Término general de una sucesión
Valentina ahorra para un celular: en enero deposita $\$500$ en su caja de ahorro y cada mes agrega $\$200$ más que el mes anterior. ¿Cuánto depositará en el mes 18, sin escribir los 17 depósitos anteriores? Para eso sirve el término general: una fórmula que da cualquier término directamente desde su posición.
La sucesión como función
Por ejemplo, con $a_n = \dfrac{2n-1}{n+3}$ se obtiene $a_1 = \dfrac{1}{4}$, $a_2 = \dfrac{3}{5}$, $a_3 = \dfrac{5}{6}$, $a_4 = 1, \ldots$ Es lo mismo que evaluar una función en $n=1,2,3,\ldots$, pero solo en valores naturales: la gráfica son puntos aislados, no una curva.
Escribí una expresión y observá cómo cambian las barras al avanzar $n$:
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{2n-1}{n+3}$, calcula sus cinco primeros términos.
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{2n-1}{n+3}$, calcula sus cinco primeros términos.
Si el término general de una sucesión es $b_n = n^2 - 5n + 6$, averigua qué valor exacto tiene el término que ocupa la posición vigésima ($b_{20}$).
Si el término general de una sucesión es $b_n = n^2 - 5n + 6$, averigua qué valor exacto tiene el término que ocupa la posición vigésima ($b_{20}$).
Comprueba matemáticamente si el número $47$ pertenece a la sucesión de término general $c_n = 3n + 2$. En caso afirmativo, indica qué lugar ocupa en dicha sucesión.
Comprueba matemáticamente si el número $47$ pertenece a la sucesión de término general $c_n = 3n + 2$. En caso afirmativo, indica qué lugar ocupa en dicha sucesión.
Sucesiones aritméticas y geométricas
Dos patrones aparecen todo el tiempo:
¿Por qué $n-1$? Del primer término al $n$-ésimo hay $n-1$ «saltos»: cada uno suma $d$ o multiplica por $r$.
Encuentra la expresión del término general de la siguiente sucesión aritmética: $5, 9, 13, 17, 21, \dots$
Encuentra la expresión del término general de la siguiente sucesión aritmética:
$5, 9, 13, 17, 21, \dots$
Encuentra la expresión del término general de la siguiente sucesión geométrica: $3, -6, 12, -24, 48, \dots$
Encuentra la expresión del término general de la siguiente sucesión geométrica:
$3, -6, 12, -24, 48, \dots$
Un atleta aficionado se prepara para una media maratón. El primer día de entrenamiento corre $5$ km, y decide aumentar la distancia diaria en $500$ metros exactos…
Un atleta aficionado se prepara para una media maratón. El primer día de entrenamiento corre $5$ km, y decide aumentar la distancia diaria en $500$ metros exactos respecto al día anterior. Expresa el término general $d_n$ de la distancia en kilómetros recorrida el día $n$. ¿Qué día de su entrenamiento correrá exactamente $15$ km?
Patrones en figuras
Cuando una sucesión viene de una construcción con figuras, el truco es contar qué se agrega en cada paso.
Si en cada paso la cantidad de piezas se multiplica (por ejemplo, cada triángulo se divide en partes), el patrón es geométrico. En ese caso hay que escribir por separado dos sucesiones: cuántas piezas nuevas hay y cuánto mide cada una (la medida suele multiplicarse por una razón menor que 1).
Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por hexágonos adyacentes que comparten uno o varios lados. La Figura 1 está formada por 6 palillos, la Figura 2 por 11…
Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por hexágonos adyacentes que comparten uno o varios lados. La Figura 1 está formada por 6 palillos, la Figura 2 por 11 palillos y la Figura 3 por 16 palillos. Escribe el término general del número de palillos $P_n$ necesarios para construir la Figura $n$.
Se construye un fractal geométrico a partir de un triángulo equilátero de área $A$. En cada paso, se unen los puntos medios de los lados de los triángulos no sombreados…
Se construye un fractal geométrico a partir de un triángulo equilátero de área $A$. En cada paso, se unen los puntos medios de los lados de los triángulos no sombreados para formar 4 triángulos más pequeños, y se sombrea exclusivamente el central. Encuentra el término general $T_n$ que expresa el número de nuevos triángulos sombreados que se añaden en el paso $n$, y el término general $A_n$ para el área de uno solo de esos nuevos triángulos añadidos en el paso $n$.
Numerador y denominador por separado
Si los términos son fracciones, estudiá el numerador y el denominador como dos sucesiones independientes y combinalas al final.
Escribe el término general $f_n$ de la siguiente sucesión de fracciones: $\frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, \dots$
Escribe el término general $f_n$ de la siguiente sucesión de fracciones:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, \dots$
Encuentra el término general $a_n$ de la siguiente sucesión combinando los patrones que rigen su numerador y su denominador de forma independiente:…
Encuentra el término general $a_n$ de la siguiente sucesión combinando los patrones que rigen su numerador y su denominador de forma independiente:
$\frac{2}{3}, \frac{5}{9}, \frac{8}{27}, \frac{11}{81}, \dots$
Signos alternos
El factor $(-1)^n$ cambia de signo en cada término: es $-1$ si $n$ es impar y $1$ si $n$ es par. Con $(-1)^{n+1}$ ocurre al revés.
