Problemas de estadística bidimensional
Valentina vive en un apartamento de Montevideo y quiere estimar cuánto va a pagar de UTE el mes que viene según la cantidad de personas que viven en casa. Tiene una recta de regresión y un coeficiente de correlación, pero ningún dato crudo. ¿Alcanza con eso para predecir? ¿Cuánto confiar en la predicción? Los problemas casi nunca te dan lo que necesitás: te dan trozos (dos rectas, o $r$ y una desviación, o solo sumatorias) y hay que combinar las fórmulas en el orden correcto. Este apartado es ese entrenamiento.
Covarianza y coeficiente de correlación
Ya conocés las piezas. Con los pares $(x_i, y_i)$ y $n$ datos:
Dos consecuencias útiles: si te dan $r$ y las dos desviaciones, la covarianza sale despejando, $\sigma_{xy}=r\,\sigma_x\sigma_y$; y si te dan la covarianza y las desviaciones, sale $r$.
Se ha medido el tiempo en horas ($X$) y la distancia recorrida en km ($Y$) por un ciclista en $5$ etapas, obteniendo los siguientes pares de valores $(x_i, y_i)$:…
Se ha medido el tiempo en horas ($X$) y la distancia recorrida en km ($Y$) por un ciclista en $5$ etapas, obteniendo los siguientes pares de valores $(x_i, y_i)$: $(2, 45)$, $(3, 65)$, $(4, 85)$, $(2, 40)$ y $(5, 110)$. Calcula la covarianza de esta distribución bidimensional.
En un estudio sobre el peso ($X$, en kg) y la altura ($Y$, en cm) de un grupo de estudiantes, se ha obtenido un coeficiente de correlación lineal $r = 0,85$. Si las…
En un estudio sobre el peso ($X$, en kg) y la altura ($Y$, en cm) de un grupo de estudiantes, se ha obtenido un coeficiente de correlación lineal $r = 0,85$. Si las desviaciones típicas marginales son $S_x = 12$ y $S_y = 8$, calcula el valor exacto de la covarianza $S_{xy}$.
Para una distribución bidimensional se conocen los siguientes datos: tamaño muestral $n = 10$, medias marginales $\bar{x} = 5$ e $\bar{y} = 8$, varianzas marginales…
Para una distribución bidimensional se conocen los siguientes datos: tamaño muestral $n = 10$, medias marginales $\bar{x} = 5$ e $\bar{y} = 8$, varianzas marginales $S_x^2 = 4$ y $S_y^2 = 9$. Además, la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 1,2x + 2$.
Calcula el valor exacto de la covarianza $S_{xy}$ y el coeficiente de correlación lineal $r$.
Tablas de doble entrada: marginales, condicionadas e independencia
Cuando los datos vienen en una tabla, cada celda es una frecuencia conjunta $f_{ij}$ (cuántos individuos tienen $x_i$ e $y_j$).
-
Distribución marginal de $Y$: sumás cada columna. Queda una tabla de una sola variable, con la que calculás $\bar y$ y $\sigma_y$ como siempre.
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Distribución condicionada $Y\,|\,X=x_i$: te quedás solo con la fila de $x_i$ y trabajás con esas frecuencias (el total es el de la fila, no el de toda la tabla).
-
Independencia: $X$ e $Y$ son independientes si para todas las celdas $f_{ij}=\dfrac{f_{i\cdot}\,f_{\cdot j}}{n}$, donde $f_{i\cdot}$ es el total de la fila y $f_{\cdot j}$ el de la columna.
