Cálculo de límites de funciones
La temperatura de un componente electrónico, el consumo de UTE de un hogar o la velocidad de un auto de prueba dependen de una variable. A veces la fórmula «se rompe» justo en el valor que te interesa, y la tabla solo te da una aproximación. Acá aprendés a calcular el límite con exactitud. Vas a ver cuándo alcanza con sustituir y qué hacer cuando no alcanza.
Sustitución directa y límites laterales
Si $f$ es una función «amable» (polinómica, racional con denominador no nulo, raíz de algo positivo, exponencial) y $a$ está en su dominio, el límite es simplemente $f(a)$.
Si al sustituir queda $\frac{k}{0}$ con $k\neq 0$, el límite no es una indeterminación: el cociente se hace enorme. Hay que mirar de qué lado te acercás, porque el signo puede cambiar.
Mirando una gráfica, los límites laterales se leen así: te acercás con el dedo al valor $x=a$ por cada lado y fijás a qué altura llegás. El valor que tenga la función exactamente en $a$ no importa. Lo mismo para $x\to+\infty$: mirás hacia dónde va la altura cuando la gráfica sigue hacia la derecha.
La temperatura de un componente electrónico (en grados Celsius) en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la expresión $T(t) = \frac{3t^2 - 5t + 12}{t + 2}$.…
La temperatura de un componente electrónico (en grados Celsius) en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la expresión $T(t) = \frac{3t^2 - 5t + 12}{t + 2}$. Calcula el límite de la temperatura cuando $t$ se aproxima a $3$ horas.
Estudia los límites laterales de la función $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ cuando $x$ tiende a $4$ y determina si existe el límite global en dicho punto.
Estudia los límites laterales de la función $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ cuando $x$ tiende a $4$ y determina si existe el límite global en dicho punto.
Funciones a trozos, valor absoluto y parámetros
En una función a trozos, el punto donde cambia la fórmula (el «empalme») es el lugar delicado. Se calcula cada límite lateral con el trozo que corresponde.
Para estudiar la continuidad en un punto $a$ comprobás tres cosas: que $f(a)$ exista, que exista el límite, y que sean iguales.
El valor absoluto es una función a trozos disfrazada: $|x|=x$ si $x\ge0$ y $|x|=-x$ si $x<0$. Por eso $\dfrac{|x|}{x}$ vale $1$ para $x>0$ y $-1$ para $x<0$.
Dada la siguiente función definida a trozos, calcula los límites laterales en $x = 2$ y determina si existe $\lim_{x \to 2} f(x)$:…
Dada la siguiente función definida a trozos, calcula los límites laterales en $x = 2$ y determina si existe $\lim_{x \to 2} f(x)$:
$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$
La velocidad de un vehículo de prueba (en m/s) en función del tiempo $t$ (en segundos) está definida a trozos como $v(t) = 3t + 2$ si $0 \le t < 4$, y $v(t) = t^2 - 2$…
La velocidad de un vehículo de prueba (en m/s) en función del tiempo $t$ (en segundos) está definida a trozos como $v(t) = 3t + 2$ si $0 \le t < 4$, y $v(t) = t^2 - 2$ si $t \ge 4$. Determina mediante límites laterales si la función velocidad es continua en el instante $t = 4$.
Estudia la existencia del límite en $x = 0$ de la función $f(x) = \frac{|x|}{x} + x^2$ calculando previamente sus límites laterales.
