Teorema del resto
Valentina quiere saber el resto de dividir $P(x)=x^{2024}-3x^{2023}+2x^5-7x+4$ entre $x-3$. Nadie hace esa división entera: con una sola sustitución, $P(3)$, el problema se resuelve en un minuto. El teorema del resto es esa sustitución. Vamos a ver por qué funciona y todo lo que permite hacer: hallar parámetros, usar varias condiciones a la vez, evaluar exponentes enormes y hasta dividir por polinomios de grado $2$.
El teorema del resto
Calcula, sin efectuar la división, el resto de dividir el polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.
Calcula, sin efectuar la división, el resto de dividir el polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -x^5 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ para $x = -1$ e indica qué significado tiene este valor respecto a la división polinómica de…
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -x^5 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ para $x = -1$ e indica qué significado tiene este valor respecto a la división polinómica de $P(x)$ entre $x + 1$.
Determina el resto de la división de $P(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}$ entre $x - 2$ evaluando el polinomio.
Determina el resto de la división de $P(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}$ entre $x - 2$ evaluando el polinomio.
La posición de un móvil en línea recta en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por el polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metros). Utilizá el teorema…
La posición de un móvil en línea recta en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por el polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metros). Utilizá el teorema del resto para calcular la posición del móvil en el instante $t = 3$ y explicá la relación conceptual entre el valor hallado y la división polinómica de $x(t)$ entre $t - 3$.
El teorema del factor: cuando el resto es cero
Si el resto $P(a)$ da $0$, la división es exacta: $(x-a)$ es un factor de $P(x)$ y $a$ es una raíz. Es el mismo teorema aplicado al caso en que el resto se anula.
En la gráfica, las raíces son los puntos donde la curva corta al eje $x$:
Determina si el polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ es divisible por $x + 4$ aplicando el teorema del resto.
Determina si el polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ es divisible por $x + 4$ aplicando el teorema del resto.
Comprueba mediante el teorema del resto si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.
Comprueba mediante el teorema del resto si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.
Hallar un parámetro con una condición de resto
Cuando el polinomio tiene un coeficiente desconocido y se conoce (o se exige) un resto concreto, se sustituye igual y la condición se convierte en una ecuación para esa incógnita.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sea $4$.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sea $4$.
Encuentra el valor de $m$ sabiendo que la división del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ es exacta.
Encuentra el valor de $m$ sabiendo que la división del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ es exacta.
Sabiendo que el resto de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ es $-7$, calcula el valor del coeficiente $a$.
Sabiendo que el resto de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ es $-7$, calcula el valor del coeficiente $a$.
Varias condiciones a la vez: sistemas de ecuaciones
Con dos parámetros desconocidos se necesitan dos condiciones (dos restos, o un resto y una divisibilidad). Cada una da una ecuación y juntas forman un sistema, que se resuelve por sustitución, igualación o reducción.
También sirve para construir un polinomio a partir de sus raíces y de un dato más, o para usar valores numéricos (por ejemplo, una posición o un costo) como condiciones.
Halla los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sea divisible por $x - 2$ y deje un resto de $-24$ al dividirlo por…
Halla los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sea divisible por $x - 2$ y deje un resto de $-24$ al dividirlo por $x + 2$.
Determina el valor de $k$ para que el resto de dividir el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + x - k$ entre $x - 2$ sea idéntico al resto de dividir el polinomio…
Determina el valor de $k$ para que el resto de dividir el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + x - k$ entre $x - 2$ sea idéntico al resto de dividir el polinomio $Q(x) = x^2 - kx + 3$ entre $x + 1$.
Calcula el valor de $a$ y $b$ sabiendo que el polinomio $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ es divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 1)$.
Calcula el valor de $a$ y $b$ sabiendo que el polinomio $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ es divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 1)$.
La deflexión de una viga en un punto $x$ (en metros) viene dada por el polinomio $D(x) = kx^4 - 2x^3 + 3x^2$. Sabiendo que la deflexión en $x = 2$ es de $20$ mm, halla…
La deflexión de una viga en un punto $x$ (en metros) viene dada por el polinomio $D(x) = kx^4 - 2x^3 + 3x^2$. Sabiendo que la deflexión en $x = 2$ es de $20$ mm, halla el valor de la constante $k$ apoyándote en el teorema del resto y determina cuál será la deflexión en la coordenada $x = -1$.
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como coeficiente principal $2$. Sabiendo que es divisible por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$, y que al dividirlo por $(x - 2)$ da un…
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como coeficiente principal $2$. Sabiendo que es divisible por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$, y que al dividirlo por $(x - 2)$ da un resto de $16$, determina la expresión completa del polinomio $P(x)$ en su forma desarrollada.
Determina los coeficientes $a, b, c, d$ del polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ sabiendo que es divisible por el binomio $x^2 - 4$, que al dividirlo por…
Determina los coeficientes $a, b, c, d$ del polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ sabiendo que es divisible por el binomio $x^2 - 4$, que al dividirlo por $x - 1$ deja un resto de $15$, y que su término independiente es $-12$.
