento y las asíntotas.
Para una racional $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, la asíntota vertical es $x=-d/c$ y la horizontal es $y=a/c$. Si la gráfica te da las asíntotas y un par de cortes, podés plantear $a$, $b$, $c$, $d$ (por ejemplo, la asíntota vertical $x=p$ pide un denominador $x-p$).
Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ definida por tramos rectos: A partir de la gráfica, determina: a) El dominio y el recorrido de la función. b) El valor…
Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ definida por tramos rectos:
A partir de la gráfica, determina:
- a) El dominio y el recorrido de la función.
- b) El valor de $f(-2)$ y $f(1)$.
El siguiente gráfico muestra la evolución de la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) desde que se sirve. A…
El siguiente gráfico muestra la evolución de la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) desde que se sirve.
A partir de la gráfica:
- a) Indica la temperatura inicial del café.
- b) ¿Hacia qué valor tiende la temperatura a medida que transcurre mucho tiempo? ¿Qué significado físico tiene la asíntota horizontal?
- c) ¿La función es creciente o decreciente? Justifica tu respuesta.
Observa la siguiente gráfica de una función racional de la forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$: A partir de la información proporcionada por la gráfica (asíntotas y puntos…
Observa la siguiente gráfica de una función racional de la forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$:
A partir de la información proporcionada por la gráfica (asíntotas y puntos de corte):
- a) Determina el dominio y el recorrido de la función.
- b) Deduce la expresión analítica de la función $f(x)$.
Tablas en problemas de modelización
En un problema con contexto, primero se escribe la función con una fórmula, después se define su dominio de validez (una longitud o un tiempo no pueden ser negativos) y recién entonces se arma la tabla.
Las parábolas con coeficiente principal negativo (como un beneficio o un área) tienen un máximo en el vértice. Los puntos de equilibrio de un beneficio son sus raíces: producción con beneficio cero.
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial desde que se enciende viene dada por la función $T(t) = 20 + 15t$, donde $t$ se mide en minutos. a) ¿Cuál…
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial desde que se enciende viene dada por la función $T(t) = 20 + 15t$, donde $t$ se mide en minutos.
- a) ¿Cuál es la temperatura inicial del horno?
- b) Construye una tabla de valores para $t = 0, 5, 10, 15$.
- c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el horno alcance los $200^\circ\text{C}$?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
El beneficio mensual $B(x)$, en pesos, de una fábrica de componentes electrónicos en función del número de unidades producidas $x$ se modeliza mediante la función…
El beneficio mensual $B(x)$, en pesos, de una fábrica de componentes electrónicos en función del número de unidades producidas $x$ se modeliza mediante la función $B(x) = -200x^2 + 12\,000x - 160\,000$.
- a) Encontrá los puntos de equilibrio (producción para la cual el beneficio es cero).
- b) Generá una tabla de valores estratégica que incluya los puntos de equilibrio y el vértice.
- c) ¿Cuántas unidades deben producirse para maximizar el beneficio y de cuánto es dicho beneficio máximo?
Se desea construir un corral rectangular aprovechando un muro ya existente para uno de sus lados. Se dispone de $20\text{ m}$ de valla metálica para los otros tres…
Se desea construir un corral rectangular aprovechando un muro ya existente para uno de sus lados. Se dispone de $20\text{ m}$ de valla metálica para los otros tres lados.
- a) Expresa el área $A(x)$ del corral en función de la longitud $x$ de uno de los lados perpendiculares al muro.
- b) Determina el dominio de validez de la función $A(x)$ en el contexto del problema.
- c) Construye una tabla de valores y utilízala para esbozar la gráfica y encontrar las dimensiones que maximizan el área.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Volvé al principio: el costo del estacionamiento $C(t)=80+60t$ es una recta; con dos puntos alcanza, y la ordenada en el origen ($\$80$) es la tarifa fija.