En la siguiente tabla de contingencia se recogen los datos de $100$ piezas cerámicas, clasificadas según su tamaño ($X$: Pequeño=$1$, Grande=$2$) y su calidad ($Y$:…
En la siguiente tabla de contingencia se recogen los datos de $100$ piezas cerámicas, clasificadas según su tamaño ($X$: Pequeño=$1$, Grande=$2$) y su calidad ($Y$: Defectuosa=$0$, Óptima=$1$). Escribe la tabla de la distribución marginal de la variable $Y$ y calcula su media $\bar{y}$.
| $X \setminus Y$ | $0$ | $1$ |
|---|---|---|
| $1$ | $10$ | $40$ |
| $2$ | $15$ | $35$ |
La siguiente tabla de doble entrada muestra la distribución de $50$ familias según el número de hijos ($X$) y el número de vehículos que poseen ($Y$): | $X \setminus Y$…
La siguiente tabla de doble entrada muestra la distribución de $50$ familias según el número de hijos ($X$) y el número de vehículos que poseen ($Y$):
| $X \setminus Y$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $5$ | $8$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $12$ | $6$ |
| $2$ | $1$ | $4$ | $10$ |
Calcula la media y la desviación típica de la distribución condicionada del número de vehículos que poseen las familias sabiendo que tienen exactamente $1$ hijo (es decir, la distribución $Y|X=1$).
Se tiene la siguiente tabla de frecuencias conjuntas (frecuencias absolutas) para dos variables cualitativas $X$ e $Y$: | $X \setminus Y$ | $y_1$ | $y_2$ | | :---: |…
Se tiene la siguiente tabla de frecuencias conjuntas (frecuencias absolutas) para dos variables cualitativas $X$ e $Y$:
| $X \setminus Y$ | $y_1$ | $y_2$ |
|---|---|---|
| $x_1$ | $12$ | $18$ |
| $x_2$ | $20$ | $k$ |
Determina el valor exacto del parámetro $k$ sabiendo que las variables $X$ e $Y$ son estadísticamente independientes.
La recta de regresión y el centro de gravedad
Esto permite resolver problemas «al revés»: si la recta es $y=ax+b$ y conocés $\bar x$, entonces $\bar y=a\bar x+b$.
La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de una distribución bidimensional viene dada por la ecuación $y = 3,2x - 1,5$. Si la media aritmética de la variable $X$ es…
La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de una distribución bidimensional viene dada por la ecuación $y = 3,2x - 1,5$. Si la media aritmética de la variable $X$ es $\bar{x} = 4,5$, determina el valor de la media aritmética de la variable $Y$, $\bar{y}$.
De una distribución bidimensional se conocen los siguientes parámetros estadísticos: $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$, la varianza marginal de $X$, $S_x^2 = 16$, y la…
De una distribución bidimensional se conocen los siguientes parámetros estadísticos: $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$, la varianza marginal de $X$, $S_x^2 = 16$, y la covarianza $S_{xy} = 24$. Escribe la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
El diagrama de dispersión adjunto representa la relación entre la temperatura media mensual ($X$, en $^\circ\text{C}$) y el consumo de gas natural ($Y$, en $\text{m}^3$)…
El diagrama de dispersión adjunto representa la relación entre la temperatura media mensual ($X$, en $^\circ\text{C}$) y el consumo de gas natural ($Y$, en $\text{m}^3$) en una ciudad durante el último año. Sabiendo que las medias marginales son $\bar{x} = 15$ y $\bar{y} = 120$, y que la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $-3,5$, halla la ecuación de dicha recta y estima el consumo de gas para un mes con una temperatura media de $8 \ ^\circ\text{C}$.
Estimar y decidir si confiar
Una recta sirve para estimar $y$ dado $x$ sustituyendo. Pero la estimación vale tanto como el ajuste:
-
$|r|$ cercano a $1$: estimación fiable. Cercano a $0$: poco fiable.
-
$r^2$ es el coeficiente de determinación: la proporción de la variabilidad de $Y$ explicada por el modelo lineal. Si $r=0{,}7$, entonces $r^2=0{,}49$: el $49\,\%$.
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Conviene estimar dentro del rango de los datos (interpolar). Fuera de él (extrapolar) hay que ser muy prudente.
