Ecuaciones cuadráticas
Tu escuela quiere pintar un mural cuadrado que cubra exactamente $144$ pies cuadrados de la pared del gimnasio. ¿Cuánto debe medir cada lado? Necesitas un número $x$ tal que $x \cdot x = 144$. Esta es una nueva clase de ecuación: la incógnita está al cuadrado. Se llaman ecuaciones cuadráticas, y al final de esta página podrás resolver cualquiera de ellas, incluso las que no puedes resolver "a simple vista".
Forma estándar
En una ecuación lineal, $x$ aparece solo con exponente 1. En una ecuación cuadrática, la mayor potencia de $x$ es $2$.
¿Por qué $a \neq 0$? Si $a = 0$, el término $x^2$ desaparece y queda una ecuación lineal.
Para hallar $a$, $b$ y $c$, primero pasa todos los términos a un lado para que el otro lado sea $0$.
La gráfica de $y = ax^2 + bx + c$ es una parábola. Las soluciones de $ax^2 + bx + c = 0$ son los valores de $x$ donde la parábola cruza el eje $x$. Mueve los deslizadores. ¿Puedes lograr que la parábola deje de tocar el eje $x$?
Identifique cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado. Para aquellas que lo sean, escríbalas en su forma general ($ax^2 + bx + c = 0$) e indique el valor…
Identifique cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado. Para aquellas que lo sean, escríbalas en su forma general ($ax^2 + bx + c = 0$) e indique el valor de sus coeficientes $a$, $b$ y $c$:
- a) $3x^2 - 5 = x + 2$
- b) $x^2 + 3x - x^2 = 10$
- c) $5x - 3 = 0$
- d) $(x + 2) \cdot (x - 2) = 0$
Ecuaciones incompletas: el método de la raíz cuadrada
Cuando falta el término en $x$ ($b = 0$), no necesitas una fórmula. Aísla $x^2$ y saca la raíz cuadrada, igual que en el problema del mural.
¿Por qué dos signos? Porque tanto $12^2$ como $(-12)^2$ son iguales a $144$.
Calcule la solución de estas ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + c = 0$ (recuerde que pueden tener dos soluciones, una o ninguna): a) $x^2 - 49 = 0$…
Calcule la solución de estas ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + c = 0$ (recuerde que pueden tener dos soluciones, una o ninguna):
- a) $x^2 - 49 = 0$
- b) $2x^2 - 32 = 0$
- c) $x^2 + 25 = 0$
- d) $5x^2 = 0$
Queremos diseñar una alfombra cuadrada para una habitación. Si sabemos que el área total que debe ocupar es de $144$ $m^2$, ¿cuánto debe medir el lado de la alfombra?…
Queremos diseñar una alfombra cuadrada para una habitación. Si sabemos que el área total que debe ocupar es de $144$ $m^2$, ¿cuánto debe medir el lado de la alfombra? Escriba la ecuación de segundo grado correspondiente y resuélvala.
El municipio de una ciudad quiere instalar una lona publicitaria cuadrada en la fachada de un centro deportivo para anunciar un evento de eSports. Si la superficie total…
El municipio de una ciudad quiere instalar una lona publicitaria cuadrada en la fachada de un centro deportivo para anunciar un evento de eSports. Si la superficie total que ocupa la lona es de $144 m^2$, plantee una ecuación de segundo grado y calcule cuánto mide el lado de dicha lona.
Ecuaciones incompletas: sacar factor común $x$
Cuando falta el término constante ($c = 0$), todos los términos tienen una $x$. Saca $x$ como factor común y usa esta idea:
Funciona porque al multiplicar dos números distintos de cero nunca se obtiene $0$. Así, para $ax^2 + bx = 0$:
$$x^2 - 7x = 0 \ \Rightarrow\ x(x - 7) = 0 \ \Rightarrow\ x = 0 \ \text{ o } \ x - 7 = 0 \ \Rightarrow\ x = 0 \text{ o } x = 7$$Algunos problemas llaman a este paso extraer factor común. Es lo mismo que sacar $x$ como factor.
Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas extrayendo factor común. No olvide que una de las soluciones siempre es $x = 0$: a) $x^2 - 7x = 0$ b)…
Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas extrayendo factor común. No olvide que una de las soluciones siempre es $x = 0$:
- a) $x^2 - 7x = 0$
- b) $3x^2 + 12x = 0$
- c) $x^2 = 5x$
- d) $4x^2 - 2x = 0$
Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas utilizando el método más adecuado (extracción de factor común o raíz cuadrada directa): a)…
Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas utilizando el método más adecuado (extracción de factor común o raíz cuadrada directa):
- a) $3x^2 - 27 = 0$
- b) $x^2 + 5x = 0$
- c) $2x^2 = 8x$
Cómo construir una ecuación a partir de sus soluciones
La propiedad del producto cero también funciona al revés. Si las soluciones son $r_1$ y $r_2$, entonces $(x - r_1)(x - r_2) = 0$ es una ecuación con exactamente esas soluciones.
La parábola cruza el eje $x$ exactamente en $2$ y en $7$.
Sofía y Diego están jugando a "adivinar la ecuación". Sofía dice: "Mi ecuación tiene las soluciones $x_1 = 3$ y $x_2 = -5$ y el coeficiente del término $x^2$ es $1$".…
Sofía y Diego están jugando a "adivinar la ecuación". Sofía dice: "Mi ecuación tiene las soluciones $x_1 = 3$ y $x_2 = -5$ y el coeficiente del término $x^2$ es $1$".
Escriba la ecuación de Sofía en su forma general ($x^2 + bx + c = 0$). Ayuda: Utilice la forma factorizada $(x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0$.
La fórmula cuadrática
Para una ecuación completa (con $b$ y $c$ distintos de cero), hay una fórmula que siempre funciona:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$El signo $\pm$ da dos respuestas: una sumando la raíz cuadrada y otra restándola. (La fórmula sale de completar el cuadrado en $ax^2 + bx + c = 0$, pero solo necesitas saber usarla.) También se le llama "fórmula general".
A veces la raíz cuadrada no es un número entero. Entonces usa una calculadora y redondea. Para $x^2 - 4x + 1 = 0$: $b^2 - 4ac = 16 - 4 = 12$, así que
$$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} \approx \frac{4 \pm 3.46}{2} \quad\Rightarrow\quad x \approx 3.73 \ \text{ o } \ x \approx 0.27$$Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado completas utilizando la fórmula general: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ a) $x^2 - 5x + 6 = 0$ b)…
Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado completas utilizando la fórmula general:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$- a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
- b) $x^2 + 2x - 8 = 0$
- c) $x^2 - 10x + 25 = 0$
Un diseñador de jardines quiere rodear una fuente circular con un borde de flores. La ecuación que relaciona las medidas del diseño es $x(x - 8) = -15$, donde $x$ es una…
Un diseñador de jardines quiere rodear una fuente circular con un borde de flores. La ecuación que relaciona las medidas del diseño es $x(x - 8) = -15$, donde $x$ es una medida en pies. Resuelva la ecuación utilizando la fórmula general para encontrar los posibles valores de $x$.
Primero simplifica, después resuelve
Muchas ecuaciones no empiezan en forma estándar. Pueden tener paréntesis, un binomio al cuadrado o fracciones. Primero ordénalas.
La figura muestra por qué $(x + 2)^2$ no es $x^2 + 4$: también aparecen dos rectángulos de área $2x$.
Reduzca la siguiente expresión a la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ y halle sus soluciones aplicando la fórmula: $$(x + 2)^2 - 7 = 2x + 1$$
Reduzca la siguiente expresión a la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ y halle sus soluciones aplicando la fórmula:
$$(x + 2)^2 - 7 = 2x + 1$$Un programador de videojuegos está diseñando la fórmula para calcular la experiencia crítica de un personaje. Después de simplificar el código, la ecuación resultante es…
Un programador de videojuegos está diseñando la fórmula para calcular la experiencia crítica de un personaje. Después de simplificar el código, la ecuación resultante es la siguiente:
$$\frac{(x + 2)^2}{3} - \frac{x(x - 1)}{2} = \frac{x^2 + 7}{6}$$Opere, reduzca a la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ y halle los valores de $x$ que hacen que la fórmula funcione.
El discriminante: ¿cuántas soluciones hay?
