Problemas de límites y continuidad
Servís un mate y lo dejás sobre la mesa. ¿A qué temperatura va a estar dentro de dos horas? No hace falta esperar: con un límite podés predecirlo. En esta página usás los límites y la continuidad como herramienta para responder preguntas de la vida real: qué pasa «a la larga», qué pasa cuando algo se acerca a un valor prohibido y cuándo un modelo da un salto que no tiene sentido.
Equilibrio con exponenciales
Muchos fenómenos (enfriamiento, epidemias, crecimiento limitado) se acercan a un valor estable. Ese valor es el límite cuando la variable tiende a $+\infty$. Con exponenciales hay que recordar una sola cosa: si $k>0$, entonces $e^{-kt}\to 0$ cuando $t\to+\infty$.
El modelo logístico también tiene un tope. En $N(t)=\dfrac{M}{1+A\,e^{-kt}}$ el denominador tiende a $1$, y por eso $N(t)\to M$: el valor máximo que admite el sistema. El valor inicial sale de evaluar en $t=0$: $N(0)=\dfrac{M}{1+A}$.
La temperatura $T$ (en grados Celsius) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = 22 + 65 e^{-0,05t}$. Calcula el…
La temperatura $T$ (en grados Celsius) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = 22 + 65 e^{-0,05t}$. Calcula el límite de la temperatura cuando el tiempo tiende a infinito e interpreta el significado físico de este resultado.
La propagación de un virus en una ciudad sigue el modelo logístico $N(t) = \frac{100000}{1 + 4999 e^{-0,2t}}$, donde $N(t)$ es el número de infectados y $t$ son los días…
La propagación de un virus en una ciudad sigue el modelo logístico $N(t) = \frac{100000}{1 + 4999 e^{-0,2t}}$, donde $N(t)$ es el número de infectados y $t$ son los días transcurridos desde el inicio del brote. Calcula el número de infectados en el instante inicial ($t=0$) y el límite cuando $t \to \infty$. ¿Qué representa este límite en el contexto epidemiológico?
Equilibrio con funciones racionales
Cuando el modelo es un cociente de polinomios, el límite en el infinito depende de los grados:
Se justifica dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de $x$: los términos con $\frac1x$, $\frac1{x^2}$… tienden a $0$ y solo quedan los coeficientes principales.
Una variante muy común es el costo medio: $C_m(x)=\dfrac{\text{costo fijo}+\text{costo variable}\cdot x}{x}$. Al separar fracciones queda $\dfrac{\text{fijo}}{x}+\text{variable}$, y el primer término tiende a $0$.
El número de individuos de una población de ciervos en un parque natural se modeliza mediante la función $P(t) = \frac{1500t + 400}{2t + 1}$, donde $t$ es el tiempo…
El número de individuos de una población de ciervos en un parque natural se modeliza mediante la función $P(t) = \frac{1500t + 400}{2t + 1}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en años desde 2020. ¿Hacia qué valor tiende la población a muy largo plazo?
El costo medio de producir $x$ unidades de un componente electrónico es $C_m(x) = \frac{120\,000 + 200x}{x}$ pesos. Calculá el límite de $C_m(x)$ cuando $x \to \infty$ y…
El costo medio de producir $x$ unidades de un componente electrónico es $C_m(x) = \frac{120\,000 + 200x}{x}$ pesos. Calculá el límite de $C_m(x)$ cuando $x \to \infty$ y explicá su significado económico en términos de costos de producción.
La concentración de un fármaco en la sangre (en mg/L) después de $t$ horas de su administración viene dada por $C(t) = \frac{50t}{t^2 + 4}$. Calcula el límite de $C(t)$…
La concentración de un fármaco en la sangre (en mg/L) después de $t$ horas de su administración viene dada por $C(t) = \frac{50t}{t^2 + 4}$. Calcula el límite de $C(t)$ cuando $t \to \infty$ y razona qué le ocurre al fármaco en el organismo con el paso del tiempo.