La nube baja de izquierda a derecha: covarianza negativa. Los puntos están pegados a la recta: correlación fuerte.
El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre la edad de un grupo de vehículos ($X$, en años) y su valor de mercado en la actualidad ($Y$, en miles de…
El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre la edad de un grupo de vehículos ($X$, en años) y su valor de mercado en la actualidad ($Y$, en miles de pesos). Observando la forma de la nube de puntos, indicá el signo que tendrá la covarianza y si la correlación lineal entre ambas variables es fuerte o débil.
Para estimar el consumo eléctrico mensual ($Y$, en kWh) en función del número de personas que habitan en una vivienda ($X$), se ha obtenido la recta de regresión…
Para estimar el consumo eléctrico mensual ($Y$, en kWh) en función del número de personas que habitan en una vivienda ($X$), se ha obtenido la recta de regresión $y = 45x + 120$ con un coeficiente de correlación $r = 0,92$. Estima el consumo para una vivienda con $4$ personas e indica si la estimación es muy fiable o poco fiable, justificando brevemente tu respuesta.
En un estudio que relaciona el presupuesto en marketing de varias empresas ($X$) con sus beneficios anuales ($Y$), se ha calculado que el coeficiente de correlación…
En un estudio que relaciona el presupuesto en marketing de varias empresas ($X$) con sus beneficios anuales ($Y$), se ha calculado que el coeficiente de correlación lineal es $r = 0,7$. ¿Qué porcentaje de la variabilidad de los beneficios queda explicada por el presupuesto en marketing según el modelo de regresión lineal propuesto?
El mapa de fórmulas: de dos pendientes a r y a las medias
Además, las dos rectas se cortan en $(\bar x,\bar y)$. Si te dan las dos ecuaciones, resolvés el sistema (sustitución o igualación, como en 1.° EMS) y obtenés las medias.
Al estudiar la relación estadística entre dos variables $X$ e $Y$, se han obtenido las siguientes rectas de regresión: Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,5x + 4$ Recta de…
Al estudiar la relación estadística entre dos variables $X$ e $Y$, se han obtenido las siguientes rectas de regresión:
Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,5x + 4$
Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 1,5y - 3$
Calcula las coordenadas del centro de gravedad de la distribución bidimensional $(\bar{x}, \bar{y})$.
Las rectas de regresión de una distribución bidimensional vienen dadas por las ecuaciones $y = -0,5x + 8$ (recta de $Y$ sobre $X$) y $x = -1,28y + 10$ (recta de $X$…
Las rectas de regresión de una distribución bidimensional vienen dadas por las ecuaciones $y = -0,5x + 8$ (recta de $Y$ sobre $X$) y $x = -1,28y + 10$ (recta de $X$ sobre $Y$).
Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$ y halla las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$.
En un estudio estadístico, la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 2x - 3$ y la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ es $x = 0,4y + 2$. Sabiendo que la varianza…
En un estudio estadístico, la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 2x - 3$ y la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ es $x = 0,4y + 2$. Sabiendo que la varianza marginal de la variable $X$ es $S_x^2 = 5$, calcula el valor de la varianza marginal de $Y$, $S_y^2$, y el valor de la covarianza $S_{xy}$.
La otra recta y cuándo coinciden
Si necesitás predecir $x$ a partir de $y$, usás la recta de $X$ sobre $Y$, no despejás la de $Y$ sobre $X$. Son rectas distintas porque cada una minimiza errores en una dirección diferente.
Hay un caso especial: si $r=\pm1$, las dos rectas de regresión coinciden. Intuitivamente, con $r=\pm1$ todos los puntos están alineados sobre una recta, y las dos rectas de regresión se ajustan sin error a esa misma recta. En términos de pendientes, como $r^2=m_{yx}\cdot m_{xy}=1$, la pendiente de la recta de $X$ sobre $Y$ es la inversa de la de $Y$ sobre $X$, o sea que, escritas ambas como $y=\dots$, tienen la misma inclinación; y las dos pasan por $(\bar x,\bar y)$.
