"Números enteros: opuestos, valor absoluto y orden"

En la vida cotidiana se utilizan los números enteros para expresar situaciones opuestas respecto a un punto de referencia o "punto cero". Asocie cada uno de los siguientes enunciados con el número entero (positivo o negativo) que mejor lo represente:

• a) Un buceador se encuentra a $15$ pies de profundidad bajo el nivel del mar.

• b) Un excursionista ha subido a la cima de una montaña de $2300$ pies de altura.

• c) El saldo de su tarjeta de transporte público es de $\$4$ de deuda.

• d) Un avión vuela a una altitud de $9500$ pies.

• e) La temperatura en una estación de esquí es de $7$ grados bajo cero.

Observe la siguiente recta numérica donde se han marcado varios puntos con letras. Indique qué número entero corresponde a cada una de las letras representadas:

Considerando que la distancia entre dos marcas pequeñas consecutivas es de $1$ unidad, determine los valores de $A$, $B$, $C$ y $D$.

Un equipo de arqueología submarina está explorando los restos de un galeón antiguo. Utilizan un dron sumergible para documentar el hallazgo. Exprese con números enteros las siguientes situaciones:

1. a) El barco nodriza se encuentra en la superficie del mar.
2. b) El galeón está asentado en el lecho marino, a una profundidad de $45$ pies.
3. c) El dron desciende desde la superficie hasta una grieta situada $12$ pies por debajo del galeón.
4. d) Tras explorar la grieta, el dron sube $25$ pies para fotografiar el mástil del barco.

Represente estas cuatro posiciones en una línea vertical graduada donde el origen sea el nivel del mar.

El valor absoluto de un número entero es la distancia que lo separa del cero en la recta numérica, sin tener en cuenta su dirección. Calcule los siguientes valores absolutos:

• a) $|-8| =$

• b) $|+12| =$

• c) $|-35| =$

• d) $|0| =$

• e) $|+7| =$

Dos números enteros son opuestos si se encuentran a la misma distancia del cero pero en lados diferentes de la recta numérica. Escriba el opuesto de cada uno de los siguientes números y represéntelos por parejas en una pequeña recta numérica:

• a) $+5$

• b) $-3$

• c) $-1$

• d) $+4$

En una ciudad del norte de Estados Unidos, se han registrado las siguientes temperaturas mínimas durante la primera semana de enero:

• Lunes: $-4$ ºF

• Martes: $-7$ ºF

• Miércoles: $0$ ºF

• Jueves: $+2$ ºF

• Viernes: $-1$ ºF

• Sábado: $+3$ ºF

• Domingo: $-5$ ºF

Ordene estos días de más frío a menos frío (es decir, de menor a mayor temperatura) utilizando el símbolo $<$ entre los valores.

Compare los siguientes pares de números enteros utilizando los signos $>$ (mayor que) o $<$ (menor que):

• a) $-10 \quad \square \quad -2$

• b) $+5 \quad \square \quad -8$

• c) $-1 \quad \square \quad 0$

• d) $-15 \quad \square \quad -20$

• e) $|-12| \quad \square \quad +10$

Pista: Recuerde que en los números negativos, es mayor el que está más cerca del cero.

Ordene de menor a mayor los siguientes valores utilizando los símbolos $<$ o $>$. Se recomienda calcular primero el valor numérico de cada expresión:

$A = |−12|$

$B = op(+7)$

$C = −|−5|$

$D = op(−2)$

$E = −10$

$F = |op(−4)|$

En un eje de coordenadas cartesianas, hemos dibujado tres vértices de un rectángulo: $A(−3, 2)$, $B(4, 2)$ y $C(4, −1)$.

1. a) Represente los puntos en el plano.
2. b) Determine las coordenadas del cuarto vértice $D$ para completar el rectángulo.
3. c) ¿En qué cuadrante se encuentra cada uno de los vértices?
4. d) Calcule el perímetro del rectángulo contando las unidades de la cuadrícula.

En un videojuego de estrategia, las coordenadas de su base son $A(-3, 4)$. Debe situar un puesto de avanzada en un punto $B$ que cumpla las siguientes condiciones:

1. Su abscisa (coordenada $x$) es el opuesto de la abscisa de $A$.

2. Su ordenada (coordenada $y$) es un número entero tal que su valor absoluto es $2$, pero el punto $B$ debe estar en un cuadrante distinto al de $A$ y no puede estar en el eje de abscisas.

Represente ambos puntos en el plano cartesiano e indique en qué cuadrante se encuentra cada uno. ¿Cuál es el desplazamiento horizontal y vertical necesario para ir de $A$ a $B$?

Un ascensor de un centro comercial muy grande tiene pisos por encima y por debajo del suelo. Si consideramos el piso principal (nivel de la calle) como el número $0$:

• a) ¿A qué piso llegamos si estamos en el sótano $-3$ y subimos $5$ pisos?

• b) ¿A qué piso llegamos si estamos en el piso $+2$ y bajamos $4$ pisos?

• c) Si estamos en el sótano $-2$ y queremos subir al piso $+4$, ¿cuántos pisos debemos subir?

En una expedición científica, un dron sobrevuela un volcán a una altitud de $+125$ pies sobre el nivel del mar, mientras que una sonda robotizada se encuentra explorando el fondo de un lago cercano a una profundidad de $-84$ pies.

1. a) Represente ambas posiciones en una recta numérica vertical, situando el nivel del mar en el origen.
2. b) Calcule la distancia total, en valor absoluto, que separa al dron de la sonda.
3. c) Si la sonda asciende $30$ pies, ¿cuál será su nueva posición? Exprésela con un número entero.

