Te conviene dominar: Introducción (1.° de Educación Media Superior (bachillerato))
Te conviene dominar: Regla de Laplace (8.° grado de Educación Básica Integrada (2.° de liceo))
Un celular tiene un patrón de desbloqueo, una bicicleta tiene un candado con clave y un equipo de fútbol tiene que ordenar a sus jugadores en la cancha. ¿Cuántas posibilidades hay en cada caso? Contarlas una por una es imposible: hay que tener técnicas. En este apartado ponemos nombre y fórmula a cada tipo de conteo, y al final volvemos a la clave del candado.
Principio multiplicativo y variaciones con repetición
Si una elección se hace en varias etapas y cada etapa no depende de las otras, el total se obtiene multiplicando las opciones de cada etapa.
Practica★☆☆Sin empezar
Un restaurante ofrece en su menú del día $4$ primeros platos, $5$ segundos platos y $3$ postres. Calcula cuántos menús completos diferentes (compuestos por un primero,…
Un restaurante ofrece en su menú del día $4$ primeros platos, $5$ segundos platos y $3$ postres. Calcula cuántos menús completos diferentes (compuestos por un primero, un segundo y un postre) puede pedir un cliente.
Un candado digital de una bicicleta se abre mediante una clave de $4$ dígitos (del $0$ al $9$). Determina cuántas claves diferentes se pueden configurar si está…
Un candado digital de una bicicleta se abre mediante una clave de $4$ dígitos (del $0$ al $9$). Determina cuántas claves diferentes se pueden configurar si está permitido repetir los dígitos.
Ahora se elige y se ordena, pero cada elemento usado ya no está disponible: el segundo factor es $n-1$, el tercero $n-2$, etcétera.
Practica★☆☆Sin empezar
Una asociación de robótica tiene $12$ miembros. Determina de cuántas formas distintas se puede elegir una junta directiva formada por un presidente, un vicepresidente y…
Una asociación de robótica tiene $12$ miembros. Determina de cuántas formas distintas se puede elegir una junta directiva formada por un presidente, un vicepresidente y un secretario, sabiendo que una misma persona no puede ocupar más de un cargo.
Un sistema de seguridad requiere una contraseña formada por $2$ letras vocales distintas seguidas de $3$ dígitos distintos (del $0$ al $9$). Calcula cuántas contraseñas…
Un sistema de seguridad requiere una contraseña formada por $2$ letras vocales distintas seguidas de $3$ dígitos distintos (del $0$ al $9$). Calcula cuántas contraseñas diferentes se pueden configurar bajo estas condiciones.
Siete amigos van al cine y se sientan en una fila de $7$ butacas. Dos de ellos, Ana y Bruno, quieren sentarse juntos obligatoriamente. Calcula de cuántas formas…
Siete amigos van al cine y se sientan en una fila de $7$ butacas. Dos de ellos, Ana y Bruno, quieren sentarse juntos obligatoriamente. Calcula de cuántas formas distintas pueden ocupar los asientos.
Si las personas se sientan alrededor de una mesa redonda, no hay «primer» asiento: si todos se corren un lugar, la disposición es la misma. Por eso se cuentan menos formas que en una fila.
Por qué: de las $n!$ ordenaciones en fila, cada disposición circular aparece $n$ veces (una por cada giro posible), así que $\dfrac{n!}{n} = (n-1)!$. Es lo mismo que fijar a una persona en un asiento y ordenar a las otras $n-1$.
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Cuatro hombres y cuatro mujeres van a sentarse a cenar alrededor de una mesa circular. Determina de cuántas formas distintas pueden sentarse si las personas del mismo…
Cuatro hombres y cuatro mujeres van a sentarse a cenar alrededor de una mesa circular. Determina de cuántas formas distintas pueden sentarse si las personas del mismo sexo no pueden estar juntas (es decir, hombres y mujeres deben estar alternados). Considera que dos disposiciones son iguales si una se puede obtener rotando la otra.
Cuando solo importa qué elementos se eligen y no el orden, se usan combinaciones. Ya viste el número combinatorio $\binom{n}{k}$.
Practica★☆☆Sin empezar
Una profesora de tecnología debe seleccionar a $4$ estudiantes de una clase de $20$ para que asistan a una feria de ciencias. Calcula cuántos grupos diferentes de…
Una profesora de tecnología debe seleccionar a $4$ estudiantes de una clase de $20$ para que asistan a una feria de ciencias. Calcula cuántos grupos diferentes de representantes se pueden formar.
En un plano se han marcado $8$ puntos, de los cuales no hay tres alineados. Determina cuántas rectas distintas se pueden trazar uniendo pares de estos puntos.
En un plano se han marcado $8$ puntos, de los cuales no hay tres alineados. Determina cuántas rectas distintas se pueden trazar uniendo pares de estos puntos.
En un torneo de ajedrez en el que cada participante juega exactamente una partida contra cada uno de los demás jugadores, se han disputado un total de $105$ partidas.…
En un torneo de ajedrez en el que cada participante juega exactamente una partida contra cada uno de los demás jugadores, se han disputado un total de $105$ partidas. Determina el número de jugadores que participaron en el torneo.
A veces hay que repartir unidades iguales entre varios destinos, y un destino puede quedarse con $0$. Ejemplo: repartir $5$ alfajores idénticos entre $3$ amigos. Lo único que importa es cuántos recibe cada uno.
Truco de «bolitas y barras»: se dibujan las $5$ unidades como bolitas y se usan $2$ barras para separar a los $3$ amigos. Cada reparto es una fila de $5+2=7$ símbolos.
Elegir en qué $2$ de los $7$ lugares van las barras determina el reparto: $\binom{7}{2} = 21$.
