Aplicaciones del teorema de Pitágoras y la semejanza
Te conviene dominar: Raíz cuadrada (Matemáticas de 6.º grado)
Te conviene dominar: Triángulos (Matemáticas de 6.º grado)
Estás comprando una televisión y la caja dice "50 pulgadas". ¿Es el ancho? ¿El alto? Ninguno de los dos. Entonces, ¿cómo sabes si cabrá en tu estante? El truco en casi todos los problemas de geometría de la vida real es el mismo: encontrar el triángulo rectángulo escondido en el dibujo y usar el teorema de Pitágoras, los triángulos semejantes, o ambos.
La diagonal de un rectángulo: pantallas y fotos
En cualquier rectángulo, el ancho, el alto y la diagonal forman un triángulo rectángulo. La diagonal es el lado más largo, así que es la hipotenusa.
Si conoces los dos catetos, suma los cuadrados para obtener $c^2$. Si conoces la hipotenusa y un cateto, resta para obtener el otro cateto: $b^2 = c^2 - a^2$.
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Una tableta tiene una pantalla rectangular cuyas dimensiones son $24 \text{ cm}$ de base y $7 \text{ cm}$ de altura. Calcula la medida de su diagonal aplicando el…
Una tableta tiene una pantalla rectangular cuyas dimensiones son $24 \text{ cm}$ de base y $7 \text{ cm}$ de altura. Calcula la medida de su diagonal aplicando el teorema de Pitágoras.
Sofía ha comprado una televisión de $50$ pulgadas. Sabiendo que $1$ pulgada equivale a $2,54 \text{ cm}$, la diagonal de la pantalla mide exactamente $127 \text{ cm}$.…
Sofía ha comprado una televisión de $50$ pulgadas. Sabiendo que $1$ pulgada equivale a $2,54 \text{ cm}$, la diagonal de la pantalla mide exactamente $127 \text{ cm}$. Si la anchura de la televisión es de $110 \text{ cm}$, ¿cuál es la altura de la pantalla? Utiliza el teorema de Pitágoras y redondea el resultado a las décimas.
¿Cabe un objeto largo dentro de una caja si lo inclinas de una esquina a la esquina opuesta? Ese segmento más largo es la diagonal del espacio. Esconde dos triángulos rectángulos: primero la diagonal del piso y después un triángulo vertical sobre ella.
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Un gamer quiere guardar su teclado mecánico de $52\text{ cm}$ de largo dentro de una caja de transporte que ha comprado. La caja es un prisma rectangular con unas…
Un gamer quiere guardar su teclado mecánico de $52\text{ cm}$ de largo dentro de una caja de transporte que ha comprado. La caja es un prisma rectangular con unas dimensiones internas de $48\text{ cm}$ de largo, $18\text{ cm}$ de ancho y $10\text{ cm}$ de alto. ¿Podrá el teclado caber en la caja si lo coloca uniendo dos vértices opuestos (la diagonal del espacio)? Calcula la medida de la diagonal mayor del interior de la caja para justificar tu respuesta.
Un poste alto, el suelo y un cable que sostiene el poste forman un triángulo rectángulo. El cable (o la escalera, o la tirolesa) es la hipotenusa porque une la parte de arriba con el suelo y es el lado más largo.
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Para asegurar una antena de radio, se ha colocado un cable tensor desde su parte más alta hasta el suelo. Si la antena mide $12 \text{ m}$ de altura y el cable se amarra…
Para asegurar una antena de radio, se ha colocado un cable tensor desde su parte más alta hasta el suelo. Si la antena mide $12 \text{ m}$ de altura y el cable se amarra al suelo a una distancia de $5 \text{ m}$ de la base, ¿qué longitud tiene el cable?
Para salvar un pequeño barranco en un circuito de aventuras, se ha instalado una tirolesa de $25 \text{ m}$ de longitud. El punto de salida está en una torre a…
Para salvar un pequeño barranco en un circuito de aventuras, se ha instalado una tirolesa de $25 \text{ m}$ de longitud. El punto de salida está en una torre a $18 \text{ m}$ de altura y el punto de llegada está en otra plataforma a $3 \text{ m}$ de altura. ¿Cuál es la distancia horizontal que separa ambas estructuras?
El frente de un techo de cobertizo es un triángulo isósceles. Si dibujas su altura, cae en el punto medio de la base. Así tienes dos triángulos rectángulos, cada uno con un cateto igual a la mitad de la base.
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El techo de una caseta de jardín tiene forma de triángulo isósceles. La base del triángulo mide $6 \text{ metros}$ y los lados iguales miden $5 \text{ metros}$ cada uno.…
El techo de una caseta de jardín tiene forma de triángulo isósceles. La base del triángulo mide $6 \text{ metros}$ y los lados iguales miden $5 \text{ metros}$ cada uno. Calcula la altura del techo.
