Operaciones con sucesiones. Indeterminaciones
Imaginá que depositás 1 peso en una caja de ahorro que paga 100 % anual. Si el banco acredita el interés una sola vez, al año tenés 2 pesos. Si lo acredita en $n$ partes iguales a lo largo del año, el monto es $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$. ¿Se puede hacer tan grande como se quiera con $n$ grande? Para responder hay que saber operar con límites y destapar indeterminaciones. Volvemos a esta pregunta al final.
Álgebra de límites
Ya sabés calcular el límite de una sucesión sola. Ahora las vamos a combinar: sumarlas, multiplicarlas, dividirlas.
También valen cuando uno de los límites es infinito, siempre que el resultado esté determinado: $+\infty+\infty=+\infty$, $k\cdot(+\infty)=+\infty$ si $k>0$, $\dfrac{k}{\pm\infty}=0$.
Dadas las sucesiones $a_n = \frac{2n}{n+1}$ y $b_n = 3n^2$, calcula los límites $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ y $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)$.
Dadas las sucesiones $a_n = \frac{2n}{n+1}$ y $b_n = 3n^2$, calcula los límites $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ y $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)$.
El catálogo de indeterminaciones
Cuando aparecen infinitos o ceros, algunas combinaciones no tienen resultado automático.
Resolver $\frac{\infty}{\infty}$: cociente de polinomios
Si numerador y denominador son polinomios en $n$, lo que manda es el término de mayor grado de cada uno. Dividir arriba y abajo entre la mayor potencia de $n$ lo muestra.
Calcula el límite de la sucesión $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$.
Calcula el límite de la sucesión $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$.
Determina el valor del límite de la sucesión $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.
Determina el valor del límite de la sucesión $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.
El número de seguidores de un canal de divulgación científica crece según la sucesión $S_n = \frac{1200n^2 + 50n}{3n^2 + 25}$, donde $n$ es el tiempo en meses y $S_n$ el…
El número de seguidores de un canal de divulgación científica crece según la sucesión $S_n = \frac{1200n^2 + 50n}{3n^2 + 25}$, donde $n$ es el tiempo en meses y $S_n$ el número de seguidores en miles. ¿Hacia qué valor se estabiliza la audiencia del canal a muy largo plazo?
Cuando hay que desarrollar antes
A veces el numerador viene en forma de potencia o de suma. Hay que desarrollar y simplificar para ver el grado verdadero.
Halla el límite de la sucesión $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$.
Halla el límite de la sucesión $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$.
Un analista financiero estudia el rendimiento de un fondo de inversión cuya tasa de retorno en el mes $n$ sigue la sucesión…
Un analista financiero estudia el rendimiento de un fondo de inversión cuya tasa de retorno en el mes $n$ sigue la sucesión $R_n = \frac{(2n+1)^3 - 8n^3}{3n^2 + 5n - 1}$. Determina el rendimiento límite resolviendo la indeterminación correspondiente.
Resuelve el siguiente límite que combina la suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética y una indeterminación polinómica:…
Resuelve el siguiente límite que combina la suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética y una indeterminación polinómica:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{3n^2 + 2n - 1}$
Cociente con exponenciales y con radicales
La misma idea (dividir entre el término que más pesa) funciona con otras sucesiones.
La inflación acumulada en un modelo teórico macroeconómico está dada por la sucesión $I_n = \frac{3^n + 5^{n+1}}{5^n + 2^{n+2}}$. Determina el límite de la inflación…
La inflación acumulada en un modelo teórico macroeconómico está dada por la sucesión $I_n = \frac{3^n + 5^{n+1}}{5^n + 2^{n+2}}$. Determina el límite de la inflación cuando $n \to \infty$.
Resolver $\infty-\infty$ con fracciones
Si la diferencia es de fracciones algebraicas, se reducen a denominador común, se simplifica y queda un cociente de polinomios.
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ en la siguiente sucesión operando previamente las fracciones algebraicas: $d_n = \frac{n^2 + 1}{n} - \frac{n^2 - 2}{n+1}$
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ en la siguiente sucesión operando previamente las fracciones algebraicas:
$d_n = \frac{n^2 + 1}{n} - \frac{n^2 - 2}{n+1}$
Calcula el límite de la diferencia de fracciones algebraicas: $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^3 + 2n^2}{n^2 - 1} - \frac{n^2 + 3}{n + 1} \right)$
Calcula el límite de la diferencia de fracciones algebraicas:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^3 + 2n^2}{n^2 - 1} - \frac{n^2 + 3}{n + 1} \right)$
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la igualdad: $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3n}{n + 1} - an - b \right) = 0$
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la igualdad:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3n}{n + 1} - an - b \right) = 0$
Resolver $\infty-\infty$ con radicales: el conjugado
Con raíces cuadradas se usa el producto notable $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$: multiplicás y dividís por el conjugado, y la raíz desaparece del numerador.