Acercarse a un valor por un lado: límites laterales
A veces el modelo solo tiene sentido hasta cierto valor, y lo que importa es qué pasa al acercarse a ese valor. Usamos $t\to a^-$ (por la izquierda, con valores menores que $a$) o $t\to a^+$ (por la derecha).
Cuando el denominador tiende a $0$ y el numerador no, el límite es infinito. Para decidir el signo, miramos de qué lado nos acercamos.
Eso es lo que pasa en la relatividad: la energía de una partícula contiene $\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$, que crece sin cota cuando $v\to c^-$. Para alcanzar $c$ haría falta energía infinita.
Un depósito de agua de $100$ litros se vacía abriendo una válvula. El volumen de agua restante sigue la función $V(t) = 100\left(1 - \frac{t}{60}\right)^2$, donde $t$…
Un depósito de agua de $100$ litros se vacía abriendo una válvula. El volumen de agua restante sigue la función $V(t) = 100\left(1 - \frac{t}{60}\right)^2$, donde $t$ está en minutos ($0 \le t \le 60$). Calcula el límite de $V(t)$ cuando $t \to 60^-$ e interpreta el resultado.
En la teoría de la relatividad, la energía cinética de una partícula de masa en reposo $m_0$ moviéndose a velocidad $v$ es…
En la teoría de la relatividad, la energía cinética de una partícula de masa en reposo $m_0$ moviéndose a velocidad $v$ es $E_c = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right)$, donde $c$ es la velocidad de la luz. Calcula el límite de $E_c$ cuando $v \to c^-$. ¿Qué implicación física tiene este resultado respecto a la posibilidad de que una partícula masiva alcance la velocidad de la luz?
Tarifas a trozos y continuidad
Las tarifas por tramos (UTE, OSE, planes de datos del celular) se definen a trozos. Para ver si hay un «salto injusto» en el empalme $x=a$ se comprueban tres cosas:
Cuando una función tiene un parámetro $a$, se iguala el límite por la izquierda con el valor (y con el límite por la derecha) y se despeja.
Una compañía telefónica cobra según la función $C(x)$ (en pesos), donde $x$ son los gigabytes consumidos en un mes:…
Una compañía telefónica cobra según la función $C(x)$ (en pesos), donde $x$ son los gigabytes consumidos en un mes:
$C(x) = \begin{cases} 600 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 600 + 80(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$
Estudiá la continuidad de la función en $x = 10$ calculando los límites laterales e indicá si hay algún salto brusco en la tarifa.
El salario mensual de un vendedor es $S(x) = \begin{cases} 1200 + 10x & \text{si } 0 \le x \le 50 \\ a + 15x & \text{si } x > 50 \end{cases}$, donde $x$ es el número de…
El salario mensual de un vendedor es $S(x) = \begin{cases} 1200 + 10x & \text{si } 0 \le x \le 50 \\ a + 15x & \text{si } x > 50 \end{cases}$, donde $x$ es el número de ventas realizadas. Halla el valor del parámetro $a$ para que la función sea continua en $x = 50$, evitando así un salto injustificado en el sueldo.
Huecos: la indeterminación $\frac00$
Si al sustituir aparece $\frac00$, numerador y denominador comparten un factor que se anula. Se factoriza, se simplifica y se vuelve a sustituir. El resultado es la altura del «hueco» de la gráfica (discontinuidad evitable).
La gráfica de $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ es la recta $y=x+5$ con un hueco en $x=5$, donde la función no está definida. El modelo no puede evaluarse ahí, pero el límite vale $10$ y sirve como «valor continuo» natural.
Un parámetro puede quedar determinado si se exige que el límite exista (y sea finito). Si el denominador se anula en $a$ y el límite es finito, el numerador también tiene que anularse en $a$.
La gráfica muestra la función de demanda $D(p) = \frac{p^2 - 100}{p - 10}$ para un producto, donde $p$ es el precio en pesos y $D(p)$ la cantidad demandada, válida para…
La gráfica muestra la función de demanda $D(p) = \frac{p^2 - 100}{p - 10}$ para un producto, donde $p$ es el precio en pesos y $D(p)$ la cantidad demandada, válida para $p \neq 10$. Calculá analíticamente el límite de la demanda cuando el precio $p$ se acerca a $10$ pesos. ¿Por qué creés que el modelo matemático presenta una discontinuidad (un "hueco") exactamente en $p=10$?