Las diagonales de un rombo se cruzan en ángulo recto y se cortan por la mitad. Por eso un rombo está formado por cuatro triángulos rectángulos idénticos. Cada cateto es la mitad de una diagonal y el lado del rombo es la hipotenusa.
Un hexágono regular está formado por seis triángulos equiláteros que se juntan en el centro. La apotema es la distancia del centro al punto medio de un lado, así que es la altura de uno de esos triángulos.
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Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden $16 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. (Pista: Recuerda que las diagonales de un rombo son perpendiculares y se…
Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden $16 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. (Pista: Recuerda que las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en su punto medio, formando cuatro triángulos rectángulos iguales).
Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular cuyo lado mide $8 \text{ cm}$. Para hallar el área, recuerda que primero debes calcular la apotema utilizando el…
Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular cuyo lado mide $8 \text{ cm}$. Para hallar el área, recuerda que primero debes calcular la apotema utilizando el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos equiláteros que forman el hexágono.
A veces el dibujo tiene dos triángulos rectángulos que comparten un cateto. No puedes resolver ninguno por separado, pero si escribes el teorema de Pitágoras para ambos, puedes compararlos.
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Un faro de $35\text{ m}$ de altura está situado sobre un acantilado vertical. Desde un barco en el mar, se observa que la distancia a la base del faro (el punto donde…
Un faro de $35\text{ m}$ de altura está situado sobre un acantilado vertical. Desde un barco en el mar, se observa que la distancia a la base del faro (el punto donde empieza el faro en el acantilado) es de $100\text{ m}$ y la distancia a la parte más alta del faro es de $110\text{ m}$. Calcula:
a) La altura del acantilado sobre el nivel del mar.
b) La distancia horizontal desde el barco hasta la base del acantilado.
En el mismo momento del día, la luz del sol llega a todo con el mismo ángulo. Una persona y un árbol forman cada uno un triángulo rectángulo con su sombra, y estos dos triángulos tienen los mismos ángulos, así que son semejantes (AA). Los lados correspondientes de triángulos semejantes están en la misma razón.
En algunos libros este método se llama teorema de Tales. En las clases de EE. UU. es simplemente la semejanza AA: dos triángulos con los mismos ángulos tienen lados proporcionales. La siguiente sección da la versión para una recta paralela a un lado, el teorema de la proporcionalidad de los triángulos.
La misma idea funciona con un reflector. Una luz en el suelo, una persona y una pared forman dos triángulos semejantes que comparten el ángulo en la luz. La clave es medir ambas distancias desde la luz.
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A una hora determinada del día, un poste vertical de $2 \text{ m}$ de altura proyecta una sombra de $1,5 \text{ m}$. En ese mismo instante, la sombra de una torre…
A una hora determinada del día, un poste vertical de $2 \text{ m}$ de altura proyecta una sombra de $1,5 \text{ m}$. En ese mismo instante, la sombra de una torre eléctrica cercana mide $12 \text{ m}$. Aplicando el teorema de Tales, calcula la altura de la torre.
Un grupo de alumnos de 7.º grado quiere calcular la altura de la canasta del patio sin utilizar una escalera. En un momento determinado, Luis, que mide $1,60 \text{ m}$,…
Un grupo de alumnos de 7.º grado quiere calcular la altura de la canasta del patio sin utilizar una escalera. En un momento determinado, Luis, que mide $1,60 \text{ m}$, proyecta una sombra de $0,80 \text{ m}$. Si en ese mismo instante la sombra de la canasta mide $1,52 \text{ m}$, ¿cuál es la altura de la canasta? Dibuja un esquema de la situación identificando los triángulos semejantes.
En una plaza hay un poste vertical. A una distancia de $12\text{ m}$ de su base, hay un foco en el suelo que proyecta luz. Un adolescente que mide $1,65\text{ m}$ se…
En una plaza hay un poste vertical. A una distancia de $12\text{ m}$ de su base, hay un foco en el suelo que proyecta luz. Un adolescente que mide $1,65\text{ m}$ se coloca entre el foco y el poste, a una distancia de $3\text{ m}$ del foco.
a) Calcula la altura del poste sabiendo que la sombra de la cabeza del joven coincide exactamente con la parte superior del poste.
b) Si el joven camina $2\text{ m}$ hacia el poste, ¿qué longitud tendrá su sombra proyectada sobre el propio poste?
Dibuja una recta paralela a un lado de un triángulo. Corta un triángulo pequeño en la parte de arriba que tiene los mismos ángulos que el triángulo completo, así que es semejante a él. Así se hallan longitudes de repisas, paneles de techo y copias a mayor escala.
