El conjunto de los números enteros
En Minneapolis, la temperatura se mantuvo a no más de 5 grados de $0\,^\circ\text{F}$ durante todo el día, y siempre estuvo más cálida que $-3\,^\circ\text{F}$. ¿Qué temperaturas en grados enteros son posibles? Ya sabes qué es un entero. Ahora vas a tratar los enteros como un conjunto y a combinar condiciones sobre ellos.
Enteros y números naturales
Los enteros son los enteros no negativos $0, 1, 2, 3, \dots$ junto con sus opuestos $-1, -2, -3, \dots$. Escribimos el conjunto como $\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$.
Los enteros positivos son mayores que $0$ ($+3$ o simplemente $3$). Los enteros negativos son menores que $0$ ($-3$). El cero no es ni positivo ni negativo.
Los enteros describen dos direcciones opuestas a partir de un punto de partida:
| Situación | Entero |
|---|---|
| Ganar 30 puntos | $+30$ |
| 12 pies bajo el nivel del mar | $-12$ |
| 3 grados bajo cero | $-3$ |
| Dos pisos debajo de la planta baja | $-2$ |
| El año 200 a. C. | $-200$ |
| Deberle $\$7$ a alguien | $-\$7$ |
En una partida de un videojuego de supervivencia, las acciones de tu personaje afectan a sus puntos de experiencia. Expresa con un número entero las siguientes…
En una partida de un videojuego de supervivencia, las acciones de tu personaje afectan a sus puntos de experiencia. Expresa con un número entero las siguientes situaciones:
- a) Encuentras un cofre y ganas $450$ puntos.
- b) Te derrota un enemigo y pierdes $125$ puntos.
- c) Caes en una trampa y tu puntuación baja $50$ puntos.
- d) Completas una misión secundaria y recibes $80$ puntos.
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) El número $-7$ es un número natural ($\mathbb{N}$). b) Todos los números naturales son también números…
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
- a) El número $-7$ es un número natural ($\mathbb{N}$).
- b) Todos los números naturales son también números enteros ($\mathbb{Z}$).
- c) El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero.
- d) El opuesto de un número negativo es siempre negativo.
Asocie un número entero a cada una de las siguientes situaciones extraídas de la vida cotidiana de un adolescente: a) El saldo de su tarjeta de transporte después de…
Asocie un número entero a cada una de las siguientes situaciones extraídas de la vida cotidiana de un adolescente:
- a) El saldo de su tarjeta de transporte después de haber gastado $\$5$ en viajes y tener una recarga previa de $\$2$.
- b) La posición de un submarino de exploración en un videojuego que se encuentra a $150$ pies bajo el nivel del mar.
- c) La temperatura de una estación de esquí que marca $4$ grados bajo cero.
- d) El año en el que se estima que se inventó el ábaco, aproximadamente $500$ años antes de Cristo.
- e) Bajar en el ascensor de un centro comercial desde el piso de los cines (piso $3$) hasta el estacionamiento situado dos pisos más abajo.
La recta numérica
Una recta numérica coloca los enteros con la misma separación. El cero está en el medio, los enteros positivos van hacia la derecha y los negativos hacia la izquierda. Moverse a la derecha significa sumar, y moverse a la izquierda significa restar.
Lee la escala antes de leer los puntos. Cuenta las marcas entre dos números rotulados. Cada marca puede valer $1$, $2$ o $5$.
Observa la siguiente recta numérica e indica qué números enteros corresponden a los puntos marcados con las letras $A$, $B$, $C$ y $D$.
Observa la siguiente recta numérica e indica qué números enteros corresponden a los puntos marcados con las letras $A$, $B$, $C$ y $D$.
Dibuja una recta numérica en tu cuaderno y representa en ella los siguientes números enteros: $$-5, \quad +3, \quad -2, \quad 0, \quad +1, \quad -4$$
Dibuja una recta numérica en tu cuaderno y representa en ella los siguientes números enteros:
$$-5, \quad +3, \quad -2, \quad 0, \quad +1, \quad -4$$Estás en un centro comercial muy grande que tiene pisos por encima y por debajo del nivel de la calle (piso $0$). a) Si estás en el piso $-3$ y subes $5$ pisos, ¿en qué…
Estás en un centro comercial muy grande que tiene pisos por encima y por debajo del nivel de la calle (piso $0$).
- a) Si estás en el piso $-3$ y subes $5$ pisos, ¿en qué piso te encuentras?
- b) Si estás en el piso $2$ y bajas $3$ pisos, ¿a qué piso llegas?