La eficiencia de un panel solar en función de la temperatura $T$ (en grados Celsius) viene dada por la expresión $E(T) = \frac{T^3 - 27}{T^2 - 9}$ para valores cercanos…
La eficiencia de un panel solar en función de la temperatura $T$ (en grados Celsius) viene dada por la expresión $E(T) = \frac{T^3 - 27}{T^2 - 9}$ para valores cercanos a $T = 3$ (una temperatura crítica en un ensayo de laboratorio). Calcula el límite de la eficiencia cuando $T \to 3$ para determinar el valor teórico continuo en ese punto.
La función de demanda de un artículo de lujo es $D(p) = \frac{p^2 + ap + b}{p^2 - 4p + 3}$, donde $p$ es el precio en miles de pesos. Se sabe que la función tiene una…
La función de demanda de un artículo de lujo es $D(p) = \frac{p^2 + ap + b}{p^2 - 4p + 3}$, donde $p$ es el precio en miles de pesos. Se sabe que la función tiene una asíntota vertical en $p = 1$ pero NO tiene asíntota vertical en $p = 3$ (la discontinuidad en $p=3$ es evitable). Sabiendo que el límite de la demanda cuando $p \to 3$ es $2$, hallá los parámetros $a$ y $b$.
Funciones a trozos con parámetros y huecos
Un modelo a trozos puede tener varios empalmes, y cada uno da una ecuación. Con dos parámetros se necesitan dos empalmes, es decir, un sistema $2\times2$. Si un tramo es un cociente con $\frac00$, antes se calcula su límite.
También puede haber parámetros dentro de una función racional con un límite en el infinito conocido. En $I(t)=\dfrac{at^2+bt+c}{t^2+1}$, el límite en $+\infty$ es el cociente de coeficientes principales: vale $a$. El valor en $t=0$ es $c$. Con un tercer dato, como el límite en un punto, se calcula $b$.
El porcentaje de impuestos $I(x)$ que paga una empresa en función de sus ganancias $x$ (en cientos de miles de pesos) se rige por la siguiente función:…
El porcentaje de impuestos $I(x)$ que paga una empresa en función de sus ganancias $x$ (en cientos de miles de pesos) se rige por la siguiente función:
$I(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } 0 \le x < 3 \\ ax + b & \text{si } 3 \le x \le 6 \\ 12 & \text{si } x > 6 \end{cases}$
Calculá los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función impositiva sea continua en todo su dominio.
La concentración de un contaminante químico en un río se modeliza con la función:…
La concentración de un contaminante químico en un río se modeliza con la función:
$C(t) = \begin{cases} \frac{t^2 - 16}{t - 4} & \text{si } 0 \le t < 4 \\ at + b & \text{si } 4 \le t \le 8 \\ \frac{2t^2 - 32}{t - 4} & \text{si } t > 8 \end{cases}$
Halla los valores de $a$ y $b$ para que el modelo de concentración sea una función continua en todo momento.
Un modelo de propagación de una epidemia estima que el número de infectados (en miles) sigue la función racional $I(t) = \frac{at^2 + bt + c}{t^2 + 1}$, donde $t$ es el…
Un modelo de propagación de una epidemia estima que el número de infectados (en miles) sigue la función racional $I(t) = \frac{at^2 + bt + c}{t^2 + 1}$, donde $t$ es el tiempo en semanas. Se sabe que a muy largo plazo el número de infectados se estabiliza en $50$ mil, que en el instante inicial $t=0$ había $10$ mil infectados, y que el límite de la función cuando $t \to 1$ es $35$. Halla los parámetros $a, b, c$.