La expresión bajo la raíz cuadrada, $\Delta = b^2 - 4ac$, se llama discriminante. Te dice cuántas soluciones reales hay sin resolver. Si $\Delta$ es positivo, puedes sacar su raíz cuadrada y el $\pm$ da dos respuestas distintas. Si $\Delta = 0$, entonces $\pm 0$ da la misma respuesta dos veces. Si $\Delta$ es negativo, no hay raíz cuadrada real.
| $\Delta = b^2 - 4ac$ | Soluciones |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | Dos soluciones reales distintas |
| $\Delta = 0$ | Una solución (raíz doble) |
| $\Delta < 0$ | Ninguna solución real |
Sin resolver las ecuaciones, calcule el valor del discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) e indique si tienen dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real: a)…
Sin resolver las ecuaciones, calcule el valor del discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) e indique si tienen dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real:
- a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
- b) $x^2 - 5x + 4 = 0$
- c) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
En el laboratorio de matemáticas, estamos analizando el comportamiento de diferentes proyectiles. Sin resolver las siguientes ecuaciones, utilice el discriminante…
En el laboratorio de matemáticas, estamos analizando el comportamiento de diferentes proyectiles. Sin resolver las siguientes ecuaciones, utilice el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) para indicar cuántas soluciones reales tiene cada una:
- a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
- b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
- c) $x^2 - 5x + 4 = 0$
Se va a construir una rampa parabólica para un nuevo skatepark. Para que la rampa sea segura y tenga un único punto de apoyo sobre el suelo, el discriminante de la…
Se va a construir una rampa parabólica para un nuevo skatepark. Para que la rampa sea segura y tenga un único punto de apoyo sobre el suelo, el discriminante de la ecuación que describe su trayectoria, $x^2 - 10x + k = 0$, debe ser igual a cero.
¿Qué valor debe tener el coeficiente $k$ para que la rampa tenga una única solución (solución doble)? Una vez hallado $k$, resuelva la ecuación para encontrar el punto de apoyo.
Problemas verbales: áreas
Las ecuaciones cuadráticas aparecen siempre que se multiplican dos longitudes. Usa el mismo plan cada vez:
-
Define la incógnita ("Sea $x$ = el ancho en pies").
-
Escribe las demás cantidades en términos de $x$.
-
Plantea la ecuación (haz primero un dibujo).
-
Resuélvela.
-
Descarta las respuestas que no tengan sentido (una longitud negativa) y comprueba la respuesta en el problema.
Cuando la respuesta no es un número entero, usa la fórmula y luego redondea el resultado como pida el problema (por ejemplo, a dos lugares decimales).
Halle las dimensiones del rectángulo de la figura sabiendo que su área es de $15$ $cm^2$. Para ello, plantee una ecuación de segundo grado y resuélvala mediante la…
Halle las dimensiones del rectángulo de la figura sabiendo que su área es de $15$ $cm^2$. Para ello, plantee una ecuación de segundo grado y resuélvala mediante la fórmula general.
La base de una nueva tablet tiene forma rectangular. Sabemos que su base mide $4 cm$ más que su altura y que su superficie total es de $60 cm^2$. Calcule las dimensiones…
La base de una nueva tablet tiene forma rectangular. Sabemos que su base mide $4 cm$ más que su altura y que su superficie total es de $60 cm^2$. Calcule las dimensiones (base y altura) de la tablet resolviendo la ecuación de segundo grado correspondiente.
Un artista urbano quiere pintar un mural cuadrado en una pared. Sin embargo, decide ampliar el diseño original aumentando su lado en $2$ pies. Al hacerlo, el área total…
Un artista urbano quiere pintar un mural cuadrado en una pared. Sin embargo, decide ampliar el diseño original aumentando su lado en $2$ pies. Al hacerlo, el área total del mural se triplica respecto al diseño original.
Calcule cuánto medía el lado del mural originalmente (aproxime el resultado a dos decimales si es necesario).
Problemas verbales: teorema de Pitágoras y cajas abiertas
Dos situaciones clásicas de geometría dan ecuaciones cuadráticas.
Triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras dice que $a^2 + b^2 = c^2$, donde $c$ es la hipotenusa. Si los catetos son expresiones en $x$, al elevarlos al cuadrado aparece una ecuación con $x^2$.