Se ha realizado un estudio sobre el número de horas de entrenamiento semanal ($X$) y la marca obtenida en una prueba de atletismo ($Y$, en segundos) en un grupo de…
Se ha realizado un estudio sobre el número de horas de entrenamiento semanal ($X$) y la marca obtenida en una prueba de atletismo ($Y$, en segundos) en un grupo de corredores. Tras el análisis, se sabe que $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 45$, $S_x = 3$, $S_y = 2$ y la covarianza es $S_{xy} = -4,8$.
Calcula la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ y estima cuántas horas semanales entrenó un atleta que ha logrado una marca de $42$ segundos en la prueba.
Demuestra matemáticamente, utilizando las expresiones de las pendientes de las rectas de regresión en función de la covarianza y las varianzas marginales, que si el…
Demuestra matemáticamente, utilizando las expresiones de las pendientes de las rectas de regresión en función de la covarianza y las varianzas marginales, que si el coeficiente de correlación lineal es perfecto ($r = 1$ o $r = -1$), las dos rectas de regresión (la de $Y$ sobre $X$ y la de $X$ sobre $Y$) son rectas coincidentes.
Reconstruir todo a partir de sumatorias
Un dato faltante se averigua con la media: si $\bar y$ es conocida y un valor es $k$, planteás $\dfrac{\sum y_i}{n}=\bar y$ y despejás $k$; después seguís normalmente.
En un laboratorio de física se ha medido el alargamiento de un muelle elástico ($Y$, en cm) al colgarle diferentes masas ($X$, en kg). Los resultados obtenidos en el…
En un laboratorio de física se ha medido el alargamiento de un muelle elástico ($Y$, en cm) al colgarle diferentes masas ($X$, en kg). Los resultados obtenidos en el experimento son:
$X$: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$
$Y$: $2,1$, $3,9$, $6,2$, $7,8$, $10,1$, $12,2$
Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$ y la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
Una empresa de tecnología quiere predecir el número de ventas de un nuevo smartphone ($Y$, en miles de unidades) en función de las menciones diarias en redes sociales…
Una empresa de tecnología quiere predecir el número de ventas de un nuevo smartphone ($Y$, en miles de unidades) en función de las menciones diarias en redes sociales ($X$, en miles). Se han recopilado los datos de $8$ lanzamientos anteriores, obteniéndose los siguientes sumatorios:
$\sum x_i = 160$, $\sum y_i = 400$, $\sum x_i^2 = 3600$, $\sum y_i^2 = 21500$, $\sum x_i y_i = 8600$.
Calcula la covarianza, el coeficiente de correlación lineal y estima las ventas que se obtendrán si se registran $25$ mil menciones en el día del lanzamiento.
Una fábrica estudia la relación entre la antigüedad de sus máquinas ($X$, en años) y el costo anual de mantenimiento ($Y$, en cientos de pesos). Se tomaron datos de $4$…
Una fábrica estudia la relación entre la antigüedad de sus máquinas ($X$, en años) y el costo anual de mantenimiento ($Y$, en cientos de pesos). Se tomaron datos de $4$ máquinas, pero por un error informático se perdió el costo de mantenimiento de una de ellas. Los pares $(x_i, y_i)$ son: $(2, 160)$, $(3, 200)$, $(5, k)$, $(6, 360)$.
Sabiendo que la media marginal del costo de mantenimiento de las cuatro máquinas es $\bar{y} = 260$, determiná el valor de $k$ y, a continuación, calculá la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
Cambios de variable
Cambiar de unidades o de origen es muy común: pesos a miles de pesos, grados Celsius a otra escala, restar un valor de referencia.
Para deshacer un cambio de variable en una recta: se sustituye $u=\dfrac{x-h}{a}$, $v=\dfrac{y-k}{c}$ en $v=mu+n$ y se despeja $y$.