La capacidad calorífica de un material experimental se aproxima mediante el polinomio de tercer grado $C(T) = aT^3 + bT^2 + cT + d$. Sabemos que $C(T)$ es divisible por…
La capacidad calorífica de un material experimental se aproxima mediante el polinomio de tercer grado $C(T) = aT^3 + bT^2 + cT + d$. Sabemos que $C(T)$ es divisible por $T$, que a $T=1$ su valor es $4$, a $T=-1$ su valor es $0$ y a $T=2$ su valor es $18$. Formula el sistema de ecuaciones correspondiente utilizando el teorema del resto y halla la expresión analítica del polinomio $C(T)$.
El perfil de un canal de drenaje en un proyecto arquitectónico sigue la ecuación $y = P(x) = -kx^3 + 2kx^2 - 5x + c$, donde $y = 0$ representa el nivel del suelo. Se…
El perfil de un canal de drenaje en un proyecto arquitectónico sigue la ecuación $y = P(x) = -kx^3 + 2kx^2 - 5x + c$, donde $y = 0$ representa el nivel del suelo. Se sabe que el perfil corta el nivel del suelo en los puntos $x = 5$ y $x = -2$. Halla los valores exactos de $k$ y $c$ empleando el teorema del factor y determina la cota del perfil (altura respecto al suelo, negativa si queda por debajo) en el punto $x = 1$.
Sea el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4$. Sabiendo que es divisible por $x - 2$ y que la suma de los restos de dividirlo por $x - 1$ y por $x + 1$ es igual a $-10$,…
Sea el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4$. Sabiendo que es divisible por $x - 2$ y que la suma de los restos de dividirlo por $x - 1$ y por $x + 1$ es igual a $-10$, plantea el sistema de ecuaciones pertinente y determina los coeficientes $a$ y $b$.
Aplicaciones: evaluar y demostrar con el teorema del factor
Muchos problemas contextualizados dan un polinomio que modela algo (un costo, una población, una posición). Evaluar en un valor es lo mismo que hallar el resto de dividir entre $x-a$, y si el valor es $0$, $x-a$ es factor.
El costo de producción de $q$ miles de unidades de un componente electrónico sigue la ley $C(q) = 20q^4 - 120q^3 + 200q^2 + 480$ (en miles de pesos). Aplicá el teorema…
El costo de producción de $q$ miles de unidades de un componente electrónico sigue la ley $C(q) = 20q^4 - 120q^3 + 200q^2 + 480$ (en miles de pesos). Aplicá el teorema del resto para determinar el costo exacto de fabricar $4000$ unidades ($q=4$).
El crecimiento de una colonia de bacterias en un medio controlado se modela con el polinomio $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, donde $t$ es el tiempo en días y…
El crecimiento de una colonia de bacterias en un medio controlado se modela con el polinomio $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, donde $t$ es el tiempo en días y $P(t)$ representa la desviación respecto a la población inicial. Demuestra, utilizando el teorema del factor, que en los días $t=1$, $t=2$ y $t=3$ la población vuelve exactamente a su nivel inicial.
Exponentes enormes
El teorema del resto no distingue entre un polinomio de grado $3$ y uno de grado $2024$: sustituir cuesta igual. Lo único es manejar con cuidado las potencias, y casi siempre algunas se cancelan.
En un sistema de seguridad criptográfico, una clave se genera evaluando un polinomio de grado muy alto. La clave corresponde exactamente al resto de dividir el polinomio…
En un sistema de seguridad criptográfico, una clave se genera evaluando un polinomio de grado muy alto. La clave corresponde exactamente al resto de dividir el polinomio $P(x) = x^{2024} - 3x^{2023} + 2x^5 - 7x + 4$ entre el binomio $x - 3$. Calcula el valor numérico de dicha clave de seguridad justificando tu respuesta.
Demuestra, aplicando el teorema del resto, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n$. Utiliza este resultado…
Demuestra, aplicando el teorema del resto, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n$. Utiliza este resultado para deducir razonadamente el resto de la división de $x^5 - 32$ entre $x - 2$.
El resto al dividir por un polinomio de grado 2
Al dividir entre $x-a$ el resto es un número. Si el divisor es de grado $2$, el resto puede ser un polinomio de grado $1$: $mx+n$. Si conocemos las dos raíces del divisor, evaluar $P(x)$ en cada una da dos ecuaciones para hallar $m$ y $n$.
Halla el resto de dividir el polinomio $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ entre el polinomio de segundo grado $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$. Nota: Recuerda que el…
Halla el resto de dividir el polinomio $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ entre el polinomio de segundo grado $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$.
Nota: Recuerda que el resto de dividir por un polinomio de grado 2 es, a lo sumo, de la forma $mx + n$. Aplica el teorema del resto evaluando estratégicamente en las raíces del divisor.
Encuentra la expresión desarrollada de un polinomio $P(x)$ de tercer grado tal que, al dividirlo por $x+1$, $x-2$ y $x+3$, deje en todos los casos el mismo resto igual a…
Encuentra la expresión desarrollada de un polinomio $P(x)$ de tercer grado tal que, al dividirlo por $x+1$, $x-2$ y $x+3$, deje en todos los casos el mismo resto igual a $5$, y que al dividirlo por $x-1$ deje un resto de $-7$.
Nota: Piensa en la relación entre el polinomio auxiliar $P(x) - 5$ y el teorema del factor.
Vuelta al principio: el resto de $P(x)=x^{2024}-3x^{2023}+2x^5-7x+4$ entre $x-3$ es $P(3)=469$, sin dividir.