Inecuaciones de segundo grado
Un chivito se vende en la rambla de Pocitos y el beneficio del día depende de cuántos vendas: ¿a partir de cuántos empezás a ganar plata y hasta cuántos te conviene? Preguntas así llevan a una inecuación de segundo grado. No se despeja como una ecuación: se estudia. Hallás las raíces, dividís la recta en tramos y decidís el signo de cada tramo.
El método: raíces y tabla de signos
Inecuaciones incompletas
Si falta un término no hace falta la fórmula resolvente. En $2x^2-8x\le0$ se factoriza: $2x(x-4)\le0$, con raíces $0$ y $4$; como $a>0$, es negativa entre ellas: $[0,4]$. En $3x^2-27<0$ queda $3(x-3)(x+3)<0$: solución $(-3,3)$.
Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado y expresa la solución en forma de intervalo: $x^2 - 5x + 6 \ge 0$
Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado y expresa la solución en forma de intervalo:
$x^2 - 5x + 6 \ge 0$
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación: $-x^2 + 4x + 5 > 0$
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación:
$-x^2 + 4x + 5 > 0$
Resuelve la inecuación incompleta: $2x^2 - 8x \le 0$
Resuelve la inecuación incompleta:
$2x^2 - 8x \le 0$
Determina los valores de $x$ que verifican la siguiente desigualdad: $3x^2 - 27 < 0$
Determina los valores de $x$ que verifican la siguiente desigualdad:
$3x^2 - 27 < 0$
Casos sin dos raíces: la parábola no corta al eje, o lo toca en un punto
No siempre hay dos raíces distintas. Si el discriminante $\Delta$ es negativo, la parábola no corta el eje $x$: tiene el mismo signo que $a$ en toda la recta. Si $\Delta=0$, hay una raíz doble y el signo es el mismo a ambos lados.
Halla el conjunto solución de la inecuación: $x^2 + 6x + 9 \le 0$
Halla el conjunto solución de la inecuación:
$x^2 + 6x + 9 \le 0$
Indica el conjunto solución de la inecuación, razonando tu respuesta: $x^2 - 2x + 5 > 0$
Indica el conjunto solución de la inecuación, razonando tu respuesta:
$x^2 - 2x + 5 > 0$
Determina para qué valores de $x$ se cumple la siguiente desigualdad: $4x^2 - 12x + 9 > 0$
Determina para qué valores de $x$ se cumple la siguiente desigualdad:
$4x^2 - 12x + 9 > 0$
Sistemas, gráficas y dominios
Un sistema de inecuaciones se resuelve inecuación por inecuación, y la solución es la intersección de los conjuntos obtenidos.
También se puede resolver mirando la gráfica: $f(x)\le0$ se cumple donde la parábola está sobre el eje $x$ o por debajo de él, y $f(x) Una raíz cuadrada solo existe si el radicando es mayor o igual que $0$. Por eso, el dominio de $\sqrt{p(x)}$ sale de resolver $p(x)\ge0$. Si además hay una fracción, el denominador no puede ser $0$. Si una inecuación es bicuadrada, como $x^4-13x^2+36\le0$, hacé el cambio $t=x^2$ (con $t\ge0$): resolvé en $t$ y después volvé a $x$. Y si hay valor absoluto, $|p(x)|\le k$ equivale al sistema $-k\le p(x)\le k$. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de segundo grado con una incógnita: $x^2 - 4 \le 0$ $x^2 - x \ge 0$ A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, determina visualmente el conjunto de soluciones de la inecuación $f(x) \le 0$. Halla el dominio de definición de la siguiente función real de variable real: $f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$ Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y da la solución final en forma de intervalo: $x^2 - 3x - 10 < 0$ $2x + 5 \ge 1$ Resuelve la siguiente inecuación bicuadrada mediante un cambio de variable y expresa la solución final como unión de intervalos: $x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$ Resuelve la inecuación con valor absoluto transformándola previamente en un sistema de inecuaciones de segundo grado: $|x^2 - 4x| \le 5$ Halla el dominio de definición de la siguiente función, que combina restricciones de radicandos y denominadores: $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{9 - x^2}$Dominio de una raíz cuadrada
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de segundo grado con una incógnita: $x^2 - 4 \le 0$ $x^2 - x \ge 0$
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, determina visualmente el conjunto de soluciones de la inecuación $f(x) \le 0$.
Halla el dominio de definición de la siguiente función real de variable real: $f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y da la solución final en forma de intervalo: $x^2 - 3x - 10 < 0$ $2x + 5 \ge 1$
Resuelve la siguiente inecuación bicuadrada mediante un cambio de variable y expresa la solución final como unión de intervalos: $x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$
Resuelve la inecuación con valor absoluto transformándola previamente en un sistema de inecuaciones de segundo grado: $|x^2 - 4x| \le 5$
Halla el dominio de definición de la siguiente función, que combina restricciones de radicandos y denominadores: $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{9 - x^2}$
Problemas con parábolas
En los problemas, la inecuación sale de una función cuadrática que modela algo real: altura de un proyectil, beneficio de un negocio, área de un terreno. Pasos: definí la incógnita, planteá la desigualdad, resolvela y descartá los valores que no tienen sentido (longitudes o tiempos negativos, por ejemplo).
