Medida de ángulos: grados y radianes
Hasta ahora mediste los ángulos en grados: $360$ partes iguales para una vuelta, una unidad heredada de los babilonios. Pero la rueda de una noria, el disco de un tocadiscos o el haz del faro de Punta del Este giran, y para describir giros hay una unidad más natural: el radián. En este apartado vas a ver de dónde sale, cómo pasar de un sistema al otro (sexagesimal y circular) y por qué simplifica las fórmulas de arco, de área y de velocidad.
El radián: cuando el arco mide lo mismo que el radio
Imaginá que tomás un hilo del largo del radio de una circunferencia y lo apoyás sobre el borde. El ángulo central que abarca ese arco, igual de largo que el radio, es un radián. No importa si la circunferencia es chica o enorme: la proporción entre arco y radio es la misma.
La circunferencia entera mide $2\pi r$ y cada radián abarca un arco de longitud $r$: en una vuelta caben exactamente $2\pi$ radianes. Por eso $2\pi$ rad $=360^\circ$. El sistema de grados se llama sexagesimal y el de radianes, circular.
Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué…
Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué cuadrante se encuentra.
Conversión entre grados y radianes
Una vuelta son $360^\circ$ y también $2\pi$ rad, o sea, media vuelta son $180^\circ = \pi$ rad. De ahí sale una regla de tres.
Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y…
Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y $330^\circ$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Grados, minutos y segundos
A veces un ángulo no es un número entero de grados. En el sistema sexagesimal, un grado se divide en $60$ minutos y un minuto en $60$ segundos: $1^\circ=60'$ y $1'=60''$. Es como las horas, los minutos y los segundos del reloj.
Para pasar de grados decimales a grados, minutos y segundos: la parte entera son los grados; la parte decimal se multiplica por $60$ y da los minutos; la parte decimal de los minutos se vuelve a multiplicar por $60$ y da los segundos.
En una pista de atletismo circular, un corredor se desplaza por la calle interior manteniéndose a $50$ metros del centro. Si recorre una distancia de $120$ metros,…
En una pista de atletismo circular, un corredor se desplaza por la calle interior manteniéndose a $50$ metros del centro. Si recorre una distancia de $120$ metros, calcula el ángulo que ha descrito respecto al centro de la pista en radianes. Expresa también este resultado en grados, minutos y segundos.
Ángulos de triángulos y polígonos
Dos datos de 9.° que se usan mucho con radianes: los ángulos interiores de un triángulo suman $180^\circ=\pi$ rad, y los de un polígono convexo de $n$ lados suman $(n-2)\cdot180^\circ$. La razón: desde un vértice se trazan las diagonales y el polígono queda dividido en $n-2$ triángulos.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $80^\circ$, determina la medida de los tres ángulos expresada en…
Los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $80^\circ$, determina la medida de los tres ángulos expresada en radianes (utilizando fracciones de $\pi$).
Vueltas completas, ángulos negativos y cuadrante
Un ángulo puede pasar de una vuelta ($2\pi$ o $360^\circ$) o ser negativo (giro en sentido horario). Para saber dónde termina, le sumás o restás vueltas completas hasta dejarlo entre $0$ y $2\pi$ (o entre $0^\circ$ y $360^\circ$). Después se mira el cuadrante: I de $0$ a $\frac{\pi}{2}$, II hasta $\pi$, III hasta $\frac{3\pi}{2}$ y IV hasta $2\pi$.
Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final…
Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final de cada uno: $1250^\circ$ y $2460^\circ$.
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y…
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y $-\frac{13\pi}{6}$.
Longitud de arco y área de un sector circular
Como $1$ rad es un arco igual al radio, un ángulo de $\theta$ rad abarca un arco de $\theta$ radios. Así, la longitud del arco es el ángulo por el radio, sin ningún factor extra.
