Divisibilidad, MCD y mcm

En una plataforma de streaming, las series se agrupan en temporadas. Si una serie tiene un total de $42$ episodios, indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas, razonando brevemente tu respuesta:

1. a) El número $6$ es divisor de $42$.
2. b) $42$ es múltiplo de $5$.
3. c) $42$ es divisible entre $14$.

Calcula mentalmente y escribe en tu cuaderno:

1. a) Los cinco primeros múltiplos de $12$.
2. b) Todos los divisores del número $24$.
3. c) Los múltiplos de $7$ comprendidos entre $30$ y $60$.

Observa los siguientes números poligonales que representan los números pentagonales. Los primeros términos son $1, 5, 12, 22...$

1. a) Dibuja en tu cuaderno la disposición de puntos para el quinto número pentagonal.
2. b) Siguiendo la serie, ¿cuál es el valor numérico del quinto y el sexto número pentagonal?
3. c) Comprueba si el décimo número pentagonal ($145$) es divisible por $3$, por $5$ y por $11$.

Observa los números que aparecen en el siguiente panel y clasifícalos en números primos o números compuestos.

Realiza la descomposición en factores primos de los siguientes números naturales. Recuerda escribir el resultado final como un producto de potencias:

1. a) $36$
2. b) $60$
3. c) $126$

Calcula el Máximo Común Divisor (M.C.D.) y el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los siguientes pares de números:

1. a) $10$ y $15$
2. b) $20$ y $30$
3. c) $8$ y $12$

Sabiendo que el producto de dos números es $2160$ y que su máximo común divisor (m.c.d.) es $12$:

1. a) Calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dichos números utilizando la relación entre m.c.d. y m.c.m.
2. b) Si uno de los números es $60$, ¿cuál es el otro número?
3. c) Realiza la descomposición factorial de ambos números para comprobar que los resultados de los apartados anteriores son correctos.

Sofía tiene $24$ calcomanías de estrellas y $16$ calcomanías de planetas. Quiere hacer sobres de regalo iguales (con el mismo número de estrellas y el mismo número de planetas en cada uno) sin que le sobre ninguna calcomanía.

¿Cuál es el número máximo de sobres que puede preparar? ¿Cuántas calcomanías de cada tipo habrá en cada sobre?

Una empresa de diseño de interiores tiene dos rollos de tiras LED de colores: uno de luz azul que mide $120$ pies y otro de luz cálida que mide $156$ pies. Quieren cortar ambos rollos en trozos de la misma longitud, la mayor posible, sin que sobre nada de material.

1. a) ¿Cuánto debe medir cada trozo?
2. b) ¿Cuántos trozos de cada color obtendrán en total?

Una empresa de logística debe organizar tres tipos de paquetes de ayuda en contenedores de transporte. Tienen $144$ cajas de cobijas, $120$ cajas de alimentos no perecederos y $84$ cajas de kits de higiene.

Quieren cargar el máximo número de contenedores iguales, de forma que cada contenedor tenga la misma cantidad de cajas de cada tipo y no sobre ninguna caja en el almacén.

1. ¿Cuántos contenedores se podrán enviar?

2. ¿Qué cantidad de cajas de cada tipo habrá en cada contenedor?

Dos luces de un teclado "gamer" parpadean de forma distinta. La luz azul se enciende cada $6$ segundos y la luz naranja cada $9$ segundos. Si ambas se han encendido a la vez ahora mismo, ¿cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a coincidir encendidas por primera vez?

Tres canales de streaming empiezan a emitir contenido especial hoy a las 10:00 de la mañana.

• El canal A emite un sorteo cada $18$ horas.

• El canal B emite una entrevista cada $24$ horas.

• El canal C emite un torneo cada $30$ horas.

¿Cuántos días deben pasar como mínimo para que los tres eventos vuelvan a coincidir en el mismo horario? ¿A qué hora y qué día de la semana ocurrirá si hoy es lunes?

En el escenario principal de un festival de música, hay tres sistemas de iluminación robótica. El primer sistema emite un destello blanco cada $18$ segundos, el segundo un destello azul cada $24$ segundos y el tercero un destello naranja cada $30$ segundos.

A las $21:00$ horas los tres sistemas coinciden por primera vez. ¿Cuántas veces volverán a coincidir exactamente los tres destellos antes de que el concierto finalice a las $22:25$ horas?