La altura $h$ en metros de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$.…
La altura $h$ en metros de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Plantea y resuelve la inecuación correspondiente para determinar durante qué intervalo de tiempo el proyectil se encuentra a una altura estrictamente superior a $17$ metros.
El beneficio diario de una empresa, expresado en cientos de pesos, al fabricar $x$ unidades de un producto se modela mediante la función cuadrática…
El beneficio diario de una empresa, expresado en cientos de pesos, al fabricar $x$ unidades de un producto se modela mediante la función cuadrática $B(x) = -20x^2 + 1\,600x - 14\,000$. ¿Cuántas unidades debe fabricar diariamente para no tener pérdidas? Expresá el resultado en forma de intervalo.
Se dispone de una cuerda de $40$ metros para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro ya existente como uno de los lados. Si $x$ es la longitud de los lados…
Se dispone de una cuerda de $40$ metros para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro ya existente como uno de los lados. Si $x$ es la longitud de los lados perpendiculares al muro, ¿para qué valores de $x$ el área cercada será de al menos $150 \text{ m}^2$? Ten en cuenta que las dimensiones del huerto deben ser positivas.
Resuelve la siguiente inecuación operando previamente para reducirla a su forma general y expresa el resultado en forma de intervalo:…
Resuelve la siguiente inecuación operando previamente para reducirla a su forma general y expresa el resultado en forma de intervalo:
$(2x - 1)^2 - (x + 3)(x - 3) < 5x + 14$
El área de la zona central rectangular de una pista deportiva debe ser estrictamente menor que $800 \text{ m}^2$. Si el largo de la pista es el doble de su ancho $x$ más…
El área de la zona central rectangular de una pista deportiva debe ser estrictamente menor que $800 \text{ m}^2$. Si el largo de la pista es el doble de su ancho $x$ más $10$ metros, plantea la inecuación correspondiente y deduce qué valores puede tomar el ancho de la pista.
La población de cierta especie invasora en un lago, medida en miles de individuos, sigue el modelo $P(t) = -0,2t^2 + 3,2t + 4$, donde $t$ es el tiempo en meses desde que…
La población de cierta especie invasora en un lago, medida en miles de individuos, sigue el modelo $P(t) = -0,2t^2 + 3,2t + 4$, donde $t$ es el tiempo en meses desde que se detectó la invasión. Las autoridades deciden intervenir cuando la población supera los $14.000$ individuos. Sin embargo, el tratamiento ecológico solo es efectivo si se puede aplicar durante al menos $3$ meses consecutivos en los que la población se mantenga por encima de ese umbral. Plantea la inecuación y determina si será posible aplicar el tratamiento con éxito según este modelo.
Se quiere construir una bandeja sin tapa a partir de una lámina rectangular de aluminio de $30 \times 20 \text{ cm}$, recortando cuadrados idénticos de lado $x$ en las…
Se quiere construir una bandeja sin tapa a partir de una lámina rectangular de aluminio de $30 \times 20 \text{ cm}$, recortando cuadrados idénticos de lado $x$ en las cuatro esquinas y doblando las pestañas resultantes hacia arriba. Si por requisitos de diseño se necesita que el área de la base de la bandeja sea de al menos $200 \text{ cm}^2$, plantea y resuelve la inecuación correspondiente para hallar el intervalo de posibles valores de $x$.
El cable principal de suspensión de un puente adopta la forma de una parábola. Tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable, la altura $y$ (en metros)…
El cable principal de suspensión de un puente adopta la forma de una parábola. Tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable, la altura $y$ (en metros) del cable respecto a la calzada a una distancia horizontal $x$ (en metros) del centro viene dada por la función $y = 0,005x^2 + 2$. Por razones de seguridad aeronáutica, se deben instalar luces de gálibo en los tramos del cable cuya altura respecto a la calzada esté comprendida entre $10 \text{ m}$ y $22 \text{ m}$. Plantea el sistema de inecuaciones y calcula en qué intervalos de distancia horizontal desde el centro se instalarán estas luces.
Dadas las funciones cuadráticas $f(x) = x^2 - 2x - 3$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 5$, determina analíticamente en qué intervalo de la recta real se cumple que $f(x) < g(x)$.…
Dadas las funciones cuadráticas $f(x) = x^2 - 2x - 3$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 5$, determina analíticamente en qué intervalo de la recta real se cumple que $f(x) < g(x)$. Basándote en la gráfica adjunta que representa ambas funciones y el área comprendida entre ellas, comprueba la coherencia de tu resultado.
Con un parámetro
Cuando la inecuación lleva una letra ($m$, $k$…) además de $x$, a veces se pide para qué valores del parámetro se cumple para todo $x$ real. Eso ocurre cuando la parábola no corta nunca al eje $x$.
Determina para qué valores del parámetro $m$ la inecuación cuadrática $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ se verifica para cualquier número real $x$.
Determina para qué valores del parámetro $m$ la inecuación cuadrática $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ se verifica para cualquier número real $x$.
Resumen
Volviendo al chivito del principio: el beneficio $B(x)\ge0$ se resuelve con raíces y signos, y las ventas que no dan pérdida forman un intervalo entre las dos raíces.