Una pendiente es una razón que nunca cambia, como "sube 5 por cada 12 de avance". Cualquier triángulo con esa razón es semejante a todos los demás.
Si dos triángulos son semejantes, cada par de longitudes correspondientes (catetos, hipotenusas, alturas) tiene la misma razón $k$, llamada factor de escala. Ejemplo: un triángulo 6-8-10 y un triángulo semejante con el lado más corto igual a 9 tienen $k = \frac{9}{6} = 1.5$, así que los otros lados miden $8 \cdot 1.5 = 12$ y $10 \cdot 1.5 = 15$.
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Un carpintero está diseñando una estantería que tiene forma de triángulo rectángulo. Ha colocado un estante intermedio paralelo a la base. La altura total de la…
Un carpintero está diseñando una estantería que tiene forma de triángulo rectángulo. Ha colocado un estante intermedio paralelo a la base. La altura total de la estantería es de $150 \text{ cm}$ y la base mide $90 \text{ cm}$. Si el estante intermedio está situado a una altura de $60 \text{ cm}$ desde la base:
¿Cuánto mide la longitud de dicho estante intermedio?
¿Qué longitud tiene el listón inclinado que forma la hipotenusa de la estantería completa?
Una antena de telefonía de $12 \text{ m}$ de altura se sujeta al suelo con dos cables tensores que parten de su extremo superior. Cada cable está anclado a una distancia…
Una antena de telefonía de $12 \text{ m}$ de altura se sujeta al suelo con dos cables tensores que parten de su extremo superior. Cada cable está anclado a una distancia de $5 \text{ m}$ de la base de la antena.
¿Cuál es la longitud total de cable necesaria para sujetar la antena?
Si queremos colocar otra antena semejante cuya altura sea de $18 \text{ m}$, ¿a qué distancia de la base deberíamos anclar los cables para que la estructura siga siendo proporcional?
Se quiere instalar un panel solar rectangular en un techo inclinado. El techo tiene una inclinación tal que por cada $4\text{ m}$ de avance horizontal sube $3\text{ m}$…
Se quiere instalar un panel solar rectangular en un techo inclinado. El techo tiene una inclinación tal que por cada $4\text{ m}$ de avance horizontal sube $3\text{ m}$ de altura.
a) Calcula la longitud real del tramo de techo que cubre $8\text{ m}$ de distancia horizontal.
b) Si el panel solar mide $2\text{ m}$ de largo y se coloca siguiendo la pendiente del techo, ¿qué altura vertical $h$ salva el panel entre su borde inferior y el superior? (Usa semejanza de triángulos).
Dibuja la altura desde el ángulo recto de un triángulo rectángulo hasta la hipotenusa. Divide la hipotenusa en dos partes, $p$ y $q$, y crea dos triángulos rectángulos más pequeños. Ambos son semejantes al triángulo original (comparten un ángulo agudo con él).
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Una empresa de mensajería utiliza drones para entregar paquetes. Para que el aterrizaje sea seguro en una azotea, el dron proyecta dos rayos láser que forman un ángulo…
Una empresa de mensajería utiliza drones para entregar paquetes. Para que el aterrizaje sea seguro en una azotea, el dron proyecta dos rayos láser que forman un ángulo recto en el emisor. El dron se encuentra a una altura $h$ sobre la azotea. Los puntos de impacto de los láseres en el suelo están alineados con la vertical del dron y distan entre sí $15,6\text{ m}$. Si uno de los puntos de impacto está a $3,9\text{ m}$ de la vertical del dron, calcula:
a) La altura $h$ a la que vuela el dron utilizando el teorema de la altura.
b) La distancia desde el dron hasta cada uno de los dos puntos de aterrizaje (los catetos del triángulo).
Dos figuras son semejantes si una es una ampliación o reducción exacta de la otra. Cada longitud se multiplica por el mismo número, el factor de escala $k$:
En un dibujo a escala (un mapa o un plano), una escala como $1:48$ significa que 1 unidad en el dibujo representa 48 de la misma unidad en la realidad. Entonces longitud real $=$ longitud en el dibujo $\times$ 48. Convierte al final: $12$ in $= 1$ ft.
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Un diseñador gráfico tiene una fotografía rectangular de $10 \text{ cm}$ de ancho y $15 \text{ cm}$ de alto. Si decide ampliarla para hacer un póster de modo que el…
Un diseñador gráfico tiene una fotografía rectangular de $10 \text{ cm}$ de ancho y $15 \text{ cm}$ de alto. Si decide ampliarla para hacer un póster de modo que el nuevo ancho sea de $40 \text{ cm}$, ¿cuánto medirá la altura del póster si ambas figuras deben ser semejantes?
