Tres amigos de un club de deportes electrónicos ganan un torneo y se reparten un premio de $\$1{,}900$. En la final, el primer jugador anotó 150 puntos, el segundo 120 y el tercero 110. ¿Es justo dividir el dinero en partes iguales? Parece más justo que el jugador con más puntos reciba más dinero. Eso es un reparto proporcional, y al terminar esta página sabrás exactamente cuánto recibe cada jugador.
Reparto directamente proporcional
En un reparto directamente proporcional, la cantidad que recibe cada persona es proporcional a un número que mide su esfuerzo o su contribución: puntos, horas trabajadas, dinero invertido. A más contribución, mayor parte.
Las partes están en la misma razón que los números. Aquí la razón es $150 : 120 : 110$. El dinero por punto es igual para todos. Esa constante es la constante de proporcionalidad, también llamada tasa unitaria.
Cambia el total o las partes y observa cómo se divide la barra:
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Tres hermanos deciden repartirse una bolsa de $120$ dulces de forma directamente proporcional a sus edades, que son $2$, $3$ y $7$ años. ¿Cuántos dulces le corresponden…
Tres hermanos deciden repartirse una bolsa de $120$ dulces de forma directamente proporcional a sus edades, que son $2$, $3$ y $7$ años. ¿Cuántos dulces le corresponden a cada uno?
Tres amigos, Alba, Beto y Caio, han colaborado en un mercadillo solidario vendiendo manualidades. Deciden repartirse los $300 \ \$…
Tres amigos, Alba, Beto y Caio, han colaborado en un mercadillo solidario vendiendo manualidades. Deciden repartirse los $300 \ \$$ de ganancia de forma directamente proporcional al número de horas que ha trabajado cada uno: Alba trabajó $2$ horas, Beto $3$ horas y Caio $5$ horas. Calcule cuánto dinero recibe cada uno.
Tres amigos deciden alquilar un servidor privado para jugar a un videojuego en línea durante las vacaciones. El costo total del alquiler es de $153\ \$…
Tres amigos deciden alquilar un servidor privado para jugar a un videojuego en línea durante las vacaciones. El costo total del alquiler es de $153\ \$$. Han acordado repartir el pago de forma directamente proporcional al tiempo que cada uno ha estado conectado: Álex estuvo $12$ horas, Bea $18$ horas y Cristian $21$ horas. ¿Cuánto debe aportar cada uno para pagar la factura?
Ahora la situación contraria: la persona que tiene más de algo recibe menos. Por ejemplo, un premio se reparte de forma inversamente proporcional al número de errores: cuantos menos errores cometes, más recibes.
Esta es la idea clave. Si Emma tiene la mitad de errores que Liam, debe recibir el doble. Por eso las partes son directamente proporcionales a los recíprocos $\dfrac{1}{a}, \dfrac{1}{b}, \dfrac{1}{c}$ de los números.
Observa cómo cambia la barra cuando el reparto es inverso:
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En un concurso de videojuegos, se reparten $100$ puntos de bonificación entre dos jugadores de forma inversamente proporcional al número de errores que han cometido. Si…
En un concurso de videojuegos, se reparten $100$ puntos de bonificación entre dos jugadores de forma inversamente proporcional al número de errores que han cometido. Si el primer jugador ha cometido $2$ errores y el segundo ha cometido $4$ errores, ¿cuántos puntos recibe cada uno?
En una carrera de drones, se reparten $310$ puntos de bonificación entre los tres primeros clasificados de forma inversamente proporcional al número de faltas técnicas…
En una carrera de drones, se reparten $310$ puntos de bonificación entre los tres primeros clasificados de forma inversamente proporcional al número de faltas técnicas que han cometido durante el circuito. El primer clasificado tuvo $2$ faltas, el segundo tuvo $5$ faltas y el tercero tuvo $10$ faltas. ¿Cuántos puntos recibe cada uno?
Una empresa de mensajería sostenible quiere premiar a sus tres mejores repartidores de la sección de bicicletas. El premio total es de $\$1\,160…
Una empresa de mensajería sostenible quiere premiar a sus tres mejores repartidores de la sección de bicicletas. El premio total es de $\$1\,160$ y se repartirá de forma inversamente proporcional al número de paquetes que hayan llegado con retraso durante el último mes. El repartidor $A$ tuvo $2$ retrasos, el repartidor $B$ tuvo $3$ y el repartidor $C$ tuvo $4$. Calcula cuánto dinero le corresponde a cada uno.
¿Y si los números que te dan ya son fracciones? Entonces los recíprocos son fáciles: el recíproco de $\frac{1}{2}$ es $2$, el de $\frac{1}{3}$ es $3$, y así sucesivamente.
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En un concurso de reciclaje, una alcaldía reparte un fondo de $\$2\,600…
En un concurso de reciclaje, una alcaldía reparte un fondo de $\$2\,600$ entre tres centros educativos de forma inversamente proporcional al número de toneladas de residuos no reciclados que han generado. El Centro $1$ generó $\frac{1}{2}$ tonelada, el Centro $2$ generó $\frac{1}{3}$ de tonelada y el Centro $3$ generó $\frac{1}{4}$ de tonelada. ¿Qué premio económico recibe cada centro?