Valor absoluto y límites laterales
Con $|x-a|$ la función cambia de fórmula en $x=a$, así que los límites laterales pueden ser distintos. Recordá que $|x-a|=x-a$ si $x>a$ y $|x-a|=-(x-a)$ si $x La trayectoria vertical de un dron en una prueba de vuelo se ha programado según la función $h(t) = \frac{|t^2 - 9|}{t - 3}$ para $t \neq 3$, donde $h$ es la altura en metros y $t$ el tiempo en segundos. Para evitar un fallo en el software, el ingeniero debe asignar un valor a $h(3)$. Estudia los límites laterales en $t=3$. ¿Es posible definir $h(3)$ para que la función sea continua? Explica las consecuencias físicas de este comportamiento.La trayectoria vertical de un dron en una prueba de vuelo se ha programado según la función $h(t) = \frac{|t^2 - 9|}{t - 3}$ para $t \neq 3$, donde $h$ es la altura en…
La velocidad instantánea como límite
Si $e(t)$ es el espacio recorrido, la velocidad media entre $t=a$ y $t=a+h$ es $\dfrac{e(a+h)-e(a)}{h}$. Cuando $h$ se hace muy chico, la media se parece a la velocidad en el instante $a$. Pero al sustituir $h=0$ queda $\frac00$: hay que simplificar antes.
Esta idea (el límite de la tasa de variación media) es el punto de partida de la derivada.
El espacio recorrido por un móvil en metros está dado por la función $e(t) = t^2 + 3t$. La velocidad media entre los instantes $t = 2$ y $t = 2+h$ se calcula mediante el…
El espacio recorrido por un móvil en metros está dado por la función $e(t) = t^2 + 3t$. La velocidad media entre los instantes $t = 2$ y $t = 2+h$ se calcula mediante el cociente $\frac{e(2+h) - e(2)}{h}$. Calculá el límite de esta expresión cuando $h \to 0$ para hallar la velocidad instantánea en $t = 2$.
En el infinito: $\infty-\infty$ y asíntotas oblicuas
Cuando se restan dos expresiones que crecen sin límite, no se puede decir que el resultado sea $0$ ni infinito. Hay que transformar la expresión.
Con raíces: se multiplica y divide por el conjugado.
Con fracciones: si el numerador tiene un grado más que el denominador, se divide los polinomios. El cociente es una recta (la asíntota oblicua) y el resto, dividido por el denominador, tiende a $0$.
La misma idea sirve cuando una recta o un punto «se escapa» a infinito: se escribe la coordenada pedida como cociente y se estudian los grados.
El beneficio a largo plazo de una empresa de tecnología está dado por la diferencia entre dos modelos de previsión de ingresos y costos:…
El beneficio a largo plazo de una empresa de tecnología está dado por la diferencia entre dos modelos de previsión de ingresos y costos: $B(t) = \sqrt{t^2 + 50t + 100} - \sqrt{t^2 + 10t}$, donde $t$ es el tiempo en meses. Calculá el límite del beneficio cuando $t \to \infty$ multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada.
El costo de mantenimiento de dos servidores informáticos a largo plazo viene dado por las expresiones $C_1(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 - 1}$ y…
El costo de mantenimiento de dos servidores informáticos a largo plazo viene dado por las expresiones $C_1(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 - 1}$ y $C_2(x) = \frac{x^2 + 5x}{x + 1}$, donde $x$ son los meses de uso continuo. Se quiere saber si la diferencia de costo entre ambos servidores se estabiliza con el tiempo. Calculá $\lim_{x \to \infty} (C_1(x) - C_2(x))$.
Un punto $P(x, x^2)$ se mueve sobre la parábola $y = x^2$ en el primer cuadrante. Se traza una línea recta que pasa por el punto fijo $A(0, 1)$ y por el punto $P$. Esta…
Un punto $P(x, x^2)$ se mueve sobre la parábola $y = x^2$ en el primer cuadrante. Se traza una línea recta que pasa por el punto fijo $A(0, 1)$ y por el punto $P$. Esta recta interseca al eje de abscisas en un punto $Q$. Calcula las coordenadas del punto $Q$ en función de $x$ y halla el límite de la posición de $Q$ cuando el punto $P$ se aleja hacia el infinito ($x \to \infty$).