En el plano de una urbanización, la escala utilizada es $1:500$. Si la piscina comunitaria mide $3 \text{ cm}$ de largo en el plano, ¿cuál es su longitud real expresada…
En el plano de una urbanización, la escala utilizada es $1:500$. Si la piscina comunitaria mide $3 \text{ cm}$ de largo en el plano, ¿cuál es su longitud real expresada en metros?
Si las longitudes se multiplican por $k$, los perímetros se multiplican por $k$, pero las áreas y los volúmenes crecen más rápido.
Cuando pasas del objeto real al modelo con escala $1:n$, divides: las longitudes entre $n$, las áreas entre $n^2$ y los volúmenes entre $n^3$.
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Dos cuadrados son semejantes. El lado del primero mide $4 \text{ cm}$ y el lado del segundo mide $12 \text{ cm}$. Calcula la razón de semejanza $k$ y explica cuántas…
Dos cuadrados son semejantes. El lado del primero mide $4 \text{ cm}$ y el lado del segundo mide $12 \text{ cm}$. Calcula la razón de semejanza $k$ y explica cuántas veces es mayor el área del segundo cuadrado respecto al primero.
En el plano de una habitación a escala $1:50$, las dimensiones de una mesa de estudio rectangular son $2,4 \text{ cm}$ de ancho y $3,6 \text{ cm}$ de largo. 1. Calcula…
En el plano de una habitación a escala $1:50$, las dimensiones de una mesa de estudio rectangular son $2,4 \text{ cm}$ de ancho y $3,6 \text{ cm}$ de largo.
Calcula las dimensiones reales de la mesa en metros.
Si el área real de la habitación es de $12 \text{ m}^2$, ¿cuál es el área que ocupa la habitación en el plano expresada en $\text{cm}^2$?
Se ha fabricado una maqueta de un monumento utilizando una escala $1:250$. Si el monumento real tiene un volumen de $1500 \text{ m}^3$, calcula el volumen de la maqueta…
Se ha fabricado una maqueta de un monumento utilizando una escala $1:250$. Si el monumento real tiene un volumen de $1500 \text{ m}^3$, calcula el volumen de la maqueta en decímetros cúbicos ($\text{dm}^3$). Recuerda la relación entre la razón de semejanza y la razón de los volúmenes.
Los problemas difíciles suelen necesitar dos o tres de las herramientas anteriores. Haz un plan: dibuja la figura, encuentra los triángulos rectángulos escondidos, halla el factor de escala y solo después calcula.
Cuando un problema da una razón de áreas y pide longitudes, ve hacia atrás: $k = \sqrt{\text{razón de áreas}}$.
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Para un festival de cine, se ha construido una maqueta a escala de una pirámide regular de base cuadrada. La pirámide real tiene un lado de la base de $24\text{ m}$ y…
Para un festival de cine, se ha construido una maqueta a escala de una pirámide regular de base cuadrada. La pirámide real tiene un lado de la base de $24\text{ m}$ y una altura de $16\text{ m}$. Si la maqueta se ha construido con una razón de semejanza $k = 1:80$, calcula:
a) La longitud de la arista lateral de la pirámide real (necesitarás aplicar Pitágoras dos veces).
b) El volumen de la maqueta en pulgadas cúbicas, sabiendo que el volumen de una pirámide es $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Área base} \cdot \text{Altura}$. (Usa la relación $k^3$ para el volumen).
Una señal de tránsito tiene forma de triángulo equilátero de $90\text{ cm}$ de lado. Dentro de ella, hay una franja de color rojo que forma otro triángulo equilátero…
Una señal de tránsito tiene forma de triángulo equilátero de $90\text{ cm}$ de lado. Dentro de ella, hay una franja de color rojo que forma otro triángulo equilátero semejante. Si el área de la parte blanca (el triángulo interior) es exactamente la mitad del área total de la señal, ¿cuál es la razón de semejanza entre el triángulo pequeño y el grande? ¿Cuánto mide el lado del triángulo interior? Redondea a dos cifras decimales.
El logotipo de una nueva marca de ropa es un rombo inscrito dentro de un rectángulo de $16\text{ cm}$ de largo y $12\text{ cm}$ de ancho. Los vértices del rombo son los…
El logotipo de una nueva marca de ropa es un rombo inscrito dentro de un rectángulo de $16\text{ cm}$ de largo y $12\text{ cm}$ de ancho. Los vértices del rombo son los puntos medios de los lados del rectángulo. Calcula:
a) El perímetro del rombo.
b) El área de un segundo logotipo semejante al anterior cuyo perímetro sea el triple. Justifica cómo cambia el área sin necesidad de calcular los nuevos lados.