Linealizar un modelo exponencial
Si la nube sugiere $Y=A\,e^{BX}$, se toma $Z=\ln Y$: queda $\ln Y=\ln A+BX$, una recta en $(X,Z)$. Si el ajuste es $z=0{,}3x+2$, entonces $B=0{,}3$ y $\ln A=2$, o sea $A=e^2\approx7{,}39$.
El coeficiente de correlación entre los ingresos mensuales ($X$, en pesos) y el gasto en ocio ($Y$, en pesos) de un grupo de personas es $r = 0,75$. Si decidimos…
El coeficiente de correlación entre los ingresos mensuales ($X$, en pesos) y el gasto en ocio ($Y$, en pesos) de un grupo de personas es $r = 0,75$. Si decidimos expresar los ingresos en miles de pesos ($X' = \frac{X}{1000}$) y el gasto en ocio incrementarlo en una cantidad fija de $2\,000$ pesos debido a un subsidio ($Y' = Y + 2\,000$), ¿cuál será el nuevo coeficiente de correlación lineal entre $X'$ e $Y'$? Justificá tu respuesta utilizando las propiedades de la covarianza y las desviaciones estándar.
En un estudio estadístico sobre dos variables $X$ e $Y$, se ha realizado un cambio de variable tipificando o reescalando los datos originales de la forma…
En un estudio estadístico sobre dos variables $X$ e $Y$, se ha realizado un cambio de variable tipificando o reescalando los datos originales de la forma $U = \frac{X - 10}{5}$ y $V = \frac{Y - 20}{2}$. Se sabe que la recta de regresión de $V$ sobre $U$ es $v = 0,8u + 1,5$.
Encuentra, deshaciendo el cambio de variable, la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ en su forma explícita $y = mx + n$.
El siguiente diagrama de dispersión muestra el crecimiento de una colonia de bacterias ($Y$, en miles) en función del tiempo ($X$, en horas). La nube de puntos sugiere…
El siguiente diagrama de dispersión muestra el crecimiento de una colonia de bacterias ($Y$, en miles) en función del tiempo ($X$, en horas). La nube de puntos sugiere un crecimiento exponencial del tipo $Y = A \cdot e^{BX}$.
Para linealizar el modelo, se ha propuesto realizar el cambio de variable $Z = \ln(Y)$. Si al realizar el ajuste de regresión lineal de $Z$ sobre $X$ obtenemos la recta $z = 0,4x + 1,2$, determina los valores numéricos de las constantes $A$ y $B$ del modelo exponencial original.
Covarianza conjunta de dos grupos
Cuando las medias de los grupos son distintas
Si los centros de los grupos no coinciden, cada grupo tiene sus desviaciones medidas desde su propio centro, y hay que corregirlas: los datos de cada grupo están además corridos respecto del centro global $(\bar x,\bar y)$.
Se han estudiado dos grupos de empleados de una misma empresa multinacional para analizar la relación entre los años de experiencia ($X$) y el salario mensual ($Y$). En…
Se han estudiado dos grupos de empleados de una misma empresa multinacional para analizar la relación entre los años de experiencia ($X$) y el salario mensual ($Y$).
En el Grupo A, formado por $10$ empleados, se ha obtenido: $\bar{x}_A = 5$, $\bar{y}_A = 1500$, y una covarianza $S_{xy,A} = 200$.
En el Grupo B, formado por $20$ empleados, se ha obtenido: $\bar{x}_B = 5$, $\bar{y}_B = 1500$, y una covarianza $S_{xy,B} = 350$.
Calcula la covarianza total $S_{xy}$ si decidiéramos agrupar a los $30$ empleados en una única distribución bidimensional.
Volvé al principio: Valentina, con la recta y $r=0{,}92$, puede predecir el consumo para una cantidad de personas dentro del rango de los datos y confiar bastante, porque $r^2\approx0{,}85$. Para un valor muy alejado o con $r$ bajo no debería.