Estudia la existencia del límite en $x = 0$ de la función $f(x) = \frac{|x|}{x} + x^2$ calculando previamente sus límites laterales.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ que representa el perfil de temperatura de un proceso químico en función del tiempo $x$. Determina gráficamente los siguientes…
Observa la gráfica de la función $f(x)$ que representa el perfil de temperatura de un proceso químico en función del tiempo $x$. Determina gráficamente los siguientes límites: $\lim_{x \to 2^-} f(x)$, $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
Una compañía eléctrica establece su tarifa $T(x)$ en pesos en función del consumo $x$ en kWh. Para consumos menores a $100$ kWh, la tarifa es $T(x) = 6x + 200$. Para…
Una compañía eléctrica establece su tarifa $T(x)$ en pesos en función del consumo $x$ en kWh. Para consumos menores a $100$ kWh, la tarifa es $T(x) = 6x + 200$. Para consumos mayores o iguales a $100$ kWh, la tarifa cambia a $T(x) = \frac{ax^2 + 8\,000}{x}$. Hallá el valor del parámetro $a$ para que el límite de la tarifa exista cuando el consumo se acerca a $100$ kWh.
Indeterminación 0/0 en funciones racionales
Si numerador y denominador son polinomios que se anulan en $x=a$, los dos tienen el factor $(x-a)$ (teorema del resto). Se factoriza, se simplifica y se sustituye. Si no ves la factorización, usá Ruffini.
Si hay resta de fracciones, primero se reducen a común denominador.
Calcula el siguiente límite algebraico resolviendo la indeterminación mediante factorización: $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 7x + 10}$
Calcula el siguiente límite algebraico resolviendo la indeterminación mediante factorización:
$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 7x + 10}$
Resuelve la siguiente indeterminación factorizando los polinomios: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$
Resuelve la siguiente indeterminación factorizando los polinomios:
$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$
Calcula el valor del límite que presenta una indeterminación del tipo resta de fracciones algebraicas: $\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right)$
Calcula el valor del límite que presenta una indeterminación del tipo resta de fracciones algebraicas:
$\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right)$
El conjugado con raíces
Si la indeterminación viene con una raíz cuadrada, multiplicar y dividir por el conjugado usa $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ y elimina la raíz.
Fijate que la gráfica tiene un «agujero» en $x=4$, pero se acerca al valor $0{,}25$.
Cuando aparecen dos raíces en el numerador, el conjugado es la suma de ambas.
Resuelve el siguiente límite multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada correspondiente: $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}$
Resuelve el siguiente límite multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada correspondiente:
$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}$
Resuelve el siguiente límite con indeterminación $\frac{0}{0}$ que contiene dos radicales en el numerador: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{3x}$
Resuelve el siguiente límite con indeterminación $\frac{0}{0}$ que contiene dos radicales en el numerador:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{3x}$
Cuando el límite es infinito
Si el numerador tiende a un número no nulo y el denominador a $0$, el cociente se va a $\pm\infty$. El signo lo decide de qué lado venga el denominador.
En contextos físicos, un límite infinito indica que el modelo «explota»: no puede alcanzarse ese valor.
Considera un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm. Si $x$ es la longitud de la base del rectángulo, el área del mismo viene dada por la función…
Considera un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm. Si $x$ es la longitud de la base del rectángulo, el área del mismo viene dada por la función $A(x) = x \sqrt{400 - x^2}$. Un arquitecto necesita saber cómo se comporta la proporción entre el área del rectángulo y el cuadrado de su base cuando la base se hace muy pequeña. Calcula $\lim_{x \to 0^+} \frac{A(x)}{x^2}$.
La masa relativista de una partícula en movimiento viene dada por $m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad…
La masa relativista de una partícula en movimiento viene dada por $m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad de la partícula y $c$ es la velocidad de la luz. Calcula el límite de la masa cuando la velocidad $v$ tiende a la velocidad de la luz $c$ por la izquierda ($v \to c^-$) e interpreta el resultado matemático en el contexto físico.
Límites cuando $x\to+\infty$
Cuando $x$ crece sin cota, en un cociente de polinomios «manda» el término de mayor grado. Un truco seguro: dividir numerador y denominador por la mayor potencia de $x$ del denominador.
Con raíces, un $\sqrt{9x^2+4x}$ se comporta como $\sqrt{9x^2}=3x$ para $x$ positivo muy grande (grado $1$). Se saca $x$ de factor común o se divide por $x$.
