Fracciones y números racionales

Las fracciones como partes de un todo

Una fracción $\frac{a}{b}$ describe partes iguales de un todo. El denominador $b$ indica en cuántas partes iguales se corta el todo. El numerador $a$ indica de cuántas de esas partes hablamos.

Una fracción también es una división: $\frac{3}{8} = 3 \div 8$.

La palabra iguales es importante. Cortar una pizza en 8 pedazos de distintos tamaños no da octavos.

Fracciones propias, fracciones impropias y números mixtos

Compara el numerador con el denominador.

(Algunos libros también llaman impropia a $\frac{6}{6}$, porque su numerador no es menor que el denominador.)

Una fracción impropia se puede escribir como número mixto: un número entero más una fracción propia. Divide el numerador entre el denominador. El cociente es la parte entera y el residuo va sobre el mismo denominador.

Una fracción de una cantidad

Para hallar $\frac{a}{b}$ de una cantidad, divide entre el denominador y luego multiplica por el numerador. Dividir entre $b$ da el tamaño de una parte igual. Multiplicar por $a$ reúne $a$ de ellas.

Cuando necesitas una fracción de una fracción, "de" significa multiplicar. Multiplica los numeradores y multiplica los denominadores: $\frac{a}{b} \text{ de } \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$. ¿Por qué? Si una parte que es $\frac{1}{5}$ del todo se corta en 2 partes iguales, cada una es $\frac{1}{2}$ de $\frac{1}{5}$, que es $\frac{1}{10}$ del todo.

Si sabes cuánto vale una fracción del todo, puedes ir al revés para hallar el todo: divide entre el numerador para obtener una parte y luego multiplica por el denominador.

Fracciones de un área

Muchos problemas muestran una figura y preguntan qué fracción está sombreada. La regla es la misma de antes: cuenta las piezas iguales del todo y luego cuenta las sombreadas.

Si las piezas del dibujo no son iguales, corta la figura en las piezas iguales más pequeñas que quepan.

Cuando cortas una pieza en piezas iguales más pequeñas, cada pieza nueva es una fracción de una pieza. Si una pieza que es $\frac{1}{5}$ del todo se corta en 2 partes iguales, cada parte es $\frac{1}{10}$ del todo. Si el todo tiene un área conocida, halla una fracción de ella exactamente como en la sección anterior.

Fracciones equivalentes y forma más simple

Fracciones distintas pueden representar la misma cantidad. $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ y $\frac{3}{6}$ son fracciones equivalentes.

Para obtener una fracción equivalente, multiplica (o divide) el numerador y el denominador por el mismo número distinto de cero. En realidad estás multiplicando por $\frac{3}{3}$ o $\frac{5}{5}$, que valen 1, así que el valor no cambia. En el dibujo significa cortar cada pieza en piezas iguales más pequeñas. Algunos problemas llaman a esto amplificar una fracción.

Una fracción está en su forma más simple (o en su mínima expresión) cuando el numerador y el denominador no tienen ningún factor común aparte de 1. Para llegar ahí, divide ambos entre su MCD (máximo común divisor). Algunos problemas dicen fracción simplificada o fracción reducida. Significa lo mismo.

Comprobar con multiplicación cruzada. Dos fracciones son equivalentes exactamente cuando sus productos cruzados son iguales: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ cuando $a \cdot d = b \cdot c$. La razón es que, al escribir ambas fracciones con el denominador común $b \cdot d$, los numeradores son $a \cdot d$ y $b \cdot c$.

Hallar un número que falta. Para resolver $\frac{6}{8} = \frac{x}{20}$, puedes simplificar primero: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Como $4 \times 5 = 20$, multiplica también el numerador por 5, así que $x = 15$. O multiplica en cruz: $8x = 6 \times 20 = 120$, así que $x = 15$. La multiplicación cruzada siempre funciona, incluso cuando el factor de escala no es un número entero.

Regresemos al inicio: Maya se comió $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ de su pizza y Jayden se comió $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ de la suya. Comieron exactamente la misma cantidad.

Comparar y ordenar fracciones

¿Cuál fracción es mayor? Usa la herramienta más fácil que funcione.

• Mismo denominador: gana el numerador mayor. $\frac{5}{9} > \frac{4}{9}$.

• Mismo numerador: gana el denominador menor, porque las partes son más grandes. $\frac{7}{8} > \frac{7}{12}$.

• Denominador común: reescribe ambas fracciones con el mcm (mínimo común múltiplo) de los denominadores y luego compara los numeradores.

• Productos cruzados: para $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ con denominadores positivos, compara $a \cdot d$ con $b \cdot c$. El producto mayor está del lado de la fracción mayor.