Observe la siguiente recta numérica donde se han marcado tres puntos, $X$, $Y$ y $Z$.

Si cada división de la recta representa $2$ unidades:

1. a) Escriba las coordenadas de los puntos $X$, $Y$ y $Z$.
2. b) Calcule la distancia que hay entre el punto $X$ y el punto $Z$.
3. c) Escriba el opuesto de $X$ y represéntelo en la recta.

Complete la siguiente pirámide mágica de números enteros. La regla es muy sencilla: el valor de cada casilla es la suma de los dos números que tiene justo debajo.

Un videojuego de plataformas puntúa los movimientos de un personaje sobre una línea horizontal.

• Por cada moneda de oro recogida, el personaje avanza $+5$ posiciones.

• Por cada obstáculo golpeado, el personaje retrocede $op(+3)$ posiciones.

• Si cae en una trampa, se sitúa en la posición $-|−10|$.

Calcule la posición final del personaje si:

1. Comienza en el origen ($0$).

2. Recoge $4$ monedas de oro.

3. Golpea $2$ obstáculos.

4. Cae en una trampa.

5. Finalmente, avanza $8$ posiciones más.

Un creador de contenido analiza la evolución de sus suscriptores durante una semana. El lunes empezó con una cifra base. Los cambios diarios se registraron de la siguiente forma: martes ($+150$), miércoles (el doble de pérdida que el jueves), jueves ($-200$), viernes (un aumento igual al valor absoluto de la pérdida del jueves) y sábado (una caída que dejó el saldo semanal total en exactamente $0$ respecto al lunes).

Calcule el número entero que representa la variación del miércoles y el número entero que representa la variación del sábado. Represente en una recta numérica las variaciones de cada día, situando el $0$ como el estado inicial del lunes.

Un dron de reconocimiento submarino parte de una plataforma situada a $15$ pies sobre el nivel del mar ($+15$ pies). Realiza los siguientes movimientos consecutivos:

• Desciende $28$ pies para tomar muestras.

• Asciende una distancia igual a la mitad del valor absoluto de su posición actual.

• Finalmente, baja hasta una zona abisal situada a $-120$ pies.

Determine el número entero que representa la posición del dron tras el segundo movimiento y calcule la distancia total recorrida por el dron durante los tres movimientos.

Considere dos números enteros $a$ y $b$ de los que sabemos lo siguiente:

• El valor absoluto de $a$ es $12$.

• El opuesto de $b$ es $-15$.

• La distancia entre $a$ y $b$ en la recta numérica es la menor posible.

A partir de estos datos:

1. a) Identifique los valores de $a$ y $b$.
2. b) ¿Cuál es el mayor número entero $k$ tal que $a < k < b$?
3. c) Si multiplicamos $a$ por un número negativo, ¿el resultado será mayor o menor que $b$? Razone la respuesta.

En un laboratorio criogénico, una muestra se encuentra a $-18$ ºF. El sistema de control permite realizar dos tipos de ajustes:

• Ajuste A: Sumar $-5$ ºF a la temperatura actual.

• Ajuste B: Cambiar la temperatura por su opuesta y luego restar $10$ ºF.

Si aplicamos primero el Ajuste B y después el Ajuste A, ¿cuál será la temperatura final? ¿Sería el mismo resultado si aplicáramos primero el Ajuste A y después el Ajuste B? Justifique su respuesta realizando ambos cálculos paso a paso.

Escriba todos los números enteros $x$ que cumplen las siguientes condiciones al mismo tiempo:

1. Su valor absoluto es menor que $6$ ($|x| < 6$).

2. Son números menores que $2$ ($x < 2$).

3. Son números mayores o iguales que $-3$ ($x \geq -3$).

Represéntelos sobre una recta numérica.

Encuentre todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. Su valor absoluto es menor que $10$, es decir: $|x| < 10$.

2. Es un número estrictamente menor que su opuesto: $x < Op(x)$.

3. Al sumarle $-3$, el resultado es un número cuyo valor absoluto es mayor que $5$.

Enumere los números obtenidos y represéntelos en la recta numérica.

Se tienen tres números enteros consecutivos cuya suma es un número negativo. Si el valor absoluto del número intermedio es $0$:

1. a) ¿Cuáles son esos tres números?
2. b) Ordene de menor a mayor los valores absolutos de dichos números.
3. c) ¿Qué ocurre con el signo de la suma si se eligen los tres números enteros consecutivos "más grandes" (más a la derecha en la recta) que siguen siendo todos negativos?

Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de ser falsa, escriba un ejemplo (contraejemplo) que lo demuestre:

1. a) El valor absoluto de un número siempre es mayor que el propio número.
2. b) Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.
3. c) El opuesto de un número entero siempre es un número negativo.
4. d) La distancia entre un número y su opuesto es siempre el doble de su valor absoluto.

Analice las siguientes afirmaciones y determine si son verdaderas o falsas, proporcionando un contraejemplo para las que considere falsas:

1. Si $|a| > |b|$, entonces siempre se cumple que $a > b$.

2. El valor absoluto de la suma de dos números enteros siempre es igual a la suma de sus valores absolutos: $|a + b| = |a| + |b|$.

3. Si $n$ es un número entero negativo, entonces su opuesto $Op(n)$ siempre es mayor que $n$.

4. La distancia entre dos números opuestos es siempre el doble del valor absoluto de uno de ellos.