Resuelve el siguiente límite con radicales multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada: $\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$
Resuelve el siguiente límite con radicales multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$
La desviación en milímetros de un brazo robótico en su iteración $n$ viene dada por la sucesión $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calcula el error de desviación límite…
La desviación en milímetros de un brazo robótico en su iteración $n$ viene dada por la sucesión $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calcula el error de desviación límite cuando el número de iteraciones tiende a infinito.
Resuelve la indeterminación en la sucesión con radicales iterados en el numerador y denominador: $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{16n^2 + 3n} - 2n}{5n + \sqrt{n^2 - 1}}$
Resuelve la indeterminación en la sucesión con radicales iterados en el numerador y denominador:
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{16n^2 + 3n} - 2n}{5n + \sqrt{n^2 - 1}}$
Más con conjugado: productos con $n$ y parámetros
Dos variantes aparecen seguido: una resta de raíces con distinto polinomio, y una expresión multiplicada por $n$ o por $n^2$ (una forma $0\cdot\infty$). En ambas el conjugado transforma todo en un cociente.
El índice de migración neta de una región se estima según la sucesión $I_n = n \left( \sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 - 2} \right)$. Determina la tendencia límite de este…
El índice de migración neta de una región se estima según la sucesión $I_n = n \left( \sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 - 2} \right)$. Determina la tendencia límite de este índice cuando $n \to \infty$.
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ generada por la diferencia de dos raíces cuadradas de polinomios cuadráticos:…
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ generada por la diferencia de dos raíces cuadradas de polinomios cuadráticos:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n + 1} - \sqrt{n^2 - 3n + 2} \right)$
Encuentra el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + kn} - 2n$ sea igual a $5$.
Encuentra el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + kn} - 2n$ sea igual a $5$.
La indeterminación $1^{\infty}$ y el número $e$
Volvemos al ahorro del comienzo. Si la base se acerca a $1$ y el exponente crece sin límite, el resultado no es $1$: depende de cuán rápido se acerca la base a $1$.
La técnica general sale de esa definición.
Calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.
Calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.
Halla el límite de la sucesión $f_n = \left( \frac{n+4}{n} \right)^n$.
Halla el límite de la sucesión $f_n = \left( \frac{n+4}{n} \right)^n$.
Identifica la indeterminación y calcula el límite de la sucesión $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$.
Identifica la indeterminación y calcula el límite de la sucesión $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$.
$1^\infty$ con exponentes más complicados y parámetros
El exponente puede no ser $n$, y a veces hay que encontrar un parámetro para que el límite valga lo pedido.
La temperatura de un componente electrónico en un proceso de enfriamiento iterativo sigue la sucesión $T_n = \left( \frac{n^2 - n}{n^2 + 3} \right)^{2n+1}$ en grados…
La temperatura de un componente electrónico en un proceso de enfriamiento iterativo sigue la sucesión $T_n = \left( \frac{n^2 - n}{n^2 + 3} \right)^{2n+1}$ en grados Celsius por encima de la temperatura ambiente. Determina el límite de esta temperatura.
En un proceso de cristalización, la concentración de un reactivo sigue la sucesión $C_n = \left( \frac{n + a}{n + 2} \right)^{3n}$. Si se sabe que la concentración…
En un proceso de cristalización, la concentración de un reactivo sigue la sucesión $C_n = \left( \frac{n + a}{n + 2} \right)^{3n}$. Si se sabe que la concentración límite a largo plazo es $e^6$, ¿cuál debe ser el valor del parámetro $a$?
Demuestra, calculando el límite, hacia qué valor tiende la sucesión definida por $a_n = \left( \frac{n^2 + 5n - 1}{n^2 + 2n + 3} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$.
Demuestra, calculando el límite, hacia qué valor tiende la sucesión definida por $a_n = \left( \frac{n^2 + 5n - 1}{n^2 + 2n + 3} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$.