Comparar y ordenar enteros
En una recta numérica, el número que está más a la derecha es mayor. Arrastra los puntos de abajo y observa cuál es mayor.
Algunos problemas dan temperaturas en grados Celsius ($^\circ\text{C}$), la unidad que usan los científicos. No cambia nada: las temperaturas siguen siendo enteros y se comparan en la recta numérica de la misma manera. Solo conserva la unidad en tu respuesta.
Compara los siguientes pares de números utilizando los signos $<$ (menor que) o $>$ (mayor que): a) $-8 \quad \dots \quad -2$ b) $+5 \quad \dots \quad -10$ c)…
Compara los siguientes pares de números utilizando los signos $<$ (menor que) o $>$ (mayor que):
- a) $-8 \quad \dots \quad -2$
- b) $+5 \quad \dots \quad -10$
- c) $0 \quad \dots \quad -3$
- d) $-1 \quad \dots \quad +1$
Opuestos y valor absoluto
Dos enteros son opuestos si están a la misma distancia de $0$ pero en lados diferentes. El opuesto de $5$ es $-5$, y el opuesto de $-5$ es $5$. El opuesto de $0$ es $0$. Escribimos el opuesto de $a$ como $-a$.
El valor absoluto de un entero es su distancia a $0$. Lo escribimos $|a|$. La distancia nunca es negativa, así que siempre $|a| \ge 0$. Algunos libros escriben el opuesto de $z$ como $-z$; el valor absoluto se escribe $|z|$.
Cuando un problema anida las dos ideas, trabaja de adentro hacia afuera. Evalúa $-|-7|$ primero como $|-7| = 7$, y luego toma el opuesto para obtener $-7$. Compáralo con $|-(-7)|$: lo de adentro es $-(-7) = 7$, y $|7| = 7$.
Calcula el valor absoluto y el opuesto de los siguientes números enteros: a) $-14$ b) $+21$ c) $-5$ d) $+9$
Calcula el valor absoluto y el opuesto de los siguientes números enteros:
- a) $-14$
- b) $+21$
- c) $-5$
- d) $+9$
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno, llenando los espacios vacíos para que cada fila sea coherente con la definición de número entero, su opuesto y su valor…
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno, llenando los espacios vacíos para que cada fila sea coherente con la definición de número entero, su opuesto y su valor absoluto:
| Número ($z$) | Opuesto ($Op(z)$) | Valor Absoluto ($|z|$) |
|---|---|---|
| $-12$ | ||
| $+7$ | ||
| $5$ (Si $z$ es positivo) | ||
| $9$ (Si $z$ es negativo) | ||
| $Op(-3)$ |
Observe la siguiente recta numérica donde se han marcado varios puntos con letras. Identifique el número entero que corresponde a cada letra y, posteriormente, calcule…
Observe la siguiente recta numérica donde se han marcado varios puntos con letras. Identifique el número entero que corresponde a cada letra y, posteriormente, calcule el valor absoluto de cada uno de ellos.
¿Siempre, a veces o nunca?
Una afirmación sobre "todos los enteros" puede ser verdadera siempre, a veces o nunca. Para mostrar que una afirmación no siempre es verdadera, solo necesitas un contraejemplo: un solo caso en el que falla.
Considere dos números enteros $a$ y $b$. Se sabe que $a$ es un número negativo y $b$ es un número positivo. Indique si las siguientes afirmaciones son siempre…
Considere dos números enteros $a$ y $b$. Se sabe que $a$ es un número negativo y $b$ es un número positivo. Indique si las siguientes afirmaciones son siempre verdaderas, a veces verdaderas o siempre falsas, justificando su respuesta con un ejemplo:
- a) $|a|$ es siempre mayor que $b$.
- b) El opuesto de $b$ es siempre menor que $a$.
- c) El valor absoluto de $a$ es siempre un número positivo.
- d) $b$ es siempre mayor que $a$.
Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, proporcionando un contraejemplo en caso de que sean falsas: a) Si un número entero $a$ es menor que $b$,…
Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, proporcionando un contraejemplo en caso de que sean falsas:
- a) Si un número entero $a$ es menor que $b$, entonces el valor absoluto de $a$ siempre es menor que el valor absoluto de $b$ ($|a| < |b|$).
- b) El opuesto del valor absoluto de cualquier número entero (distinto de cero) es siempre un número negativo.
- c) No existe ningún número entero cuyo valor absoluto sea igual a su opuesto.