La alcaldía quiere pavimentar una plaza rectangular de $45$ pies de largo por $24$ pies de ancho utilizando losetas cuadradas de piedra. El arquitecto desea que las losetas sean lo más grandes posibles y que no haya que cortar ninguna.

1. ¿Cuál debe ser la medida del lado de cada loseta?

2. Si por motivos de presupuesto deciden usar losetas de la mitad de ese tamaño, ¿cuántas losetas necesitarán ahora para cubrir toda la plaza?

El mecanismo de un reloj antiguo utiliza dos ruedas dentadas que engranan entre sí. La rueda $A$ tiene $54$ dientes y la rueda $B$ tiene $36$ dientes. Si ponemos una marca roja en el punto donde se tocan los dientes en este momento:

1. ¿Cuántos dientes de la rueda $A$ deben pasar para que las marcas vuelvan a coincidir por primera vez?

2. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada rueda en ese instante?

Tres satélites artificiales orbitan alrededor de la Tierra. El primero completa una órbita cada $90$ minutos, el segundo cada $2$ horas y el tercero cada $105$ minutos. Si a las $12:00$ del mediodía se encuentran alineados sobre el meridiano de Greenwich:

1. ¿A qué hora exacta volverán a estar alineados por primera vez?

2. ¿Cuántas órbitas habrá completado el satélite más lento en ese tiempo?

Un videojuego requiere que introduzcas un código de cuatro cifras para desbloquear un nivel: $3.45\_$. Ayuda al jugador a encontrar el último dígito para que el número cumpla las siguientes condiciones:

1. a) Que el número sea divisible por $2$ y por $5$ a la vez.
2. b) Que el número sea divisible por $3$, pero no por $2$.
3. c) Que sea un múltiplo de $9$.

Un programador está diseñando un código de acceso de cuatro cifras. El código sigue el formato $35A2$, donde $A$ es una cifra desconocida. Para que el código sea válido, el número debe ser divisible por $3$ y por $4$ simultáneamente.

Determina todos los posibles valores que puede tomar la cifra $A$ y escribe los números completos resultantes.

En una convención de videojuegos, se quiere organizar a los participantes en equipos. Tenemos un código de seguridad para el acceso que es un número de cuatro cifras de la forma $4A2B$.

Para que el código sea válido, debe cumplir dos condiciones:

1. a) Debe ser divisible por $3$.
2. b) Debe ser divisible por $11$.

Halla todos los valores posibles para las cifras $A$ y $B$.

Un famoso influencer quiere proteger el acceso a su cuenta de edición de video con un código PIN de cuatro cifras de la forma $5X4Y$. Para no olvidarlo, ha memorizado las siguientes condiciones basadas en la divisibilidad:

• El número es divisible por $4$.

• El número es también divisible por $9$.

• La cifra de las unidades ($Y$) es mayor que la cifra de las unidades de millar.

Halla todos los posibles códigos PIN que cumplen estas condiciones.

Halla un número natural que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:

1. Está comprendido entre $200$ y $250$.

2. Es múltiplo de $13$.

3. Al dividirlo por $2$ y por $3$ da una división exacta, pero no es divisible por $9$.

Calcula el número de divisores totales que tiene el número $360$ sin necesidad de escribirlos todos. Para ello:

1. a) Realiza su descomposición en factores primos usando potencias.
2. b) Aplica la propiedad del producto de los exponentes incrementados en una unidad.
3. c) Indica si el número $360$ es un cuadrado perfecto razonando tu respuesta a partir de los exponentes de su descomposición.

Un número natural $N$ tiene la siguiente descomposición en factores primos: $N = 2^{a} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}$.

Sabemos que el número total de divisores de $N$ es exactamente $24$.

1. Calcula el valor del exponente $a$.

2. Determina el valor numérico de $N$.

3. Escribe todos los divisores de $N$ que sean múltiplos de $15$ pero no de $2$.

Se sabe que un número $X$ es múltiplo de $12$ y de $15$ simultáneamente. Además, $X$ tiene exactamente $10$ divisores naturales.

1. Utilizando la descomposición factorial, deduce cuál es el valor de $X$. (Pista: razona sobre los exponentes de la descomposición).

2. Justifica si el número $X+1$ es un número primo o compuesto.