La recta real
En el laboratorio del liceo, un sensor mide $25{,}0\,^\circ\text{C}$ y el manual dice que su incertidumbre es de $0{,}2\,^\circ\text{C}$. Eso no es un número: es un rango de valores posibles. ¿Cómo se escribe ese rango sin ambigüedad? Lo podés expresar como intervalo, como entorno o como desigualdad con valor absoluto. En esta página aprendés los tres lenguajes y a pasar de uno a otro.
Intervalos y desigualdades
Un intervalo es un tramo de la recta real. Cada desigualdad con una incógnita describe un intervalo, y viceversa.
| Desigualdad | Intervalo | Extremos |
|---|---|---|
| $a \le x \le b$ | $[a, b]$ | incluye $a$ y $b$ |
| $a < x < b$ | $(a, b)$ | no incluye ninguno |
| $a \le x < b$ | $[a, b)$ | incluye $a$, no $b$ |
| $a < x \le b$ | $(a, b]$ | incluye $b$, no $a$ |
| $x \ge a$ | $[a, +\infty)$ | semirrecta |
| $x < b$ | $(-\infty, b)$ | semirrecta |
El corchete significa «este número sí está» (punto lleno en la recta). El paréntesis significa «este número no está» (punto vacío).
Por ejemplo, «mayores o iguales que $-3$ y menores que $5$» se escribe $-3 \le x < 5$ y también $[-3, 5)$. Son dos notaciones del mismo conjunto de números reales.
Para decidir si un número pertenece a un intervalo, compará su valor decimal con los extremos. Para eso conviene recordar que $\pi \approx 3{,}14159$.
Expresa como intervalo y como desigualdad el conjunto de números reales que son mayores o iguales que $-3$ y estrictamente menores que $5$.
Expresa como intervalo y como desigualdad el conjunto de números reales que son mayores o iguales que $-3$ y estrictamente menores que $5$.
Indica cuáles de los siguientes números reales pertenecen al intervalo $[-1, \pi)$: $-1,01$, $-1$, $3,14$, $\frac{22}{7}$, $\sqrt{10}$.
Indica cuáles de los siguientes números reales pertenecen al intervalo $[-1, \pi)$:
$-1,01$, $-1$, $3,14$, $\frac{22}{7}$, $\sqrt{10}$.
Entornos: E(a, r)
Cuando medís algo, el resultado suele ser «un valor central con una tolerancia». Eso se llama entorno.
Para pasar de un intervalo $(p, q)$ a un entorno, el centro es el punto medio y el radio es la mitad de la longitud:
$$a = \frac{p + q}{2}, \qquad r = \frac{q - p}{2}.$$Las dos formas de escribirlo son equivalentes:
$$x \in E(a, r) \iff a - r < x < a + r \iff |x - a| < r.$$Si el rango es cerrado, por ejemplo $[112{,}5;\ 127{,}5]$, se usa el mismo centro y radio pero con $\le$: $|x - a| \le r$.
Expresa el entorno $E(-1, 3)$ como un intervalo numérico y descríbelo mediante una desigualdad con valor absoluto.
Expresa el entorno $E(-1, 3)$ como un intervalo numérico y descríbelo mediante una desigualdad con valor absoluto.
Dado el intervalo abierto $(2, 8)$, exprésalo en forma de entorno indicando explícitamente cuál es su centro $a$ y su radio $r$.
Dado el intervalo abierto $(2, 8)$, exprésalo en forma de entorno indicando explícitamente cuál es su centro $a$ y su radio $r$.
El precio de una acción en bolsa fluctúa alrededor de un valor central. Si el intervalo de fluctuación durante la semana ha sido $[112,5 , 127,5]$, expresa este rango…
El precio de una acción en bolsa fluctúa alrededor de un valor central. Si el intervalo de fluctuación durante la semana ha sido $[112,5 , 127,5]$, expresa este rango utilizando la notación de entorno $E(a, r)$ y mediante una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| \le r$.
Distancia y valor absoluto
La distancia entre dos puntos de la recta es lo que mide el segmento que los une. Se calcula restando y quitando el signo.
Con esta idea, $|x - a|$ es «la distancia de $x$ a $a$». Así se leen las condiciones con valor absoluto:
-
$|x - a| = r$: los puntos que están a distancia exactamente $r$ de $a$. Son dos: $x = a - r$ y $x = a + r$.