Cuando los términos pares y los impares siguen reglas distintas, como en $1, 4, 3, 8, 5, 12, \ldots$ (impares: $1,3,5,\ldots$; pares: $4,8,12,\ldots$), separalos en dos sucesiones y después unificá con $(-1)^n$. Como $\dfrac{1-(-1)^n}{2}$ vale $1$ si $n$ es impar y $0$ si es par, y $\dfrac{1+(-1)^n}{2}$ hace lo contrario, se puede escribir una sola fórmula que «active» cada parte en su lugar.
Escribe el término general de una sucesión cuyos términos son números enteros consecutivos pero con signos alternados: $-1, 2, -3, 4, -5, \dots$
Escribe el término general de una sucesión cuyos términos son números enteros consecutivos pero con signos alternados:
$-1, 2, -3, 4, -5, \dots$
Encuentra un único término general explícito $a_n$ para la sucesión $1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, \dots$ utilizando la expresión $(-1)^n$ para unificar el comportamiento…
Encuentra un único término general explícito $a_n$ para la sucesión $1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, \dots$ utilizando la expresión $(-1)^n$ para unificar el comportamiento dispar que presentan los términos pares y los términos impares.
Sucesiones polinómicas: el método de las diferencias
Si las diferencias entre términos consecutivos no son constantes, calculá las diferencias de las diferencias. Si estas últimas son constantes, el término general es un polinomio de segundo grado: $a_n = An^2 + Bn + C$, con $A$ igual a la mitad de esa segunda diferencia.
Averigua el término general de la sucesión $0, 3, 8, 15, 24, \dots$ y utilízalo para calcular el valor exacto del término que ocupa la posición quincuagésima ($a_{50}$).
Averigua el término general de la sucesión $0, 3, 8, 15, 24, \dots$ y utilízalo para calcular el valor exacto del término que ocupa la posición quincuagésima ($a_{50}$).
En una red de computadoras, el número total de conexiones directas posibles entre $n$ equipos (si todos están conectados físicamente con todos) forma una sucesión $C_n$.…
En una red de computadoras, el número total de conexiones directas posibles entre $n$ equipos (si todos están conectados físicamente con todos) forma una sucesión $C_n$. Sabiendo que $C_1 = 0$, $C_2 = 1$, $C_3 = 3$, y $C_4 = 6$, determiná el término general $C_n$. A partir de él, deducí cuántos equipos componen una red que tiene exactamente $1225$ conexiones directas.
Leyes de recurrencia
Una sucesión puede darse por recurrencia: se indican los primeros términos y una regla que calcula cada término a partir de los anteriores.
$$a_1 = 2, \qquad a_n = 3a_{n-1} - 1 \ (n \ge 2) \quad\Rightarrow\quad 2,\ 5,\ 14,\ 41,\ \ldots$$Su ventaja es que describe fácil situaciones de cambio paso a paso. Su desventaja: para llegar a $a_{50}$ hay que pasar por los 49 anteriores, así que conviene deducir una fórmula explícita.
Esta técnica también sirve para modelos financieros. Si un capital crece un $5\,\%$ por año y al final de cada año se retiran $\$100$, la ley es $Cn = 1{,}05\,C_{n-1} - 100$: se multiplica por el factor de crecimiento y después se resta el monto fijo, en ese orden.
Dada la ley de recurrencia $a_1 = 2$ y $a_n = 3a_{n-1} - 1$ para $n \ge 2$, calcula los cuatro primeros términos de la sucesión.
Dada la ley de recurrencia $a_1 = 2$ y $a_n = 3a_{n-1} - 1$ para $n \ge 2$, calcula los cuatro primeros términos de la sucesión.
Se define la sucesión $a_n$ mediante la relación de recurrencia $a_1 = 3$ y $a_n = 2a_{n-1} + 1$ para $n \ge 2$. Para encontrar su término general explícito, define una…
Se define la sucesión $a_n$ mediante la relación de recurrencia $a_1 = 3$ y $a_n = 2a_{n-1} + 1$ para $n \ge 2$. Para encontrar su término general explícito, define una nueva sucesión auxiliar $b_n = a_n + 1$. Demuestra que $b_n$ es una progresión geométrica, halla su término general $b_n$ y, a partir de él, deduce el término general de $a_n$.
Se invierten $200\,000$ pesos en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto anual del $4\,\%$. Sin embargo, al final de cada año y tras aplicar los intereses,…
Se invierten $200\,000$ pesos en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto anual del $4\,\%$. Sin embargo, al final de cada año y tras aplicar los intereses, la entidad deduce $2\,000$ pesos fijos en concepto de comisiones de gestión. Escribe la ley de recurrencia para el capital $C_n$ acumulado al final del año $n$ (siendo $C_0 = 200\,000$), y calcula el capital en los tres primeros años ($C_1, C_2, C_3$).
Recurrencias de segundo orden
A veces cada término depende de los dos anteriores, como en $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$. Ahora hacen falta dos términos iniciales ($x_1$ y $x_2$) para arrancar.