Calcula el ángulo central subtendido por un arco de $12$ cm de longitud en una circunferencia cuyo radio es de $4$ cm. Expresa el resultado tanto en radianes como en…
Calcula el ángulo central subtendido por un arco de $12$ cm de longitud en una circunferencia cuyo radio es de $4$ cm. Expresa el resultado tanto en radianes como en grados sexagesimales.
Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ cm de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ cm de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ metros y la cabeza del aspersor barre un ángulo de…
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ metros y la cabeza del aspersor barre un ángulo de $140^\circ$. Calcula el área total del terreno regado y la longitud del arco exterior que describe el agua.
Velocidad angular
Cuando algo gira (un disco, una rueda, el haz de un faro) interesa qué ángulo recorre por unidad de tiempo. Esa es la velocidad angular, que se mide en rad/s.
Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el…
Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el ángulo, en radianes, que describe un punto de su borde en $2,5$ segundos.
El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ cm y la polea conducida…
El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ cm y la polea conducida tiene un radio de $45$ cm. Si la polea motriz gira un ángulo de $\frac{7\pi}{2}$ radianes, calcula cuántos radianes gira la polea conducida y cuántas vueltas completas da.
El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ cm. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ km/h, calcula la velocidad angular de las ruedas expresada…
El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ cm. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ km/h, calcula la velocidad angular de las ruedas expresada en radianes por segundo. Posteriormente, determina el ángulo total girado por una rueda en un trayecto de $15$ minutos y conviértelo a número de vueltas completas.
Las agujas del reloj
Un reloj es un problema de velocidades angulares constantes. El minutero da una vuelta en $60$ minutos: $360^\circ:60=6^\circ$ por minuto. La aguja horaria da una vuelta en $12$ horas: $360^\circ:12=30^\circ$ por hora, o sea $0{,}5^\circ$ por minuto. En radianes: el minutero gira $\dfrac{\pi}{30}$ rad/min y la horaria, $\dfrac{\pi}{360}$ rad/min.
Calcula el ángulo menor, expresado en grados sexagesimales y en radianes, que forman las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) exactamente a las 16:20 h.
Calcula el ángulo menor, expresado en grados sexagesimales y en radianes, que forman las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) exactamente a las 16:20 h.
Determina la hora exacta, comprendida entre las 7:00 h y las 8:00 h, en la que las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) se encuentran perfectamente…
Determina la hora exacta, comprendida entre las 7:00 h y las 8:00 h, en la que las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) se encuentran perfectamente superpuestas. Expresa también el ángulo total barrido por la aguja horaria desde las 7:00 h hasta ese instante preciso, en radianes.
Sumar arcos que se acortan: progresión geométrica
Un péndulo que se frena va dejando arcos cada vez más cortos: si cada oscilación alcanza, por ejemplo, el $80\,\%$ del arco anterior, las longitudes forman una progresión geométrica: $a_1,\ a_1r,\ a_1r^2,\dots$ con razón $r=0{,}8$. La distancia total es la suma de todos esos arcos, y como $s=r\theta$ cada arco sale del ángulo máximo de su oscilación.
Un péndulo de longitud $L = 1$ metro oscila describiendo arcos de circunferencia; cada oscilación es el recorrido de un extremo al extremo opuesto. En su primera…
Un péndulo de longitud $L = 1$ metro oscila describiendo arcos de circunferencia; cada oscilación es el recorrido de un extremo al extremo opuesto. En su primera oscilación, el ángulo máximo que forma con la vertical es de $\frac{\pi}{6}$ radianes. Debido a la fricción, en cada oscilación posterior, el ángulo máximo alcanzado se reduce en un $10\%$ respecto a la oscilación inmediatamente anterior. Planteando la suma de la serie geométrica infinita correspondiente, calcula la distancia total recorrida por la masa del péndulo hasta detenerse por completo.
Volvé al principio: el faro, la noria y el disco giran, y el radián permite describir esos giros con $s=r\theta$ y $v=\omega r$ sin factores de conversión.