-
$|x - a| \le r$: los puntos a distancia a lo sumo $r$, o sea $[a - r,\ a + r]$.
-
$|x - a| > r$: los puntos a distancia mayor que $r$, o sea $(-\infty,\ a - r) \cup (a + r,\ +\infty)$.
El caso $|x| \le r$ es el caso $a = 0$: $[-r, r]$.
Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -4,5$ y $B = 2,3$, y expresa la operación matemática utilizando la notación de valor absoluto.
Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -4,5$ y $B = 2,3$, y expresa la operación matemática utilizando la notación de valor absoluto.
Escribe en forma de intervalo el conjunto de números reales que cumplen la condición $|x| \le 7$.
Escribe en forma de intervalo el conjunto de números reales que cumplen la condición $|x| \le 7$.
Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la ecuación $|x - 4| = 9$.
Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la ecuación $|x - 4| = 9$.
Unión e intersección de intervalos
Como los intervalos son conjuntos, se pueden combinar:
-
Unión $A \cup B$: los números que están en $A$ o en $B$ (en al menos uno).
-
Intersección $A \cap B$: los números que están en $A$ y en $B$ (en ambos).
El método más seguro es dibujar los dos intervalos en dos rectas, una sobre otra, y mirar.
Fijate en los extremos. En la unión, un extremo está si está en alguno de los dos conjuntos. En la intersección, solo si está en los dos.
Cuando son tres conjuntos con paréntesis, se hace primero lo de adentro. Para $(A \cap B) \cup C$, calculá $A \cap B$, dibujalo junto con $C$ y unilos.
Con semirrectas y parámetros hay un atajo. La intersección de $(-\infty, p]$ y $(q, +\infty)$ es $(q, p]$ y solo existe si $q < p$. Su longitud es $p - q$.
Dados los intervalos $A = [-2, 4)$ y $B = (1, 6]$, determina y expresa como un único intervalo el resultado de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
Dados los intervalos $A = [-2, 4)$ y $B = (1, 6]$, determina y expresa como un único intervalo el resultado de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
Dados los conjuntos $A = (-\infty, 2]$, $B = (-1, 5)$ y $C = [0, +\infty)$, calcula $(A \cap B) \cup C$ y expresa el resultado como un único intervalo numérico.
Dados los conjuntos $A = (-\infty, 2]$, $B = (-1, 5)$ y $C = [0, +\infty)$, calcula $(A \cap B) \cup C$ y expresa el resultado como un único intervalo numérico.
Determina los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la intersección de los intervalos $A = (-\infty, 2k]$ y $B = (k + 3, +\infty)$ es un intervalo de…
Determina los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la intersección de los intervalos $A = (-\infty, 2k]$ y $B = (k + 3, +\infty)$ es un intervalo de longitud exactamente igual a $5$.
Complementario de un intervalo
El complementario de un conjunto $I$ en $\mathbb{R}$, que se escribe $\mathbb{R} \setminus I$, son todos los reales que no están en $I$.
Un intervalo acotado es un segmento finito sobre una recta infinita. Si lo sacás, la recta queda partida en dos tramos: el de la izquierda y el de la derecha. Por eso el complementario es la unión de dos semirrectas.
Considera el intervalo $I = [-3, 4)$. Determina el conjunto complementario $\mathbb{R} \setminus I$ y exprésalo como la unión de dos intervalos.
Considera el intervalo $I = [-3, 4)$. Determina el conjunto complementario $\mathbb{R} \setminus I$ y exprésalo como la unión de dos intervalos.
Tolerancias y problemas con valor absoluto
En ciencia y tecnología, una condición del tipo «no se aparte más de... del valor ideal» es un valor absoluto.
| En palabras | Desigualdad |
|---|---|
| no difiere de $a$ en más de $r$ | $\lvert x - a\rvert \le r$ |
| difiere de $a$ en menos de $r$ | $\lvert x - a\rvert < r$ |
| se aparta de $a$ en más de $r$ (rechazado) | $\lvert x - a\rvert > r$ |
Si la condición está dada como rechazo (por ejemplo $|d - 50| > 0{,}02$), lo aceptado es lo contrario: $|d - 50| \le 0{,}02$.
Si el centro de la diana, de la lente o de lo que sea es el origen del eje, queda $|d| < r$, o sea $(-r, r)$.