El porqué: hay $k$ bolitas y $n-1$ barras, o sea $n+k-1$ lugares, y se elige cuáles ocupan las bolitas (o las barras).
Practica★★★Sin empezar
Un inversor desea repartir $400\,000$ pesos entre $4$ empresas emergentes (startups). Si la inversión en cada empresa debe ser un múltiplo exacto de $40\,000$ pesos…
Un inversor desea repartir $400\,000$ pesos entre $4$ empresas emergentes (startups). Si la inversión en cada empresa debe ser un múltiplo exacto de $40\,000$ pesos (incluyendo la posibilidad de invertir $0$ pesos en alguna de ellas), determiná de cuántas formas distintas puede distribuir el capital.
En problemas más ricos se combinan las técnicas: elegir de varios grupos a la vez (se multiplican las combinaciones) y separar en casos excluyentes (se suman).
Practica★★☆Sin empezar
Un equipo de investigación biomédica debe estar formado por $5$ personas. Los candidatos disponibles son $6$ biólogos y $4$ químicos. Determina cuántos equipos distintos…
Un equipo de investigación biomédica debe estar formado por $5$ personas. Los candidatos disponibles son $6$ biólogos y $4$ químicos. Determina cuántos equipos distintos se pueden formar si en el equipo debe haber exactamente $3$ biólogos y $2$ químicos.
Una empresa tecnológica va a formar un comité de ciberseguridad de $6$ expertos elegidos entre $8$ ingenieros de software y $7$ analistas de redes. Calcula cuántos…
Una empresa tecnológica va a formar un comité de ciberseguridad de $6$ expertos elegidos entre $8$ ingenieros de software y $7$ analistas de redes. Calcula cuántos comités diferentes se pueden formar si en el grupo debe haber al menos $4$ ingenieros de software.
La Agencia Espacial Europea debe asignar a $12$ astronautas en $3$ módulos espaciales distintos (Módulo de Mando, Módulo Lunar y Módulo de Servicio). Calcula de cuántas…
La Agencia Espacial Europea debe asignar a $12$ astronautas en $3$ módulos espaciales distintos (Módulo de Mando, Módulo Lunar y Módulo de Servicio). Calcula de cuántas formas distintas se pueden distribuir a los tripulantes si cada módulo debe alojar exactamente a $4$ astronautas.
Ir de $A$ a $B$ por calles de una cuadrícula con el camino más corto significa avanzar solo hacia la derecha (D) y hacia arriba (U). Un camino es una ordenación de esos pasos.
Practica★★★Sin empezar
En una ciudad cuyas calles forman una cuadrícula perfecta, calcula cuántos caminos de longitud mínima existen para ir desde el punto $A(0,0)$ hasta el punto $B(6,5)$,…
En una ciudad cuyas calles forman una cuadrícula perfecta, calcula cuántos caminos de longitud mínima existen para ir desde el punto $A(0,0)$ hasta el punto $B(6,5)$, pasando obligatoriamente por la intersección $C(3,2)$.
Con la regla de Laplace, la probabilidad es casos favorables sobre casos posibles. Cuando se extrae sin orden y sin reposición, ambos se cuentan con combinaciones.
Practica★★☆Sin empezar
Un lote de $20$ microchips contiene $4$ defectuosos. Si se seleccionan al azar $3$ microchips sin reemplazamiento para una inspección, calcula la probabilidad de que…
Un lote de $20$ microchips contiene $4$ defectuosos. Si se seleccionan al azar $3$ microchips sin reemplazamiento para una inspección, calcula la probabilidad de que exactamente $1$ de ellos sea defectuoso.
De una baraja francesa de $52$ cartas se reparte una mano de $5$ cartas. Calcula la probabilidad de que el jugador obtenga exactamente $3$ Ases en su mano inicial.
De una baraja francesa de $52$ cartas se reparte una mano de $5$ cartas. Calcula la probabilidad de que el jugador obtenga exactamente $3$ Ases en su mano inicial.
Una urna contiene $5$ bolas rojas, $4$ bolas azules y $3$ bolas verdes. Si se extraen $3$ bolas simultáneamente al azar, calcula la probabilidad de que todas sean de…
Una urna contiene $5$ bolas rojas, $4$ bolas azules y $3$ bolas verdes. Si se extraen $3$ bolas simultáneamente al azar, calcula la probabilidad de que todas sean de distinto color.
Dos ideas ayudan en los problemas más exigentes: fijar los elementos que deben ocupar posiciones concretas (anagramas) y usar el complemento o la suma de casos cuando se pide «como máximo» o «al menos».
Practica★★☆Sin empezar
Las letras de la palabra $AEROPUERTO$ se desordenan al azar para formar un nuevo anagrama. Calcula la probabilidad de que la nueva palabra empiece y termine por la letra…
Las letras de la palabra $AEROPUERTO$ se desordenan al azar para formar un nuevo anagrama. Calcula la probabilidad de que la nueva palabra empiece y termine por la letra $O$.
En un proceso de control de calidad, se extrae una muestra aleatoria de $5$ piezas de una línea de producción que contiene un total de $50$ piezas, de las cuales el…
En un proceso de control de calidad, se extrae una muestra aleatoria de $5$ piezas de una línea de producción que contiene un total de $50$ piezas, de las cuales el $10\%$ son defectuosas. Calcula la probabilidad de encontrar como máximo $1$ pieza defectuosa en la muestra extraída.
Se extraen $5$ cartas al azar de una baraja francesa de $52$ cartas. Calcula la probabilidad de obtener un "Full House", es decir, una mano formada por $3$ cartas de un…
Se extraen $5$ cartas al azar de una baraja francesa de $52$ cartas. Calcula la probabilidad de obtener un "Full House", es decir, una mano formada por $3$ cartas de un mismo valor y $2$ cartas de otro valor distinto.