Inecuaciones con raíces cuadradas
En la ruta, un auto frena de golpe y deja marcas de derrape en el asfalto. Con la longitud de esas marcas se estima la velocidad que llevaba, y la fórmula tiene una raíz cuadrada. ¿Cuánto tienen que medir las marcas para saber que el conductor pasaba el límite de $120$ km/h? Para contestar hay que resolver una inecuación con raíz.
Una raíz cuadrada real solo existe si lo de adentro no es negativo, y eso condiciona todo el apartado. Antes de hacer cuentas hay que fijar el dominio. Después, para «sacar» la raíz se eleva al cuadrado, pero solo cuando se sabe que ambos miembros son no negativos. Si no, se pierden o se inventan soluciones.
El dominio primero
Cuando la raíz está en un denominador, el radicando tiene que ser estrictamente positivo, porque no se puede dividir entre cero. Por ejemplo, para $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-9}}$ hace falta $x^2-9>0$, o sea $(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$.
Si hay raíces anidadas, se exige que existan de adentro hacia afuera. Para $\sqrt{5-\sqrt{x-2}}$ primero se pide $x-2\geq 0$, es decir $x\geq 2$. Luego se pide $5-\sqrt{x-2}\geq 0$, es decir $\sqrt{x-2}\leq 5$, y eso da $x-2\leq 25$, o sea $x\leq 27$. El dominio es $[2, 27]$.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.
Determina el dominio de la función real de variable real $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.
Determina el dominio de la función real de variable real $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.
Determina el dominio de la función real $f(x) = \sqrt{5 - \sqrt{x - 2}}$.
Determina el dominio de la función real $f(x) = \sqrt{5 - \sqrt{x - 2}}$.
Raíz menor que un número
Cuando la raíz está acompañada de otros términos, primero se aísla. Por ejemplo, $\sqrt{5-2x}\leq 4$ pide $5-2x\geq 0$, o sea $x\leq \tfrac52$. Elevando al cuadrado queda $5-2x\leq 16$, o sea $x\geq -\tfrac{11}{2}$. La solución es $\left[-\tfrac{11}{2}, \tfrac52\right]$.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x - 2} < 5$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x - 2} < 5$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Encuentra la solución de la inecuación $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.
Encuentra la solución de la inecuación $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.
Analiza y resuelve la inecuación $\sqrt{2x - 7} < -3$. Justifica tu respuesta.
Analiza y resuelve la inecuación $\sqrt{2x - 7} < -3$. Justifica tu respuesta.
Raíz mayor que un número
En la gráfica, la desigualdad $\sqrt{3x+6}\geq 3$ se cumple donde la curva está por encima de la recta $y=3$ o la toca.
Si la inecuación tiene la raíz restando, primero se aísla. Por ejemplo, $4-\sqrt{x+1}\leq 1$ equivale a $\sqrt{x+1}\geq 3$. Eso da $x+1\geq 9$, o sea $x\geq 8$, y el dominio $x\geq -1$ ya queda incluido.
También puede haber dos condiciones a la vez, como $\sqrt{x}\geq 2$ y $\sqrt{x}<5$. La primera da $x\geq 4$ y la segunda $0\leq x<25$, de modo que la solución del sistema es $[4, 25)$.
Determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.
Determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.
Halla los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.
Halla los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita: $\sqrt{x} \ge 2$ y $\sqrt{x} < 5$.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita: $\sqrt{x} \ge 2$ y $\sqrt{x} < 5$.
Cuando el otro miembro lleva la incógnita
Si la inecuación es $\sqrt{P(x)}\lessgtr g(x)$ con $g(x)$ dependiendo de $x$, no alcanza con mirar un número fijo. Hay que discutir el signo de $g(x)$, porque elevar al cuadrado solo es válido cuando los dos miembros son no negativos.
La curva está por encima de la recta hasta el punto de corte $(6, 4)$, y ahí cambia. Esto es lo que vamos a verificar algebraicamente.