En un laboratorio de biología, una incubadora debe mantener una temperatura $T$ en grados Celsius que no difiera de $37^{\circ}\text{C}$ en más de $0,5^{\circ}\text{C}$.…
En un laboratorio de biología, una incubadora debe mantener una temperatura $T$ en grados Celsius que no difiera de $37^{\circ}\text{C}$ en más de $0,5^{\circ}\text{C}$. Expresa esta condición de tolerancia mediante una desigualdad con valor absoluto y determina el intervalo de temperaturas permitidas.
Una pieza de motor cilíndrica tiene un diámetro ideal de $50\text{ mm}$. El control de calidad rechaza la pieza si el diámetro $d$ medido cumple que $|d - 50| > 0,02$.…
Una pieza de motor cilíndrica tiene un diámetro ideal de $50\text{ mm}$. El control de calidad rechaza la pieza si el diámetro $d$ medido cumple que $|d - 50| > 0,02$. Escribe el intervalo de diámetros que son aceptados por el control de calidad.
En una competición de tiro con arco, un lanzamiento se considera "excelente" si la flecha impacta a una distancia $d$ del centro de la diana que cumple…
En una competición de tiro con arco, un lanzamiento se considera "excelente" si la flecha impacta a una distancia $d$ del centro de la diana que cumple $|d| < 2,5\text{ cm}$. Si la diana está situada de modo que su centro es el origen de coordenadas de un eje unidimensional, indica el intervalo de posiciones "excelentes".
Inecuaciones con valor absoluto
Para resolver $|expresión| \le c$ (con $c > 0$) se quita el valor absoluto con una cadena:
$$|u| \le c \iff -c \le u \le c.$$Y para $|u| > c$ se obtienen dos casos: $u < -c$ o $u > c$.
Cuando hay un sistema de condiciones, como «la distancia a $A$ es mayor que $5$» y «la distancia a $B$ es menor que $12$», se resuelve cada una por separado y se intersecan las soluciones.
Resuelve la inecuación $|2x - 5| \le 3$ y representa el conjunto solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación $|2x - 5| \le 3$ y representa el conjunto solución en forma de intervalo.
En un experimento de óptica, la posición $x$ de una lente a lo largo de un riel unidimensional debe satisfacer simultáneamente dos condiciones para que la imagen esté…
En un experimento de óptica, la posición $x$ de una lente a lo largo de un riel unidimensional debe satisfacer simultáneamente dos condiciones para que la imagen esté enfocada: la distancia a la fuente de luz $A$ (situada en $x=10$) debe ser mayor de $5\text{ cm}$, y la distancia a la pantalla $B$ (situada en $x=30$) debe ser menor de $12\text{ cm}$. Expresa estas condiciones mediante un sistema de inecuaciones con valor absoluto y determina el intervalo válido para la posición $x$.
Varios valores absolutos: el método por casos
Con dos o más valores absolutos no alcanza la cadena. Se parte la recta en tramos, separados por los puntos donde cada expresión interior se anula, y en cada tramo se quitan los valores absolutos con el signo que corresponda.
Para valores absolutos anidados se pela de afuera hacia adentro.
Encuentra el conjunto de números reales $x$ que satisfacen la inecuación $|x + 2| + |x - 3| \le 7$. Expresa el resultado en forma de intervalo. La figura muestra la…
Encuentra el conjunto de números reales $x$ que satisfacen la inecuación $|x + 2| + |x - 3| \le 7$. Expresa el resultado en forma de intervalo.
La figura muestra la gráfica de la función $f(x) = |x + 2| + |x - 3|$ y la recta $y = 7$, para que puedas contrastar tu resultado.
Resuelve la inecuación con valores absolutos anidados $||x - 1| - 2| \le 1$ y expresa la solución final como la unión de dos intervalos cerrados.
Resuelve la inecuación con valores absolutos anidados $||x - 1| - 2| \le 1$ y expresa la solución final como la unión de dos intervalos cerrados.
Inecuaciones cuadráticas
Para $ax^2 + bx + c > 0$ (o $<$, $\ge$, $\le$) se hallan las raíces con la fórmula resolvente y se estudia el signo en cada tramo.
Con $a > 0$, la parábola abre hacia arriba. Es negativa entre las raíces y positiva fuera de ellas.