Muchos problemas no terminan con el reparto. A veces hay que restar una cuota antes, o sumar una bonificación a una persona después. El dibujo muestra la idea de una cuota.
Los pasos adicionales también se pueden combinar con un reparto inverso: haz primero el reparto inverso y luego suma la bonificación a la persona correcta. Se aplican las mismas reglas de orden.
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Tres amigos de un club de e-sports han ganado un torneo regional y van a repartirse un premio de $\$1\,900…
Tres amigos de un club de e-sports han ganado un torneo regional y van a repartirse un premio de $\$1\,900$. El reparto debe ser directamente proporcional a los puntos obtenidos en la gran final. El primer jugador consiguió $150$ puntos, el segundo $120$ puntos y el tercero $110$ puntos. Sin embargo, antes de cobrar, el club les descuenta un $5\%$ del total del premio por gastos de gestión. ¿Qué cantidad neta recibirá cada uno de los tres jugadores tras aplicar el descuento y realizar el reparto proporcional?
Un abuelo quiere repartir una colección de $165$ monedas antiguas entre sus tres nietos de forma inversamente proporcional a sus edades, que son $12, 15$ y $20$ años. Al…
Un abuelo quiere repartir una colección de $165$ monedas antiguas entre sus tres nietos de forma inversamente proporcional a sus edades, que son $12, 15$ y $20$ años. Al nieto más pequeño le hace tanta ilusión que el abuelo decide regalarle, además, $10$ monedas más que extrae de su propia reserva personal. ¿Con cuántas monedas terminará cada nieto?
A veces el problema no te da el total ni todos los números. En cambio, conoces una parte y el número que le corresponde. Eso basta para hallar la constante de proporcionalidad $k$ (la tasa unitaria):
$$k = \frac{\text{una parte conocida}}{\text{su número}}$$
Una vez que conoces $k$, puedes hallar cualquier parte que falte ($\text{parte} = k \times \text{número}$) o cualquier número que falte ($\text{número} = \text{parte} \div k$).
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Una aplicación de música ha repartido sus ganancias trimestrales entre tres artistas emergentes de forma directamente proporcional al número de reproducciones de sus…
Una aplicación de música ha repartido sus ganancias trimestrales entre tres artistas emergentes de forma directamente proporcional al número de reproducciones de sus temas. Sabemos que el artista $X$ recibió $\$1\,200$ por tener $300\,000$ reproducciones. Si el artista $Y$ tuvo $450\,000$ reproducciones y el artista $Z$ recibió $\$2\,400$, calcula:
El número de reproducciones que tuvo el artista $Z$.
La cantidad de dinero que recibió el artista $Y$.
El beneficio total que repartió la aplicación entre los tres.
Una parcela rectangular de $1\,200$ $m^2$ se divide en tres huertos escolares para las clases de 7.º grado. El reparto de la superficie se hace de forma directamente…
Una parcela rectangular de $1\,200$ $m^2$ se divide en tres huertos escolares para las clases de 7.º grado. El reparto de la superficie se hace de forma directamente proporcional a la cantidad de alumnos de cada clase. En la clase $A$ hay $24$ alumnos, en la clase $B$ hay $28$ alumnos y la clase $C$ tiene un número de alumnos tal que le han correspondido $450$ $m^2$ de huerto.
¿Cuántos alumnos tiene la clase $C$?
¿Qué superficie le corresponde a las clases $A$ y $B$?
A veces los números se describen por cómo se comparan, como "el doble" o "3 menos". Halla primero cada número y luego reparte como de costumbre.
Si los números son desconocidos pero están relacionados, escríbelos en función de una incógnita y conviértelos en una razón de números enteros. Luego usa una parte conocida para hallar el valor de una parte.
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Tres familias han rentado una casa de campo para pasar las vacaciones de Semana Santa. El costo total de la renta es de $\$1\,500…
Tres familias han rentado una casa de campo para pasar las vacaciones de Semana Santa. El costo total de la renta es de $\$1\,500$. Deciden repartir el gasto de forma directamente proporcional al número de noches que cada familia se quedó en la casa. La familia Sánchez se quedó $5$ noches, la familia Pérez estuvo el doble de noches que la familia García, y la familia García estuvo $3$ noches menos que la familia Sánchez. ¿Qué cantidad debe pagar cada familia?
Una herencia de $\$112\,000$ se reparte entre tres instituciones benéficas de forma directamente proporcional a las plazas que ofrecen. La institución $P$ tiene $x…
Una herencia de $\$112\,000$ se reparte entre tres instituciones benéficas de forma directamente proporcional a las plazas que ofrecen. La institución $P$ tiene $x$ plazas, la institución $Q$ tiene el triple de plazas que la $P$, y la institución $R$ tiene la mitad de plazas que la $Q$. Sabiendo que a la institución $Q$ le han correspondido $\$60\,000$, ¿cuánto dinero recibe cada una de las otras dos instituciones?
Volvamos al inicio: los jugadores de deportes electrónicos reciben $\$750$, $\$600$ y $\$550$, porque cada punto vale $\$5$. El jugador con más puntos recibe más dinero, y las partes suman $\$1{,}900$.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel fácil en este apartado