Máximo común divisor

Observe los divisores de los números $24$ y $36$:

• $Div(24) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

• $Div(36) = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$

A partir de estas listas:

1. a) Escriba los divisores comunes de ambos números.
2. b) Identifique cuál es el mayor de esos divisores comunes. ¿Cómo llamamos a ese número?

Calcule el máximo común divisor de los siguientes números utilizando el método de descomposición en factores primos:

1. a) $12$ y $18$
2. b) $20$ y $30$
3. c) $15$ y $25$

Calcule el Máximo Común Divisor de los siguientes grupos de números utilizando el método de descomposición en factores primos:

1. a) $m.c.d.(120, 150)$
2. b) $m.c.d.(72, 108, 144)$
3. c) $m.c.d.(45, 60, 105)$

Recuerde expresar primero cada número como producto de sus factores primos y luego seleccionar los factores comunes elevados al menor exponente.

Dos números se llaman primos entre sí si su único divisor común es el $1$. Compruebe si las siguientes parejas de números son primos entre sí calculando su máximo común divisor:

1. a) $8$ y $15$
2. b) $14$ y $21$
3. c) $9$ y $20$

El Algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficaz para hallar el $m.c.d.$ de dos números mediante divisiones sucesivas. Consiste en dividir el mayor entre el menor; si el resto no es cero, se divide el divisor entre el resto, y así sucesivamente hasta que el resto sea cero. El último divisor utilizado es el $m.c.d.$

Utilice este método para hallar el $m.c.d.(525, 225)$. Compruebe el resultado realizando después la descomposición factorial habitual.

Utilice el Algoritmo de Euclides para hallar el $m.c.d.(2\,310, 1\,485)$. Una vez hallado, indique si los números son primos entre sí y justifique su respuesta basándose en los divisores obtenidos durante el proceso del algoritmo.

Se sabe que el producto de dos números naturales es $2160$ y que su mínimo común múltiplo ($m.c.m.$) es $180$. Utilizando la relación que existe entre el producto de dos números, su $m.c.d.$ y su $m.c.m.$, averigüe cuál es el Máximo Común Divisor de dichos números.

Encuentre dos números naturales, a los que llamaremos $x$ e $y$, sabiendo que su producto es $x \cdot y = 11\,250$ y que su mínimo común múltiplo es $m.c.m.(x, y) = 750$.

Pista: Utilice la propiedad que relaciona el producto de dos números con su M.C.D. y su m.c.m.

En un campamento de aventura en las Montañas Rocosas, los monitores tienen dos cuerdas de escalada: una mide $20$ pies y la otra $28$ pies. Quieren cortarlas en trozos iguales, de la mayor longitud posible y sin que sobre nada de cuerda. ¿Cuánto debe medir cada trozo?

María tiene una cinta de color azul de $18$ pulgadas y una cinta roja de $24$ pulgadas. Necesita cortarlas en tiras de la misma longitud para hacer unos lazos decorativos. Si quiere que las tiras sean lo más largas posible y no quiere desperdiciar nada de cinta:

1. a) ¿Cuál será la longitud de cada tira?
2. b) ¿Cuántas tiras obtendrá de cada color?

Una tienda de artesanía tiene dos cintas de seda, una de color carmesí que mide $160$ pulgadas y otra de color turquesa que mide $120$ pulgadas. Quieren cortar ambas cintas en trozos de la misma longitud, de manera que sean lo más largos posible y no sobre nada de tela.

1. a) ¿Cuánto debe medir cada trozo?
2. b) ¿Cuántos trozos de color carmesí se obtendrán? ¿Y de color turquesa?

En una clase de 8.º grado hay $24$ alumnos y $16$ alumnas. El profesor de Educación Física quiere formar equipos del mismo tamaño, lo más grandes posible, de manera que en cada equipo haya solo chicos o solo chicas.

1. a) ¿Cuántos alumnos habrá en cada equipo?
2. b) ¿Cuántos equipos de chicos y cuántos de chicas se formarán?

Para el torneo de convivencia de la escuela secundaria, se han inscrito $48$ alumnos de 7.º grado y $60$ alumnos de 8.º grado. Se quieren formar equipos con el mismo número de personas, sin mezclar alumnos de distintos cursos y de manera que los equipos sean lo más numerosos posible.

1. a) ¿Cuántos alumnos habrá en cada equipo?
2. b) ¿Cuántos equipos de 7.º grado habrá en total? ¿Y de 8.º grado?

