Razones trigonométricas recíprocas
Un foco en el suelo ilumina una pared de una cancha de la rambla. El rayo más largo mide $L$ y forma un ángulo $\alpha$ con el suelo. ¿Cómo se expresa $L$ con una sola razón? Resulta que $L = 10 \cdot \dfrac{1}{\cos\alpha}$: aparece el inverso del coseno. El seno, el coseno y la tangente tienen tres «parejas»: sus inversos. Aparecen al simplificar expresiones, resolver ecuaciones y en problemas de óptica o de geometría. Son solo fracciones invertidas, pero dominarlas ahorra pasos en muchos ejercicios.
Tres razones nuevas: secante, cosecante y cotangente
Cada una de las tres razones nuevas es, por definición, el inverso de una de las que ya conocés.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
Valores notables de las razones recíprocas
Como son inversos directos, los valores notables salen de invertir la tabla de seno, coseno y tangente.
Determina el valor exacto de $\sec 60^\circ$ y $\cot 45^\circ$ sin utilizar la calculadora.
Determina el valor exacto de $\sec 60^\circ$ y $\cot 45^\circ$ sin utilizar la calculadora.
Calcula el valor exacto de $\cot \frac{\pi}{6}$ y $\csc \frac{\pi}{4}$.
Calcula el valor exacto de $\cot \frac{\pi}{6}$ y $\csc \frac{\pi}{4}$.
Identidades pitagóricas con las recíprocas
La identidad fundamental $\sen^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ tiene dos versiones recíprocas: se obtienen dividiendo toda la igualdad entre $\cos^2\alpha$ o entre $\sen^2\alpha$.
Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utiliza la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utiliza la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Sabiendo que $\cos \theta = \frac{1}{3}$, calcula el valor numérico exacto de la expresión $\sec^2 \theta - 1$.
Sabiendo que $\cos \theta = \frac{1}{3}$, calcula el valor numérico exacto de la expresión $\sec^2 \theta - 1$.
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente,…
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente).
Signo y existencia según el cuadrante
$\sec\alpha$ tiene el mismo signo que $\cos\alpha$, $\csc\alpha$ el de $\sen\alpha$ y $\cot\alpha$ el de $\tan\alpha$. La tabla de signos que ya conocés sirve también para las recíprocas.
Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razona en qué cuadrante de la circunferencia goniométrica se encuentra el ángulo $\gamma$.
Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razona en qué cuadrante de la circunferencia goniométrica se encuentra el ángulo $\gamma$.
Si $\cot \alpha = 2$ y $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, determina el signo y el valor exacto de $\tan \alpha$ y $\csc \alpha$.
Si $\cot \alpha = 2$ y $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, determina el signo y el valor exacto de $\tan \alpha$ y $\csc \alpha$.
Sabiendo que $\csc x = 3$ y que el ángulo $x$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de la expresión $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Sabiendo que $\csc x = 3$ y que el ángulo $x$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de la expresión $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Recíprocas de ángulos fuera del primer cuadrante
La tabla de valores notables solo cubre $30^\circ$, $45^\circ$ y $60^\circ$. Para otros ángulos como $120^\circ$, $210^\circ$ o $315^\circ$ se usa el ángulo de referencia: el ángulo agudo que forma el lado final con el eje horizontal. Sus razones coinciden en valor absoluto con las del ángulo original; el signo lo da el cuadrante.
| Cuadrante | II | III | IV |
|---|---|---|---|
| Ángulo de referencia | $180^\circ-\alpha$ | $\alpha-180^\circ$ | $360^\circ-\alpha$ |
Los pasos son tres: ubicar el cuadrante, hallar el ángulo de referencia y calcular la recíproca con la tabla notable, poniendo el signo de la tabla de cuadrantes.
Evalúa la siguiente expresión dando su valor exacto, sin usar aproximaciones decimales: $\sec(120^\circ) + \csc(210^\circ) - \cot(315^\circ)$.
Evalúa la siguiente expresión dando su valor exacto, sin usar aproximaciones decimales: $\sec(120^\circ) + \csc(210^\circ) - \cot(315^\circ)$.
Simplificar expresiones y demostrar identidades
Para simplificar expresiones con razones recíprocas conviene pasarlo todo a seno y coseno: suele ser el camino más corto para que se cancelen factores.
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{\tan x + \sec x - 1}{\tan x - \sec x + 1} = \tan x + \sec x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{\tan x + \sec x - 1}{\tan x - \sec x + 1} = \tan x + \sec x$.
Ecuaciones, sistemas y problemas con razones recíprocas
Para resolver una ecuación con recíprocas, se despeja la razón y se pasa a seno, coseno o tangente: $\csc x=k$ equivale a $\sen x=\frac1k$, y $\sec x=k$ a $\cos x=\frac1k$. Después se buscan los ángulos en el círculo trigonométrico.
Un sistema con recíprocas se resuelve en dos tiempos: primero se tratan $\csc x$ y $\sec y$ como dos incógnitas auxiliares de un sistema lineal común; después se busca cada ángulo en el intervalo pedido.
En problemas con triángulos rectángulos, la secante relaciona la hipotenusa con el cateto adyacente: $\sec\alpha=\dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{adyacente}}$. Por eso, en el foco de la rambla, $L=10\sec\alpha$. Si $\cot\alpha=\frac34$, entonces $\tan\alpha=\frac43$ y, por la identidad pitagórica, $\sec^2\alpha=1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$, o sea $\sec\alpha=\frac53$ (ángulo agudo) y $L=\frac{50}{3}$ m.
Un foco ilumina una pared desde el suelo. La distancia horizontal del foco a la base de la pared es de $10$ m. El rayo de luz superior forma un ángulo $\alpha$ con el…
Un foco ilumina una pared desde el suelo. La distancia horizontal del foco a la base de la pared es de $10$ m. El rayo de luz superior forma un ángulo $\alpha$ con el suelo. La longitud del rayo de luz desde el foco hasta el punto más alto iluminado en la pared es $L$. Expresa $L$ usando la razón secante y calcula su valor exacto si $\cot \alpha = \frac{3}{4}$.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica indicando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica indicando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para valores de $x, y \in [0, \pi]$: $$ \begin{cases} \csc x + \sec y = 3 \\ \csc x - \sec y = 1 \end{cases}…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para valores de $x, y \in [0, \pi]$:
$$ \begin{cases} \csc x + \sec y = 3 \\ \csc x - \sec y = 1 \end{cases} $$Volvé al principio: el rayo del foco mide $L=\dfrac{10}{\cos\alpha}=10\sec\alpha$. La secante convierte una relación entre hipotenusa y cateto adyacente en un solo factor.