¿Por qué? Una parábola con $a > 0$ cruza el eje horizontal en las raíces: solo ahí puede cambiar de signo. Como abre hacia arriba, queda por debajo del eje entre ambas.
Expresa como unión de intervalos el conjunto de todos los números reales que cumplen la inecuación cuadrática $x^2 - 4x - 5 > 0$.
Expresa como unión de intervalos el conjunto de todos los números reales que cumplen la inecuación cuadrática $x^2 - 4x - 5 > 0$.
Acotar con desigualdades: intervalos de error
Si una medida es $5{,}0 \pm 0{,}1$, el valor real está en $[4{,}9;\ 5{,}1]$. ¿En qué intervalo está una cantidad calculada con ella, como un área o un volumen?
Si una función es creciente en un intervalo de números positivos, conserva el orden: $p < q \Rightarrow f(p) < f(q)$. Entonces alcanza con calcular $f$ en los extremos. Esto vale para $x^2$ y $x^3$ con $x > 0$.
Si dejás $\pi$ sin aproximar, el extremo es una expresión exacta como $\frac{4}{3}\pi \cdot 4{,}9^3$. Los extremos están incluidos si el error se da como «$\le$» y excluidos si se da como «$<$».
La medida del radio de una esfera es $r = 5,0 \pm 0,1\text{ cm}$. Utilizando las propiedades de las desigualdades y los intervalos en la recta real, determina el…
La medida del radio de una esfera es $r = 5,0 \pm 0,1\text{ cm}$. Utilizando las propiedades de las desigualdades y los intervalos en la recta real, determina el intervalo estricto en el que se encuentra el volumen exacto de la esfera, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Considera el valor de $\pi$ sin aproximar en los extremos del intervalo resultante.
Puntos irracionales en la recta
Los racionales no llenan la recta: en los huecos están los irracionales. Algunos se pueden ubicar con exactitud, con regla y compás.
Raíces cuadradas con Pitágoras. Si $c^2 = a^2 + b^2$, el segmento de longitud $c$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos $a$ y $b$. Con un compás se lleva ese largo sobre la recta.
La proporción áurea. $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Se obtiene así: un cuadrado de lado $1$, el punto medio $M$ de un lado, y la diagonal desde $M$ hasta el vértice opuesto. Esa diagonal mide $\sqrt{1^2 + (\frac12)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ (Pitágoras). Con compás se lleva esa longitud sobre la recta a partir de $M$, y queda $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \varphi$ desde el origen.
Un irracional entre dos racionales. Entre dos números racionales siempre hay infinitos irracionales. Dos recetas:
-
Un decimal que no se repite. Por ejemplo, entre $0{,}3$ y $0{,}31$ está $0{,}3010010001\ldots$ (los ceros crecen de a uno): no es periódico, luego es irracional.
-
Si $p < q$ son racionales, $p + \dfrac{q - p}{\sqrt{2}}$ es irracional (racional más irracional) y está entre ambos, porque $\frac{1}{\sqrt{2}} < 1$.
Para saber dónde caen los extremos, pasalos a decimales: $\frac{10}{7} = 1{,}428571\ldots$ y $\frac{143}{100} = 1{,}43$.
Explica los pasos para representar de forma exacta el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta real utilizando el teorema de Pitágoras.
Explica los pasos para representar de forma exacta el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta real utilizando el teorema de Pitágoras.
En el diseño de la fachada de un edificio, se utiliza la proporción áurea $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Basándote en la figura adjunta, justifica analíticamente por…
En el diseño de la fachada de un edificio, se utiliza la proporción áurea $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Basándote en la figura adjunta, justifica analíticamente por qué la construcción mostrada determina exactamente el valor de $\phi$ en la recta real.
Demuestra, encontrando un ejemplo explícito, que entre los números racionales $\frac{10}{7}$ y $\frac{143}{100}$ existe al menos un número irracional.
Demuestra, encontrando un ejemplo explícito, que entre los números racionales $\frac{10}{7}$ y $\frac{143}{100}$ existe al menos un número irracional.
Volvé al principio: el sensor que mide $25{,}0\,^\circ\text{C}$ con incertidumbre de $0{,}2\,^\circ\text{C}$ queda descrito exactamente por el entorno $E(25;\ 0{,}2)$, la desigualdad $|T - 25| < 0{,}2$ o el intervalo $(24{,}8;\ 25{,}2)$.