Un mismo problema con las dos formas aparece en $\sqrt{2x+4}>x-2$. Dominio: $x\geq -2$. Si $x<2$ se cumple siempre: $[-2,2)$. Si $x\geq 2$: $2x+4>x^2-4x+4 \Rightarrow x^2-6x<0 \Rightarrow 0 Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Ten en cuenta las restricciones del dominio del radicando. Resuelve la inecuación $\sqrt{x + 6} > x$. Presta especial atención a los casos en los que el segundo miembro pueda ser negativo. Resuelve la inecuación $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$. Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{2x + 4}$ y $g(x) = x - 2$, resuelve algebraicamente la inecuación $f(x) > g(x)$ y corrobora tu resultado observando la representación gráfica adjunta.Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Ten en cuenta las restricciones del dominio del radicando.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x + 6} > x$. Presta especial atención a los casos en los que el segundo miembro pueda ser negativo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$.
Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{2x + 4}$ y $g(x) = x - 2$, resuelve algebraicamente la inecuación $f(x) > g(x)$ y corrobora tu resultado observando la representación…
Problemas con raíces
Muchas magnitudes se expresan con una raíz: el periodo de un péndulo, una distancia, la velocidad de frenada. El camino es siempre el mismo: traducir el enunciado a una inecuación, fijar el dominio, resolver y quedarse solo con las soluciones que tienen sentido en el contexto.
Volvamos a las marcas de derrape. La velocidad estimada es $v=10\sqrt{d}$, con $d$ en metros y $v$ en km/h.
Un par más de planteos típicos:
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Cobertura de una antena. Si la distancia es $d(t)=\sqrt{t^2-12t+52}$ y el alcance es $10$ km, se pide $\sqrt{t^2-12t+52}\leq 10$. El radicando es siempre positivo (el discriminante $144-208$ es negativo), así que solo queda $t^2-12t+52\leq 100$, o sea $t^2-12t-48\leq 0$. Las raíces son $t=6\pm 2\sqrt{21}$, y como $t\geq 0$ la cobertura va de $t=0$ a $t=6+2\sqrt{21}\approx 15{,}17$ minutos.
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Dron a menos de $5$ km. Para los puntos $(x,3)$ la distancia al origen es $\sqrt{x^2+9}$, y se pide $\sqrt{x^2+9}<5$. Queda $x^2<16$, o sea $x\in(-4,4)$.
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Sistemas. Si hay dos condiciones, se resuelve cada una y se intersectan: para $\sqrt{3x+1}\leq 4$ y $x^2-2x-3>0$, la primera da $\left[-\tfrac13,5\right]$ y la segunda $(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$, de modo que la solución es $(3,5]$.
La velocidad $v$ (en km/h) de un vehículo antes de frenar bruscamente se puede estimar mediante la fórmula empírica $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las…
La velocidad $v$ (en km/h) de un vehículo antes de frenar bruscamente se puede estimar mediante la fórmula empírica $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las marcas de derrape en metros. Si en un tramo de autovía el límite de velocidad es de $120\text{ km/h}$, plantea una inecuación y determina qué longitudes de derrape indican que el conductor superaba el límite de velocidad.
El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple viene dado por la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en metros y $g$ es la…
El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple viene dado por la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en metros y $g$ es la aceleración de la gravedad. Asumiendo $g \approx \pi^2 \text{ m/s}^2$, halla el rango de longitudes $L$ para las cuales el periodo de oscilación está estrictamente entre $1$ y $3$ segundos.
Un dron de vigilancia está programado para mantenerse a una distancia estrictamente menor de $5$ km de una base situada en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si la…
Un dron de vigilancia está programado para mantenerse a una distancia estrictamente menor de $5$ km de una base situada en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si la trayectoria del dron viene dada por los puntos de la forma $(x, 3)$, plantea y resuelve la inecuación con raíces que determina los valores de $x$ permitidos para la trayectoria.