Distancia entre dos enteros
La distancia entre dos enteros es la cantidad de pasos que se necesitan para ir de uno al otro en la recta numérica. La escribimos $|a - b|$.
Dados los números enteros $a = -12$ y $b = +5$: a) Calcule la distancia entre ellos en la recta numérica. b) Encuentre el número $c$ que esté exactamente a la misma…
Dados los números enteros $a = -12$ y $b = +5$:
- a) Calcule la distancia entre ellos en la recta numérica.
- b) Encuentre el número $c$ que esté exactamente a la misma distancia de $a$ que de $b$. ¿Es $c$ un número entero? Justifique su respuesta.
- c) Si $d$ es un número tal que $|d| = |a| + |b|$, ¿qué valores puede tomar $d$?
Un submarino de investigación se encuentra a una profundidad de $-450$ pies respecto al nivel del mar. Lanza una sonda vertical que asciende $125$ pies para tomar una…
Un submarino de investigación se encuentra a una profundidad de $-450$ pies respecto al nivel del mar. Lanza una sonda vertical que asciende $125$ pies para tomar una muestra, y posteriormente desciende el triple de lo que había ascendido.
- a) Exprese mediante números enteros cada uno de los movimientos y la posición final de la sonda.
- b) Calcule la distancia absoluta entre la posición inicial del submarino y la posición final de la sonda.
Escriba el nombre de un personaje histórico que cumpla las siguientes condiciones: Nació en el año $x$, donde $x$ es el opuesto de $356$. Murió en el año $y$, donde $y$…
Escriba el nombre de un personaje histórico que cumpla las siguientes condiciones:
-
Nació en el año $x$, donde $x$ es el opuesto de $356$.
-
Murió en el año $y$, donde $y$ es un número entero tal que $|y| = 323$ y $y < 0$.
-
Calcule cuántos años vivió este personaje sabiendo que no existe el año cero en el calendario gregoriano (pasa del 1 a.C. al 1 d.C.).
Ordenar enteros con opuestos y valores absolutos
Cuando una lista mezcla enteros simples con opuestos y valores absolutos, primero simplifica cada uno hasta obtener un solo entero. Luego ordena los resultados.
Ordena los siguientes números de menor a mayor colocando en primer lugar los valores negativos y utilizando los signos de desigualdad correspondientes: $$|-7|, \quad +3,…
Ordena los siguientes números de menor a mayor colocando en primer lugar los valores negativos y utilizando los signos de desigualdad correspondientes:
$$|-7|, \quad +3, \quad Op(-5), \quad -4, \quad 0, \quad Op(+8), \quad -1, \quad |+2|$$En una ciudad de alta montaña, el servicio meteorológico registra las siguientes temperaturas a lo largo de un día de invierno: A las 06:00 h: $-8$ ºF. A las 12:00 h: La…
En una ciudad de alta montaña, el servicio meteorológico registra las siguientes temperaturas a lo largo de un día de invierno:
-
A las 06:00 h: $-8$ ºF.
-
A las 12:00 h: La temperatura ha subido $10$ ºF respecto a las 06:00 h.
-
A las 20:00 h: La temperatura ha bajado $5$ ºF respecto a las 12:00 h.
-
A las 00:00 h: La temperatura es el opuesto de la registrada a las 12:00 h.
Represente estas cuatro temperaturas en una recta numérica y ordénelas de menor a mayor utilizando el signo $<$.
De las palabras a los enteros
Muchos problemas describen una cadena de pasos con palabras. Traduce cada frase a un número con signo o a una operación.
| Palabras | Significado |
|---|---|
| hacia adelante, arriba, ganancia, aumentó en | sumar (moverse a la derecha) |
| hacia atrás, abajo, pérdida, disminuyó en | restar (moverse a la izquierda) |
| el opuesto de | cambiar el signo |
| el valor absoluto de | distancia a $0$, por lo tanto nunca negativo |
| a un punto con valor absoluto $k$ a la izquierda de $0$ | el punto $-k$ |
Un recordatorio rápido para sumar enteros: con el mismo signo, suma los valores absolutos y conserva el signo. Con signos diferentes, resta el valor absoluto menor del mayor y conserva el signo del mayor.
Un dron de juguete se mueve por un pasillo recto que hemos marcado como una recta numérica. El punto de despegue es el $0$. El dron realiza los siguientes movimientos…
Un dron de juguete se mueve por un pasillo recto que hemos marcado como una recta numérica. El punto de despegue es el $0$. El dron realiza los siguientes movimientos correlativos:
-
Avanza $+6$ pies.