También hay exponenciales: si $b>0$ entonces $e^{-bt}\to0$ cuando $t\to+\infty$. Por eso un modelo logístico $\dfrac{C}{1+De^{-bt}}$ tiende a $C$: es la «capacidad máxima».
Los parámetros en el infinito se hallan imponiendo la igualdad que pide el enunciado.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el límite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{kx^3 - 5x + 1}{2x^3 + x^2 - 8} = 4$
Calcula el valor del parámetro $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el límite:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{kx^3 - 5x + 1}{2x^3 + x^2 - 8} = 4$
Calcula el límite en el infinito de la siguiente función que contiene radicales, analizando los grados del numerador y del denominador:…
Calcula el límite en el infinito de la siguiente función que contiene radicales, analizando los grados del numerador y del denominador:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 4x} - 2x}{5x + 1}$
El número de usuarios registrados en una nueva plataforma de streaming, expresado en miles, se modela mediante la función logística…
El número de usuarios registrados en una nueva plataforma de streaming, expresado en miles, se modela mediante la función logística $U(t) = \frac{500}{1 + 49 e^{-0,2t}}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. ¿Hacia qué valor tiende el número de usuarios con el paso del tiempo?
La indeterminación $\infty-\infty$ con radicales
Una resta de raíces que tienden a infinito se resuelve con el conjugado, y luego se divide por la mayor potencia.
Cuando una de las partes es una fracción, se combina todo en una sola fracción y se aplica la regla de los grados. Si el resultado debe ser finito, los coeficientes de las potencias mayores tienen que anularse.
Con radicales de distinto índice conviene separar: restás y sumás $x$ para tratar cada raíz por su lado.
Calcula el siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ involucrando raíces cuadradas:…
Calcula el siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ involucrando raíces cuadradas:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el infinito:…
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el infinito:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{ax^2 + bx - 1}{x + 2} - 3x \right) = 5$
Resuelve la siguiente indeterminación $\infty - \infty$ con radicales de distinto índice. Presta especial atención a la estrategia algebraica necesaria para unificar o…
Resuelve la siguiente indeterminación $\infty - \infty$ con radicales de distinto índice. Presta especial atención a la estrategia algebraica necesaria para unificar o tratar por separado los términos:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x^3 + 6x^2} - \sqrt{x^2 + 2x} \right)$
La indeterminación $1^\infty$ y el número $e$
Determina el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación asociada al número $e$: $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 5}{x - 2} \right)^{3x}$
Determina el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación asociada al número $e$:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 5}{x - 2} \right)^{3x}$
Límites notables: seno y exponencial
Cuando aparece $1-\cos x$, se multiplica por el conjugado $1+\cos x$ y se usa $\sen^2x+\cos^2x=1$.
Sustituir $x=0$ en $\dfrac{e^{x}-1}{x}$ da $\frac00$; la regla sirve para salir de ahí. La idea es lograr que el denominador sea igual al exponente, multiplicando y dividiendo por la constante que haga falta.
Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, calcula el siguiente límite trigonométrico realizando las transformaciones algebraicas necesarias (pista: multiplica…
Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, calcula el siguiente límite trigonométrico realizando las transformaciones algebraicas necesarias (pista: multiplica numerador y denominador por el conjugado del numerador):
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un medio con índice de refracción variable. La desviación del rayo define un triángulo rectángulo cuya base mide $x$…
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un medio con índice de refracción variable. La desviación del rayo define un triángulo rectángulo cuya base mide $x$ y cuya altura viene dada por la curva $h(x) = \frac{1 - e^{-2x}}{x}$. Observa el diagrama y calcula el límite del área del triángulo sombreado $A(x)$ cuando $x \to 0^+$.
Resumen
Volvé al principio: cuando la fórmula «se rompe» justo en el valor que importa, el límite dice hacia dónde va la función, y con estas técnicas lo calculás sin tablas.