• Simplifica primero: para comparar proporciones como $\frac{36}{54}$ y $\frac{12}{18}$, reduce ambas a su forma más simple. Si las formas más simples coinciden, las proporciones son iguales.

También puedes convertir cada fracción en decimal dividiendo, lo cual sirve para comprobar que una fracción está entre otras dos.

¿Qué pasa si sumas el mismo número al numerador y al denominador? Toma $\frac{3}{7}$ y suma 2 a ambos: $\frac{5}{9}$. Productos cruzados: $3 \times 9 = 27$ y $7 \times 5 = 35$, así que $\frac{3}{7} < \frac{5}{9}$. La fracción creció. Ahora prueba con una fracción impropia, $\frac{7}{3}$, sumando 2: $\frac{9}{5}$. Productos cruzados: $7 \times 5 = 35$ y $3 \times 9 = 27$, así que $\frac{7}{3} > \frac{9}{5}$. Esta vez la fracción disminuyó. Comprueba siempre con productos cruzados en lugar de adivinar.

Números racionales

Hasta ahora todas las fracciones han sido positivas. Ahora también permitimos las negativas.

Todo entero es racional: $5 = \frac{5}{1}$ y $-2 = \frac{-4}{2}$. Algunas fracciones son enteros disfrazados: $\frac{15}{3} = 5$. Así que los conjuntos de números encajan unos dentro de otros.

Este es el vocabulario. Los números naturales son los números de conteo $1, 2, 3, \dots$. Si les agregas el 0, obtienes los números enteros no negativos (whole numbers) $0, 1, 2, 3, \dots$. Si agregas los negativos, obtienes los enteros. Así, $0$ es un entero no negativo y un entero, pero no es un número natural. (Algunos libros cuentan el 0 como natural. En EE. UU. se empieza a contar desde 1.) Para clasificar una fracción, simplifícala primero y mira qué número obtienes.

Fracciones negativas: opuesto y recíproco

Una fracción puede ser negativa, y el signo negativo puede ir en tres lugares equivalentes.

¿Por qué funciona voltear? Porque $\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = \frac{ab}{ab} = 1$. Y el opuesto funciona porque $\frac{a}{b} + \left(-\frac{a}{b}\right) = 0$.

Números racionales en la recta numérica

Para ubicar $\frac{a}{b}$ en una recta numérica, corta cada unidad en $b$ espacios iguales y cuenta $a$ espacios desde 0. Para los números negativos, cuenta hacia la izquierda. Los números mixtos ayudan: $-1\tfrac{1}{2}$ está a la mitad entre $-1$ y $-2$.

Dos datos que usarás todo el tiempo:

• Orden: mientras más a la derecha, mayor. Así, $-\frac{1}{2} > -\frac{3}{4}$.

• Valor absoluto $|x|$ es la distancia a 0, así que nunca es negativo. $\left|-\frac{5}{4}\right| = \frac{5}{4}$.

Para hallar el punto a la mitad entre dos números, sácales el promedio. Para dividir un segmento de $A$ a $B$ en $n$ partes iguales, cada parte mide $\frac{B - A}{n}$. Suma ese paso una y otra vez, empezando en $A$.

En un dibujo, las distancias son proporcionales a los números, así que puedes convertir una longitud en pulgadas en una distancia en la recta numérica con una proporción.

Estrategias para problemas de desafío

Los problemas más difíciles combinan las ideas anteriores. Tres estrategias cubren casi todos.

1. Fracciones unitarias: resta lo que sabes y luego prueba. Una fracción unitaria tiene numerador 1. Supón que $\frac{1}{2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$. Resta la parte conocida: $\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$. Ahora busca dos fracciones unitarias distintas que sumen $\frac{1}{3}$. Prueba con $\frac{1}{4}$: $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$, que es una fracción unitaria. Así que $x = 4$ y $y = 12$.

2. Entre dos fracciones. El punto medio es el promedio: suma las dos fracciones y divide entre 2. El punto medio de $\frac{1}{4}$ y $\frac{1}{3}$ es $\frac{1}{2}\left(\frac{7}{12}\right) = \frac{7}{24}$. Para cualquier valor escrito en su forma más simple, toda fracción equivalente es un múltiplo de su numerador y su denominador. Así, $\frac{7}{24}$ se puede escribir como $\frac{14}{48}$ o $\frac{21}{72}$, pero nunca con un denominador que no sea múltiplo de 24. Las fracciones que solo están en algún lugar entre dos números son distintas: hay infinitas, y puedes encontrarlas reescribiendo ambas fracciones con un denominador común más grande.

3. Búsquedas con restricciones. Cuando una fracción debe cumplir varias condiciones, haz una lista de candidatas (por ejemplo, cada denominador permitido) y prueba una condición a la vez con decimales o productos cruzados. Tacha las que fallen.

Resumen