-
Retrocede $10$ pies.
-
Se desplaza hasta el punto opuesto de su posición actual.
-
Finalmente, avanza hasta un punto cuyo valor absoluto es $2$ y que está a la izquierda del origen.
¿En qué punto de la recta se encuentra el dron al final de su trayecto? Dibújalo en un esquema.
Se define una secuencia de números enteros de la siguiente manera: 1. El primer término es $a_1 = -5$. 2. El segundo término es el opuesto del valor absoluto de $a_1$,…
Se define una secuencia de números enteros de la siguiente manera:
-
El primer término es $a_1 = -5$.
-
El segundo término es el opuesto del valor absoluto de $a_1$, aumentado en $2$ unidades.
-
El tercer término es el valor absoluto del segundo término, disminuido en $10$ unidades.
Calcule el cuarto término si este es el opuesto de la suma de los tres términos anteriores.
Conjuntos de enteros definidos por condiciones
A veces un conjunto de enteros no se da en una lista, sino que se describe con una o más condiciones que deben cumplirse al mismo tiempo. Traduce cada condición a una lista de enteros y quédate solo con los enteros que aparecen en todas las listas.
| Condición | Qué significa |
|---|---|
| $\lvert x \rvert \le 4$ | $-4 \le x \le 4$ |
| $\lvert x \rvert < 4$ | $-3 \le x \le 3$ (para enteros) |
| $\lvert x \rvert > 5$ | $x < -5$ o $x > 5$ |
| $x$ no es natural | $x$ es negativo (o cero, si $0$ no es natural) |
| $x$ es par | $\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots$ (los negativos también pueden ser pares) |
| $x > -x$ | $x$ es positivo |
Escriba todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las dos condiciones que se indican a continuación: 1. Su valor absoluto es menor o igual que $4$:…
Escriba todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las dos condiciones que se indican a continuación:
-
Su valor absoluto es menor o igual que $4$: $|x| \le 4$.
-
Son mayores que el opuesto de $2$: $x > Op(+2)$.
Determine todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones: Su valor absoluto es mayor que $5$ y menor o igual que $9$. El…
Determine todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones:
-
Su valor absoluto es mayor que $5$ y menor o igual que $9$.
-
El número $x$ no pertenece al conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$.
-
$x$ es un número par.
Represente gráficamente en la recta numérica el conjunto de soluciones obtenidas.
Imagine que un termómetro inteligente registra la temperatura máxima y mínima de una ciudad. Un día, la temperatura mínima fue de $-8$ $^\circ C$. La temperatura máxima…
Imagine que un termómetro inteligente registra la temperatura máxima y mínima de una ciudad. Un día, la temperatura mínima fue de $-8$ $^\circ C$. La temperatura máxima fue un número entero $T$ que cumple:
-
$|T| < 15$
-
La diferencia entre la máxima y la mínima (amplitud térmica) es de $12$ grados.
-
$T$ es un número mayor que su opuesto.
¿Cuál fue la temperatura máxima registrada? Indique todas las posibilidades si las hubiera.
Enteros en el plano de coordenadas
En un plano de coordenadas, cada punto tiene dos coordenadas enteras $(x, y)$. La primera es horizontal y la segunda es vertical. Arrastra el punto y observa cómo cambian las coordenadas.
Para segmentos horizontales o verticales, la longitud es la distancia entre las dos coordenadas que cambian, como $|x_1 - x_2|$ o $|y_1 - y_2|$.
En una cuadrícula de coordenadas, tres de los vértices de un rectángulo son los puntos $A(-4, 3)$, $B(2, 3)$ y $C(2, -1)$. a) Determine las coordenadas del cuarto…
En una cuadrícula de coordenadas, tres de los vértices de un rectángulo son los puntos $A(-4, 3)$, $B(2, 3)$ y $C(2, -1)$.
- a) Determine las coordenadas del cuarto vértice $D$ para completar el rectángulo.
- b) Calcule el perímetro del rectángulo sabiendo que cada unidad de la cuadrícula equivale a $1$ pie.
- c) ¿Cuál es el punto simétrico del vértice $A$ respecto al eje de abscisas (eje horizontal)? Indique sus coordenadas como un número entero.
De vuelta al inicio: $\lvert x \rvert \le 5$ permite $11$ enteros, de $-5$ a $5$. Si exigimos $x > -3$, quedan $8$ de ellos: $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$. Esas son las temperaturas posibles en Minneapolis.