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
La indeterminación $1^\infty$ y el número $e$
Hay un límite que sirve de base para todo lo demás:
Cuando la base tiende a $1$ y el exponente a $\infty$, se escribe la base como $1+(\text{algo que tiende a }0)$ y se reacomoda el exponente.
Una forma general: si $f\to1$ y $g\to\infty$, entonces $\lim f^{\,g}=e^{\lim\,g\,(f-1)}$.
Interés compuesto continuo. Con capital inicial $C_0$, tasa anual $r$ y $n$ capitalizaciones por año, el monto a los $t$ años es $C_0\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}$. Si $n\to\infty$:
$$\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}=\left[\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n}\right]^{t}\to\left(e^{r}\right)^{t}=e^{rt}.$$Entonces el monto continuo es $C(t)=C_0\,e^{rt}$.
El capital acumulado en una cuenta bancaria con interés compuesto continuo se puede modelizar mediante el límite…
El capital acumulado en una cuenta bancaria con interés compuesto continuo se puede modelizar mediante el límite $C(t) = \lim_{n \to \infty} C_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$, donde $n$ es el número de períodos de capitalización por año. Si el capital inicial es $C_0 = 200\,000$ pesos y la tasa anual es $r = 0,04$, calculá el límite para obtener la fórmula del capital continuo y determiná el saldo al cabo de $t = 10$ años.
En un cultivo de bacterias en condiciones controladas, la biomasa tras $t$ horas se modeliza mediante la función…
En un cultivo de bacterias en condiciones controladas, la biomasa tras $t$ horas se modeliza mediante la función $B(t) = 50 \left( \frac{t^2 + 3t + 1}{t^2 + t + 5} \right)^{2t}$. Sabiendo que se trata de una indeterminación del tipo $1^\infty$, calcula el límite de la biomasa cuando $t \to \infty$.
Un límite trigonométrico notable
Se puede ver en una calculadora: con $x=0{,}01$, $\dfrac{\sen x}{x}\approx0{,}99998$. Para otros argumentos se ajusta con un cambio de variable.
Cuando hay un factor exponencial y un cociente con seno, se calcula el límite de cada factor por separado (si cada uno existe).
Un péndulo amortiguado se suelta desde una posición inicial. Su amplitud de oscilación viene dada por la función $A(t) = e^{-0,1t} \frac{\sin(2t)}{t}$ para $t > 0$.…
Un péndulo amortiguado se suelta desde una posición inicial. Su amplitud de oscilación viene dada por la función $A(t) = e^{-0,1t} \frac{\sin(2t)}{t}$ para $t > 0$. Calcula el límite de la amplitud cuando $t \to 0^+$ (recuerda que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$) y cuando $t \to \infty$. Interpreta el comportamiento del péndulo tanto en el instante inicial como a largo plazo.
Teorema de Bolzano en problemas
A veces no hace falta resolver una ecuación: alcanza con saber que tiene solución en un intervalo.
Intuición: una curva continua que empieza por debajo del eje $X$ y termina por encima no puede «saltar» de un lado al otro; tiene que cruzarlo.
En un problema de equilibrio se define $g(x)=\text{ingreso}(x)-\text{costo}(x)$, se prueba que $g$ es continua en el intervalo (sumas, productos y cocientes de continuas, con denominador que no se anula) y se estudian los signos en los extremos.
Una empresa estima que sus ingresos mensuales (en miles de pesos) siguen la función $I(x) = 2^x - x^2$, y sus costos operativos son $C(x) = \frac{10}{x+1}$, donde $x$ es…
Una empresa estima que sus ingresos mensuales (en miles de pesos) siguen la función $I(x) = 2^x - x^2$, y sus costos operativos son $C(x) = \frac{10}{x+1}$, donde $x$ es el precio del producto en pesos ($x \ge 0$). Demostrá, justificando tu respuesta mediante el Teorema de Bolzano, que existe un precio $x$ en el intervalo $[4, 5]$ para el cual la empresa tiene un beneficio estrictamente nulo.
Vuelta al principio: el mate sobre la mesa tiende a la temperatura de la habitación. Ese es el límite en el infinito de $a+b\,e^{-kt}$: vale $a$.