La idea: probar si hay soluciones de la forma $x_n = r^n$. Sustituyendo en la recurrencia y dividiendo entre $r^{n-2}$ queda una ecuación de segundo grado, la ecuación característica. Si tiene dos raíces reales distintas $r_1$ y $r_2$, el término general es
$$x_n = A\,r_1^{\,n} + B\,r_2^{\,n},$$y las constantes $A$ y $B$ se hallan con los dos términos iniciales.
Una sucesión recurrente se define mediante las condiciones iniciales $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ y la ley de recurrencia $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ para todo $n \ge 3$. Calcula…
Una sucesión recurrente se define mediante las condiciones iniciales $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ y la ley de recurrencia $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ para todo $n \ge 3$. Calcula los términos de la sucesión hasta $x_6$ y deduce una fórmula explícita para el término general $x_n$ en función de potencias de $2$.
Demostración por inducción completa
Calcular unos cuantos términos y ver un patrón no demuestra que la fórmula valga para todo $n$. La inducción completa sí lo hace, como una hilera de fichas de dominó: si cae la primera y cada una hace caer a la siguiente, caen todas.
Cuando la recurrencia usa dos términos anteriores, como en $x_n = x_{n-1}+2x_{n-2}$, se comprueban dos bases ($n=1$ y $n=2$) y en el paso se supone la fórmula para $n$ y $n-1$.
Una sucesión recurrente se define mediante las condiciones iniciales $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ y la ley de recurrencia $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ para todo $n \ge 3$. Calcula…
Una sucesión recurrente se define mediante las condiciones iniciales $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ y la ley de recurrencia $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ para todo $n \ge 3$. Calcula los términos de la sucesión hasta $x_6$ y deduce una fórmula explícita para el término general $x_n$ en función de potencias de $2$.
Sucesiones que modelizan situaciones reales
Poblaciones, depreciaciones o rebotes se describen con sucesiones. El primer paso es ver si en cada etapa se suma o se multiplica una cantidad fija, y si el índice empieza en $0$ o en $1$.
Cuando hay que averiguar cuándo se supera o se baja de cierto valor, aparece $r^n$ en una desigualdad y se usan logaritmos.
Una población de algas microscópicas en un lago controlado triplica su superficie cubierta cada semana. Si en la primera semana (semana $n=1$) cubren una superficie de…
Una población de algas microscópicas en un lago controlado triplica su superficie cubierta cada semana. Si en la primera semana (semana $n=1$) cubren una superficie de $2 \text{ m}^2$:
- a) Escribe el término general $S_n$ que representa la superficie cubierta al cabo de $n$ semanas.
- b) Calcula cuántas semanas completas deben pasar para que la superficie cubierta supere por primera vez los $1000 \text{ m}^2$.
El valor de mercado de un auto nuevo es de $960\,000$ pesos. Se estima que cada año pierde un $15\,\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Encontrá el…
El valor de mercado de un auto nuevo es de $960\,000$ pesos. Se estima que cada año pierde un $15\,\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Encontrá el término general $V_n$ que expresa el valor del auto al cabo de $n$ años (considerando $n=0$ el momento de la compra), y determiná su valor estimado al cabo de $5$ años.
Una pelota de goma se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada rebote contra el suelo, la pelota alcanza una altura igual a $\frac{3}{4}$ de la altura…
Una pelota de goma se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada rebote contra el suelo, la pelota alcanza una altura igual a $\frac{3}{4}$ de la altura máxima alcanzada en el rebote inmediatamente anterior. Escribe el término general $h_n$ de la altura alcanzada tras el $n$-ésimo rebote. Utilizando logaritmos, determina después de cuántos rebotes la altura máxima será por primera vez inferior a $1$ metro.
Monotonía y acotación
Una vez que tenés $a_n$, podés preguntarte cómo se comporta: si sube, si baja y si queda atrapada entre dos valores.
El criterio de la diferencia pide hallar $a_{n+1} - a_n$ y estudiar su signo. Para sucesiones de términos positivos también sirve comparar el cociente $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ con $1$.
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{n^2+1}{n}$, halla la expresión del término general de la sucesión diferencia definida como $d_n = a_{n+1} - a_n$ y…
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{n^2+1}{n}$, halla la expresión del término general de la sucesión diferencia definida como $d_n = a_{n+1} - a_n$ y simplifica el resultado al máximo.
Demuestra matemáticamente, estudiando el signo algebraico de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, si la sucesión $a_n = \frac{3n-1}{n+2}$ es estrictamente creciente o…
Demuestra matemáticamente, estudiando el signo algebraico de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, si la sucesión $a_n = \frac{3n-1}{n+2}$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
Estudia la acotación de la sucesión $a_n = \frac{5n+2}{2n+1}$. Para ello, demuestra algebraicamente que la sucesión está acotada inferiormente por $\frac{7}{3}$ y…
Estudia la acotación de la sucesión $a_n = \frac{5n+2}{2n+1}$. Para ello, demuestra algebraicamente que la sucesión está acotada inferiormente por $\frac{7}{3}$ y superiormente por $\frac{5}{2}$.