Un banco de alimentos ha recibido $210$ latas de conserva de atún, $126$ paquetes de arroz y $84$ frascos de legumbres. Quieren preparar el mayor número posible de cajas de ayuda idénticas que contengan los tres tipos de alimentos, de forma que no sobre nada.

1. a) ¿Cuántas cajas de ayuda podrán preparar?
2. b) ¿Cuántos productos de cada tipo habrá en cada una de las cajas?

Queremos decorar una pared del aula de música que mide $120$ pulgadas de alto por $180$ pulgadas de ancho con cartulinas cuadradas. Si queremos que las cartulinas sean lo más grandes posible y que cubran la pared exactamente sin tener que cortarlas:

1. a) ¿Cuánto debe medir el lado de cada cartulina?
2. b) ¿Cuántas cartulinas necesitaremos en total?

Un operario municipal quiere embaldosar una zona rectangular de un parque que mide $24$ pies de largo por $18$ pies de ancho. Para ello, va a utilizar baldosas cuadradas lo más grandes posible y no quiere tener que cortar ninguna.

1. a) Determine la medida del lado de cada baldosa.
2. b) Calcule el número total de baldosas que se necesitarán para cubrir toda la superficie.

Un arquitecto está diseñando el piso de una sala de trofeos de un club de e-sports. La sala tiene una forma rectangular de $12,6$ pies de largo por $7,2$ pies de ancho. Se desea cubrir el piso con baldosas cuadradas del mayor tamaño posible, de manera que no haya que cortar ninguna y que el diseño sea perfectamente simétrico.

Sin embargo, el arquitecto quiere dejar un pequeño canal de ventilación de $60$ pulgadas de ancho a lo largo de todo el perímetro de la sala, por lo que el área real a embaldosar será un rectángulo interior más pequeño.

Calcule la medida del lado de la baldosa más grande que se puede utilizar para cubrir ese rectángulo interior y cuántas baldosas se necesitarán en total.

Un centro de rescate de fauna marina ha recibido una donación de tres mangueras de alta resistencia para limpiar los tanques. Las longitudes de las mangueras son de $156$ pies, $144$ pies y $108$ pies.

Quieren cortarlas en trozos de la misma longitud, sin que sobre nada, para distribuirlos entre diferentes equipos de voluntarios. El jefe del centro pone como condición que los trozos deben ser lo más largos posible, pero por razones de seguridad, ningún trozo puede medir más de $15$ pies.

¿Qué longitud deberá tener cada trozo para cumplir todas las condiciones? ¿Cuántos voluntarios recibirán una manguera?

Imagine que tiene un terreno con forma de triángulo escaleno cuyos lados miden $210$, $270$ y $330$ pies. Se quieren colocar postes de madera en todo el perímetro a distancias iguales, de forma que haya un poste en cada vértice y que la distancia entre postes sea la máxima posible.

Si cada poste cuesta $\$14,50$ y la mano de obra por colocar cada uno es de $\$6$, ¿cuál será el presupuesto total para cercar el terreno?

Una empresa de logística quiere transportar tres tipos de mercancías en contenedores cúbicos iguales, lo más grandes posible, para aprovechar al máximo el espacio de un gran almacén de carga. Las cantidades de mercancía se miden en volumen:

• Cajas de tecnología: $1\,512$ $m^3$

• Cajas de alimentación: $1\,848$ $m^3$

• Cajas de textil: $1\,260$ $m^3$

Si cada contenedor debe ir lleno con un solo tipo de mercancía y no puede sobrar espacio en ninguno de ellos, ¿cuál debe ser el volumen de cada contenedor cúbico? ¿Cuántos contenedores de textil habrá en el almacén?

Determine todos los pares de números naturales cuya suma sea $168$ y cuyo máximo común divisor sea $m.c.d.(a, b) = 24$.

Ayuda: Si el M.C.D. es 24, puede escribir los números como $a = 24 \cdot p$ y $b = 24 \cdot q$, donde $p$ y $q$ deben ser primos entre sí.

Se tienen dos números naturales $A$ y $B$ tales que su $m.c.d.(A, B) = 15$. Si multiplicamos el número $A$ por $12$ y el número $B$ por $12$, ¿cuál será el nuevo máximo común divisor de los números resultantes? Justifique su respuesta aplicando las propiedades de los divisores.