El tiempo de producción $T$ en horas para fabricar $x$ lotes de un componente electrónico sigue el modelo $T(x) = 3\sqrt{2x + 1} + 2$. Si el turno de trabajo máximo…
El tiempo de producción $T$ en horas para fabricar $x$ lotes de un componente electrónico sigue el modelo $T(x) = 3\sqrt{2x + 1} + 2$. Si el turno de trabajo máximo diario es de $14$ horas, ¿cuántos lotes completos se pueden producir como máximo respetando el límite de tiempo?
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El diseño de un panel solar rectangular exige que su base mida $2$ metros fijos y que su diagonal $d$ cumpla la relación $d = \sqrt{x^2 + 4x + 8}$ metros, donde $x$ es un parámetro de ajuste estructural. Halla los valores de $x$ que garantizan que la altura del panel sea de al menos $2$ metros.
Halla el conjunto de soluciones que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones: $\sqrt{3x + 1} \le 4$ $x^2 - 2x - 3 > 0$
Halla el conjunto de soluciones que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones:
$\sqrt{3x + 1} \le 4$
$x^2 - 2x - 3 > 0$
Una antena de telecomunicaciones tiene un radio de cobertura eficaz de $10\text{ km}$. Un vehículo viaja por una carretera recta y su distancia a la antena en kilómetros…
Una antena de telecomunicaciones tiene un radio de cobertura eficaz de $10\text{ km}$. Un vehículo viaja por una carretera recta y su distancia a la antena en kilómetros en el instante $t$ (en minutos) viene dada por la función $d(t) = \sqrt{t^2 - 12t + 52}$. Determina el intervalo de tiempo durante el cual el vehículo dispone de cobertura.
Para conectar una estación base a un repetidor, se debe tender un cable de fibra óptica. El costo de tender el cable por un terreno rocoso es proporcional a la distancia…
Para conectar una estación base a un repetidor, se debe tender un cable de fibra óptica. El costo de tender el cable por un terreno rocoso es proporcional a la distancia en línea recta $\sqrt{x^2 + 16}$, y el costo por terreno llano es proporcional a la distancia restante $(8 - x)$. El modelo de costo total simplificado viene dado por $C(x) = 2\sqrt{x^2 + 16} + (8 - x)$. ¿Para qué valores de $x \ge 0$ el costo total cumple la restricción presupuestaria $C(x) \le 16$?
En la teoría de la relatividad especial, el factor de dilatación temporal de Lorentz viene dado por $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $v$ es la…
En la teoría de la relatividad especial, el factor de dilatación temporal de Lorentz viene dado por $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $v$ es la velocidad del objeto y $c$ la velocidad de la luz. Plantea y resuelve una inecuación para encontrar el rango de velocidades $v$ (expresadas como una fracción de $c$, asumiendo $v \ge 0$) para las cuales el factor de Lorentz es estrictamente mayor que $2$.
Casos especiales: parámetros y raíces anidadas
Un parámetro en el radicando. Para que $\sqrt{x^2-mx+9}>0$ se cumpla para todo $x$ real, el radicando tiene que ser estrictamente positivo para todo $x$. Eso ocurre si la parábola no toca el eje $x$, o sea si el discriminante es negativo: $\Delta=m^2-36<0$, y entonces $-6 Raíces anidadas. Se resuelve de afuera hacia adentro, cuidando que cada radicando exista. Para $\sqrt{x-\sqrt{1-x}}\geq 1$: Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales la inecuación $\sqrt{x^2 - mx + 9} > 0$ se satisface para cualquier número real $x$. Resuelve la inecuación con radicales anidados $\sqrt{x - \sqrt{1 - x}} \ge 1$.Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales la inecuación $\sqrt{x^2 - mx + 9} > 0$ se satisface para cualquier número real $x$.
Resuelve la inecuación con radicales anidados $\sqrt{x - \sqrt{1 - x}} \ge 1$.