Cajas abiertas. Si cortas un cuadrado de lado $x$ en cada esquina de una hoja y doblas los lados, la base se reduce en $2x$ en cada dirección (quitas $x$ en ambos extremos).
Un scooter eléctrico de $130$ pulg de largo se ha quedado apoyado contra una pared. La distancia desde el pie de la pared hasta la base del scooter es $70$ pulg menor…
Un scooter eléctrico de $130$ pulg de largo se ha quedado apoyado contra una pared. La distancia desde el pie de la pared hasta la base del scooter es $70$ pulg menor que la altura que alcanza el scooter en la pared.
Si llamamos $x$ a la altura de la pared, aplique el Teorema de Pitágoras para plantear una ecuación de segundo grado y calcule dicha altura.
Una lámina de cartón rectangular mide $20$ pulg de base y $15$ pulg de altura. Queremos recortar un cuadrado de lado $x$ en cada una de sus esquinas para fabricar una…
Una lámina de cartón rectangular mide $20$ pulg de base y $15$ pulg de altura. Queremos recortar un cuadrado de lado $x$ en cada una de sus esquinas para fabricar una caja abierta. Si sabemos que el área de la base de la caja resultante debe ser de $150$ pulg², calcule cuánto debe medir el lado $x$ de los cuadrados recortados.
Problemas verbales: acertijos con números
Para resolver problemas de "halla el número", primero traduce las palabras al lenguaje del álgebra.
| Palabras | Álgebra |
|---|---|
| un número | $n$ |
| el cuadrado de un número | $n^2$ |
| dos enteros consecutivos | $n$ y $n + 1$ |
| el producto de dos números | $n(n + 1)$ |
| un número menos $3$, al cuadrado | $(n - 3)^2$ |
| cuatro veces el menor | $4n$ |
El producto de un número entero por su siguiente es igual a $30$. Traduzca este enunciado a una ecuación de segundo grado y halle de qué números puede tratarse (recuerde…
El producto de un número entero por su siguiente es igual a $30$. Traduzca este enunciado a una ecuación de segundo grado y halle de qué números puede tratarse (recuerde que existen dos posibles parejas de números).
Halle un número entero tal que si le suma su propio cuadrado, el resultado obtenido es $42$. Pista: Recuerde pasar todos los términos a un miembro para igualar la…
Halle un número entero tal que si le suma su propio cuadrado, el resultado obtenido es $42$. Pista: Recuerde pasar todos los términos a un miembro para igualar la ecuación a cero.
El producto de dos números enteros consecutivos es igual al cuádruple del menor más $10$ unidades. Plantee la ecuación de segundo grado correspondiente y halle cuáles…
El producto de dos números enteros consecutivos es igual al cuádruple del menor más $10$ unidades. Plantee la ecuación de segundo grado correspondiente y halle cuáles son esos dos números. ¿Hay más de una pareja de números que cumpla la condición?
Problemas verbales: modelos del mundo real
A veces una fórmula da una cantidad que depende de una variable al cuadrado, como la altura de algo lanzado al aire. Para saber cuándo alcanza cierto valor, iguala la fórmula a ese valor y resuelve.
Se lanza un pequeño dron de juguete verticalmente hacia arriba desde el suelo. La altura $h$ (en pies) a la que se encuentra el dron después de un tiempo $t$ (en…
Se lanza un pequeño dron de juguete verticalmente hacia arriba desde el suelo. La altura $h$ (en pies) a la que se encuentra el dron después de un tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión:
$$h = 30t - 5t^2$$¿En qué momentos se encontrará el dron exactamente a $25$ pies de altura? Explique por qué obtiene dos soluciones distintas.
En una red social de fotografía, el número de "Likes" de la publicación de hoy de un influencer* ha sido tal que, si se le restan $10$ unidades y el resultado se eleva…
En una red social de fotografía, el número de "Likes" de la publicación de hoy de un influencer ha sido tal que, si se le restan $10$ unidades y el resultado se eleva al cuadrado, se obtiene el mismo valor que multiplicando el número de "Likes" por $5$ y sumándole $50$.
Calcule cuántos "Likes" ha recibido hoy dicha publicación.
De vuelta al comienzo: En el mural, $x^2 = 144$ da $x = \pm\sqrt{144} = \pm 12$. Una longitud no puede ser negativa, así que cada lado mide exactamente $12$ ft.